基本初等函数的导数公式名师制作优质教学资料

1、第三章第三章 导数及其应用导数及其应用 3.2 3.2 导数的计算导数的计算复习复习1.求函数的导数的方法是求函数的导数的方法是:(1)()( );yf xxf x 求函数的增量(2):()( );yf xxf xxx 求函数的增量与自变量的增量的比值0(3)( )lim.xyyfxx 求极限，得导函数说明说明:上面的方法上面的方法中把中把x换换x0即为求即为求函数在点函数在点x0处的处的 导导数数. 说明说明:上面的方法中把上面的方法中把x换换x0即为求函数在点即为求函数在点x0处的处的 导数导数. 2.函数函数f(x)在点在点x0处的导数处的导数 就是导函数就是导函数 在在x= x0处的函

2、数值处的函数值,即即 .这也是求函数在点这也是求函数在点x0 处的导数的方法之一。处的导数的方法之一。 )(0 xf )(xf 0| )()(0 xxxfxf 3.函数函数 y=f(x)在点在点x0处的导数的几何意义处的导数的几何意义,就是曲线就是曲线y= f(x)在点在点p(x0 ,f(x0)处的切线的斜率处的切线的斜率.4.求切线方程的步骤：求切线方程的步骤：（1）求出函数在点）求出函数在点x0处的变化率处的变化率 ，得到曲线，得到曲线 在点在点(x0,f(x0)的切线的斜率。的切线的斜率。)(0 xf （2）根据直线方程的点斜式写出切线方程，即）根据直线方程的点斜式写出切线方程，即).)

3、()(000 xxxfxfy 复习复习根据导数的定义可以得出一些常见函数的导数公式根据导数的定义可以得出一些常见函数的导数公式:公式公式1: .0 ()cc 为常数0:( ),()( ),0,( )lim0.xyyf xcyf xxf xccxyf xcx 解1) 函数函数y=f(x)=c的导数的导数.几个常用函数的导数几个常用函数的导数2) 函数函数y=f(x)=x的导数的导数.00( +)( )1,limlim11,1xxyf xxf xxxxxxxyxyx 因为 所以 y若表示路程关于时间的函数，则y可以解释为某物体的瞬时速度为1的匀速运动。几个常用函数的导数几个常用函数的导数3) 函数

4、函数y=f(x)=x2的导数的导数.2222200( +)( )2()2,limlim(2)2 .xxyf xxf xxxxxxxxxxxxxxxyxxxx （）因为 所以 y几个常用函数的导数几个常用函数的导数4) 函数函数y=f(x)= 的导数的导数.1x2220011( +)( )()1,()11limlim().xxyf xxf xxxxxxxxxxx xxxxxxyxxxxx 因为 所以 y几个常用函数的导数几个常用函数的导数请同学们观察下列函数的导数请同学们观察下列函数的导数:22)( ),3)( ),14)( ),yfxxyfxxyfxx1y 21 yx 2yx表示表示y=x图象

5、上每一点处的切线图象上每一点处的切线斜率都为斜率都为1这又说明什么这又说明什么?公式公式2: .)()(1qnnxxnn 请注意公式中的条件是请注意公式中的条件是 ,但根据我们所掌握但根据我们所掌握的知识的知识,只能就只能就 的情况加以证明的情况加以证明.这个公式称为这个公式称为幂函数的导数公式幂函数的导数公式.事实上事实上n可以是任意实数可以是任意实数. qn *nn ;2)11.yxy例1.已知，1)求求曲线在点（ ， ）处的切线方程xyxxxxxx 解：1）0011limlim.2xxyyxxxxx 1:1(1).222yxx 11切线方程即：y=2)基本初等函数的导数公式：基本初等函数

6、的导数公式：11.( ),( )0;2.( ),( );3.( )sin,( )cos;4.( )cos,( )sin;5.( ),( )ln(0);6.( ),( );17.( )log,( )(0,1);ln8.nnxxxxafxcfxfxxfxnxfxxfxxfxxfxxfxafxaa afxefxefxxfxaaxa 公式若则公式若则公式若则公式若则公式若则公式若则公式若则且公式若1( )ln,( );fxxfxx则基本初等函数的导数公式及导数的运算法则基本初等函数的导数公式及导数的运算法则点评求函数在某点处的导数的步骤是先求导函数，再代入变量的值求导数n=3例例2 2 假设某国家假设

7、某国家2020年期间的年均通货膨胀率为年期间的年均通货膨胀率为5%5%， 物物价价p(p(单位：元单位：元) )与时间与时间t(t(单位：年单位：年) )有如下函数关系：有如下函数关系： 其中其中p p0 0为为t t0 0时的物价时的物价. . 假定某种商品的假定某种商品的p p0 01 1，那么，那么 在第在第1010个年头，这种商品的价格上涨的速度大约是多个年头，这种商品的价格上涨的速度大约是多 少（精确到少（精确到0.010.01）？）？ 0()( 1 5%)tptp=+ ( )1 (1 5%)1.05ttp t 解() 1.05ln1.05tp t 10(10) 1.05 ln1.0

8、5 0.08( / )p元年 答答: :在第在第1010个年头，这种商品的价格上涨的速度个年头，这种商品的价格上涨的速度约约0.080.08元元/ /年年. .导数的运算法则导数的运算法则: :法则法则1:两个函数的和两个函数的和(差差)的导数的导数,等于这两个函数的等于这两个函数的导数的和导数的和(差差),即即:( )( )( )( )f xg xf xg x法则法则2:两个函数的积的导数两个函数的积的导数,等于第一个函数的导数等于第一个函数的导数乘第二个函数乘第二个函数,加上第一个函数乘第二个函数的导数加上第一个函数乘第二个函数的导数 ,即即:( )( )( ) ( )( )( )f x

9、g xfx g xf x g x法则法则3:两个函数的积的导数两个函数的积的导数,等于第一个函数的导数等于第一个函数的导数乘第二个函数乘第二个函数,减去第一个函数乘第二个函数的导数减去第一个函数乘第二个函数的导数 ,再除以第二个函数的平方再除以第二个函数的平方.即即:2( )( ) ( )( )( )( ( )0)( )( )f xfx g xf x g xg xg xg x 例例3 3 日常生活中的饮用水通常是经过净化的，随日常生活中的饮用水通常是经过净化的，随 着水纯净度的提高着水纯净度的提高, ,所需净化费用不断增加所需净化费用不断增加. .已知将已知将1 1吨吨 水净化到纯净度为水净化

10、到纯净度为x%x%所需费用所需费用( (单位：元单位：元) )为为 求净化到下列纯净度时，所需净化费用的瞬时变化率求净化到下列纯净度时，所需净化费用的瞬时变化率. .（1 1）90%90%； （2 2）98%.98%.5284( )( 80100).100cxxx=- 解：净化费用的瞬时变化率就是净化费用函数的解：净化费用的瞬时变化率就是净化费用函数的导数导数. .5284( ) ()100c xx5284( )(80100).100cxxx=-20 (100) 5284 ( 1)(100)xx 25284(100) x25284(1)(90)52.84(100 90)c因为 答答: 纯净度为纯净度为90%时，费用的瞬时变化率是时，费用的瞬时变化率是 52.84元元/吨吨25284(2)(98)1321(100 98)c因为 答答: : 纯净度为98%时，费用的瞬时变化率是1321元/吨. 练习练习3 已知已知 f(x) 的导数的导数 f (x)=3x2- -2x+4, 且且 f(0)=2, 求求 f(x).解解: f (x)=3x2-2-2x+4, 可设可设 f(x)=x3- -x2+4x