九年级秋季班-第5讲：期中练习-教师版

1、15 / 27期中练习内容分析以帮助同学们本讲整理了关于前两章相似三角形和锐角三角比的相关练习, 巩固所学.知识结构选择题【练习1】已知在 ABC中,C 90 , A , AC = 3,那么AB的长为（）3sinB. 3cosC.3sinD.cos根据锐角三角比的概念，可得cos AAC,即得:ABACAC3AB cos A cos本题主要考查锐角三角比的概念.21【练习2】在 ABC中，若sin A 2cot B 吏 0 ,则 ABC的形状是（3A.等边三角形【难度】【答案】B21【解析】由sin A 2B.直角三角形cot BC.锐角三角形D,钝角三角形sin A , cot B ,由此可

2、得 A 30 , 23B 60 ,则 C 180 A B 90 ,故选 B.【总结】本题主要考查两非负数相加和为0,则两个数均为0的知识点，结合特殊角的锐角三角比进行计算.【练习3】已知在 ABC中， C 90 ,设cos B = n,当 B是最小的内角时，n的取值范围是（）a n21A. 0 n B. 0 n 22-21C.n 1D. - n 122【难度】【答案】C【解析】B是最小内角，则0 B 45 ,根据余弦值的增减性，cosB cos45 ,2根据0 cosB 1 ,故选C.【总结】本题主要考查锐角三角比的增减性.【练习4】如果向量a与单位向量力方向相反，且长度为1,那么向量方用单位

3、向量e表示2为（）a. a 1eb. a 22c, a1id. t 2±22【难度】【答案】C【解析】方向相反，即可表示为a ni n 0 ,长度为1 ,可得n 1 ,故选C.22【总结】考查平行向量的表示.A. BDC. DBD.那么a b等于（）【练习5】如图，在平行四边形 ABCD中，如果aB【难度】【答案】B【解析】根据向量的 平行四边形法则”，得点aD aC.【总结】考查向量运算的 平行四边形”法则.【练习6】下列不等式中正确的个数是（） sin47 sin48 ; cos70 sin30 ; tan55 cot55 ; cos46 sin46 ; sin80 cot42

4、.A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个【难度】【答案】A【解析】根据正弦值增减性，锐角正弦值随着角度增大而变大，错误；cos70 sin20 ,错误；锐角正切值随着角度增大而变大， cot55tan35，正确；cos46 sin44 ,错误；cot42 tan48 tan45 1, 0 sin80 1 ,错误；正确，故选A.【总结】考查锐角三角比的转化和相关增减性.【练习71如图，已知 AD / BC, AC与BD相交于点。，点G是BD的中点，过点 G作GE / BC 交 AC 于点 E,如果 AD =1 , BC = 3,那么GE : BC等于（B. 1C. 1 : 4D.根据三角形一边

5、平行线的性质定理，可得:AD点G是BD中点，可得： DO GO ,则有CDGEDOBODOGOADBC1,A D则有 GE:BC AD: BC 1:3 .【总结】考查三角形一边平行线性质定理的应用.【练习8下列命题正确的个数有（）个（1）长度相等的两个非零向量相等（2）平行向量一定在同一直线上（3）与零向量相等的向量必定是零向量（4）任意两个相等的非零向量的始点与终点是一平行四边形的四个顶点A. 0个B. 1个C. 2个D. 3个【难度】【答案】B【解析】相等的向量需确保方向相同，（1）错误；平行向量是同一平面内平行的两条有向线段，不一定在同一直线上，（2）错误；只有零向量模长为 0,可知与零

6、向量相等的必定是零向量，（3）正确；相等向量可以在同一直线上，此时四个点不能构成四边形,（4）错误.综上所述，只有（3）正确，故选B.【总结】考查与向量有关的相关定义的理解和把握.【练习9】如图，已知边长为5的等边三角形 ABC纸片，点E在AC边上，点F在AB边上,沿着EF折叠，使点A落在BC边上的点D的位置，且ED BC ,则CE的长是（）A. 10/3 15 B. 10 5 晶C, 573 5 D, 20 10“【难度】【答案】D【解析】是等边三角形，则有 C 60 ,由ED BC ,3可得：DE CE sinC义CE ,翻折可得AE DE ,2即有 AC AE CE 1 CE 5 ,得：

7、CE 20 10Vs. 2【总结】考查特殊图形结合特殊锐角三角比的相关应用.【练习10如图，已知 AD是等腰 ABC底边上的高，且tan B足 AE : CE = 2 : 3,则 tan ADE 的值是（B.C.【难度】【答案】C【解析】作EF AD交AD于点F ,EF AF则有 EF / /CD , -EF -AFCD ADAEAC3一,AC上有一点E,满4因为 ABC是等腰三角形，则有tanC3tanB 3 ,设 AD 3a ,则 CD 4a , 4由此可得：AF 6a , EF 8a ,则DF559EFAD AF -a , tan ADE 5DF【总结】考查相似三角形和相关锐角三角比的应

8、用,通过作高把所求锐角放到直角三角形中即可.【练习11如图，D、E分别是 ABC的边AB、AC上的点,且 DE / BC,BE交DC于点F,EF : FB = 1 : 3 ,贝U S ADE : S BCF 的值为（）D. 1 : 7A. 1 :9B, 1 : 3C. 2 : 9【难度】【解析】由DE / BC,即得:DEBCEFFBADAD设 S ADE a ,则 S BDE,EF由FBABDB11,即可得S def a ,32S DEFS BCF2EF 1EF -,即得:FB 9S BCF由此可得 :S ADE : S BCF a :9a 2:92【总结】考查三角形一边平行线性质定理的应用

9、,“A字型和“8字型的叠合应用，同时注意等高三角形面积和相似三角形面积比与相应边长的关系.【练习12】在一次夏令营活动中， 小智从位于A点的营地出发，沿北偏东60。方向走了 5 kmC地，测得A地在C地南偏西到达B地，然后再沿北偏西 30。方向走了若干千米到达30°方向,则A、八10 3A .3C两地的距离为（B,还3）kmC. 5s/2D. 5晶【难度】【解析】依题意可得到如图所示的图形，则有 BAE 60 ,23 30 ,由 EF /MN /PQ ,可得： 24 301BAE 60 ,则有 ABC 18012 90 ,5 EAB CAE 30 ,则有 ACB 60 ,由此可得：即

10、得：ACsin ACB ,又 AB ACAB 10 3 km sin 6035,【总结】考查方位角知识的综合应用，结合特殊角的锐角三角比进行求解计算.n【练习13如图，小方同学在晚上由路灯AC走向路灯BD,当他走到点P时，发现身后他影子的顶部刚好接触到路灯 AC的底部，当他向前再步行 20 m到达Q点时，发现身前他影子的顶部刚好接触到路灯BD的底部，已知小方的身高是1.5 m,两个路灯的高度都是9 m,则两路灯之间的距离是(20B. 25C. 30D. 35AP x ,依题意可得：BQAP, 15BDAPAB1.5即9一x一，解得：x 5 ,贝U AB 20 2x 2x 2030,CAQ B【

11、总结】考查三角形一边平行线性质定理的实际应用.【练习14如图，在 Rt ABC中， ABC 90,BA = BC,占八、D是AB的中点，连接CD,过点B作BG CD ,分别交CD、CA于点E、F,与过点A且垂直于AB的直线相交于点G,连接DF.给出以下四个结论：(1)空 £G; (2)点F是GE的中点;AB FB(3) AF 史 AB;3(4) S ABC 5s BDF ,其中正确的个数有(B, 2个C. 3个D, 4个由 BAGABC 90 ,ABG可得：ABGBCD ,且有AG/BCBCD , AB AC ,1,则有 AG BD -BC , 2由此可得：”CFGF AGBFBC可

12、知(1)正确；同时，CD不GED是 ACB的角平分线,(2)错误；此时可得可得 BE1 cAF -AC3则F不是GE中点,NZaB , (3)正确；则有 S ABC33s ABF6s BDF ,(4)错误；综上所述,正确的是(1) (3),故选 B.【总结】考查等腰直角三角形结合平行问题中特殊边角关系的综合应用.【练习15】如图,BD相交于点BC于点M、在正方形ABCD中，点P是AB上一动点（不与A、B重合）,对角线AC、O,过点P分别作N,下列结论:(1) APE AME;(2)PM(5)当 PMN s amp 时，点其中正确的结论有（B, 4个根据正方形的性质，即可得由 PM AE , A

13、E AE ，可得同理可得则有PMPN 2 PA PBAC、BD的垂线，分别交 AC、BD于点E、F,2PN AC; (3) PEP是AB的中点.C.交AD、PAEAPE0由 AOB22PF PO ;(4) POFsD, 2个MAEAME ，PM V2AP, PN72AB AC , (2)90，可知四边形PEOF是矩形，则有PE2 PF2为等腰直角三角形，POF是直角三角形，但不能确定为等腰,2PO , (3)正确;(4)错误；BNFPMN sAMP时，则有PM PN ,即J2AP J2BP ,由此可得 APBP , P 为 AB 中点，（5）正确；综上所述，正确的是（1） （2） （3） （5

14、）,故选B.【总结】本题综合性较强，主要考查正方形性质的综合应用，注意题目中由正方形得到的边角关系，从而利用勾股定理完成解题.填空题【练习16】为锐角,(1)sin;(2) cot 3,则sin(2)1010【解析】（1）由sin22 cossincos2.55 ；/ c、,cos(2)由cotsin即得：sin1°103,可得cos，、23sin ,又 sincos【总结】考查锐角三角比之间的相互关系的转化，或利用设'k ”法表示长度进行求解.【练习17】为锐角，且cos ,则J2sincos2T【解析】为锐角， cos11可得:260 ,则sin ,由此即可化简得2,1

15、2sincos > sincos 2sin cos |sin cos【总结】考查sin2cos21公式的灵活运用进行锐角三角比化简，也可利用特殊角的锐角三角比的值进行计算求值.【练习18】在正方形网格中,ABC的位置如图所示，则 cos B的值为【难度】【答案】_2 .2【解析】由图中所示格点位置，知 B 45 ,则cos B 巨.2【总结】考查利用格点三角形得到相关角的锐角三角比.【练习19如图，在正方形网格上有 6个三角形： ABC；CDB； DEB； FBG；HGF ; EKF ,在中，与相似的三角形是 （填序号）【难度】【答案】【解析】由图示可得：BAC 135 ,且有AC J2

16、,满足条件的图形只有.同时AB利用三边对应成比例，也可证得成立.【总结】考查格点三角形”中根据勾股定理得 到特殊边角关系和长度的应用.【练习20已知P是线段AB的一个黄金分割点，且AB = 20 cm ,AP < BP ,那么AP =【难度】【答案】30 1075 cm.【解析】根据黄金分割点的意义，由 AP < BP,可得BP 的1AB 10屈10,则有 2AP AB BP 20 10V5 1030 1075 cm .【总结】考查线段的黄金分割点和相应的黄金比，注意线段的黄金分割点有两个.【练习21】如果从灯塔 A处观察到船B在它的北偏东35。方向上，那么从船 B观察灯塔A 的方

17、向是.【难度】【答案】南偏西35 .【解析】换位观察，方向变为相反，偏离角度大小不变，即得.【总结】考查方位角的基本性质.【练习22】如图,ABC 中,3C 90 , sin A 3 , D 为 AC 上一点,且 BD = AC, DC = 7 5cm,贝U AD =.【难度】【答案】4"7 cm .3一 54【斛析】设BC acm,由sin A 一，可得：AB a, AC a, 533根据勾股定理可得 BD JBCCD Ja2 49 AC 4a , 3即可解得：a 3/7,则 AC 4、万，AD AC DC 4J7 7 cm .根据题目条件进行边角转【总结】考查共直角边的两个直角三

18、角形结合锐角三角比的应用, 换即可.【练习23】传送带和地面所成斜坡的坡度为 1 : 0.75,它把物体从地面送到离地面高 8米的地方，物体在传送带上所经过的路程为 米.【难度】【答案】10.【解析】传送带和地面所成坡度i 1:0.75,可知物体传送的水平距离即为8 6m,根据勾i股定理即可得物体在传送带经过路程为J82 62 10m.【总结】考查坡度的意义和应用.AC = 2米，则地毯长【练习24如图，在坡度为1 : 2.5的楼梯表面铺地毯，已知楼梯高度度至少是.【难度】【答案】7m .【解析】楼梯的坡度为1 : 2.5,可得楼梯水平长度BC处5m ,则地毯长度至少为 2 5 7m. i【总

19、结】考查坡度意义的综合应用，注意地毯要沿着楼梯铺设，完全覆盖.【练习25如图，正方形ABCD中，M是边BC上一点，且BM -1 BC4试用a , b表示DM .若【解析】DM dC mc,根据正方形的性质，可得：dC ab a,1BC,可得：BM 1BC 工b,则有 444b ,由 BM17/27【总结】考查平面向量的线性运算，注意把握好相等向量的定义.45 / 27ABC 交 CD 于 E,且 BE CD ,【练习26如图，点 G是 ABC的重心，AG GC , AC = 4,那么BG的长为【难度】【答案】4【解析】延长BG交AC于点D ,则D是AC中点，,_1由AG GC ,则有GD AC

20、 2,根据重心性质,2即可得BG 2GD 4 .【总结】本题主要考查重心性质的应用.【练习27如图，在梯形 ABCD中，AD / BC, BE平分CE : ED = 2 : 1 ,如果 BEC的面积为2,那么四边形 ABED的面积是【解析】作AG / /DC交BC于点G ,延长BE交AD延长线于点由 AD / BC,得 DEH SH .AFH ,CEB, DEH s可得：Sdeh2DE1由 BE CDAG/CD ,AFBH ,又BE平分1则有 AF FG -AG , 2即得：DE1CD 3由此可得：S* 2更 S AFHDEAF4百一，仔 S AFH9由AD / BC, BE平分可知 ABH为

21、等腰三角形,则有时边形 ABED 2S AFHS DEH【总结】考查根据平行构造相似三角形"A'字型和"8字型的应用，相似三角形面积比即为相似比的平方，同时考查平行线与角平分线得到等腰三角形的基本图形.【练习28】某学校为新生设计的学生板凳的正面视图如图所示，其中BA = CD, BC = 20 cm,BC、EF平行于地面 AD且到地面AD的距离分别为40 cm、8 cm.为使板凳两腿底端 A、D之间的距离为50 cm,那么横梁EF =.（材质及其厚度等暂忽略不计）【难度】【答案】44cm.【解析】如图，分别延长 BM、CN交AD于点P和点Q.在等腰梯形中易得 AP

22、 DQ , EM FN ,由 BC/EF/AD,即得：BC MN PQ 20,则有AP 15,题中 BM 40 8 32, BP 40,由 EF/AD,AP BPEM 32即，得 EM 121540FM ,贝U EF EM MNNF44cm.【总结】考查三角形一边平行线性质定理的实际应用.【练习29如图，在 ABC中，A , B , AB = c,用【难度】2 XXc tan tan2 tan tan【解析】作CD AB交AB于点D ,CDCD则有tan A 通, tan B ,由此可得 AD、c 表小 S ABC CDCD,BD , AB AD BD , tantan即红tanCDtanct

23、an tanc ,可信：CD,则 S ABCtan tan1-CD AB22c tan tan2 tan tan【总结】考查锐角三角比性质的综合应用，通过作高实现边角转换.【练习30在RtABC中，斜边AB 2 V5,且tan A tanB 5 ,则Rt ABC的面积是 . 2【难度】【答案】4.【解析】设两直角边长分别为 a、b,根据锐角三角比的定义，tan A tanB 5,即b a -,2 a b 22.2_,A h Fi 、一 999一、1一，由勾股定理可得 a b AB 20 ,则有ab 8, S abc -ab 4 .ab 22【总结】考查锐角三角比的基本定义结合勾股定理的应用.【

24、练习31已知：如图，AD是 ABC的中线,AB 于 F,AFFB【难度】【答案】1.2k【解析】作DG / /EF交AB于点G ,则有把FGE为AD上的一点，且AEAE 1ED kED1，、,射线CE交 k因为D为BC中点，且DG/CF ,则G为BF中点,AF 12FG 2k一.AF即有BF 2FG ,则-AF FB【总结】考查三角形一边平行线性质定理的应用，构造“A” 叠加的基本图形.【练习32如图，在 ABC中，AD是BC上的高，且BC = 5, AD = 3,矩形EFGH的顶点F、G在边BC上，顶点E、H分别在边AB和AC上，如果设边EF的长为x(0 < x < 3),矩形E

25、FGH的面积为V,那么y关于x的函数解析式是【难度】【答案】y 5x 5x2 .3【解析】由EH / /BC , EF / /AD，根据三角形一边平行线的性质,即得:EFADBE EH一,一AB BCAEABEFADEHBC即1,得： EH 5 x , y EH EF 5x x2 .3533【总结】考查三角形一边平行线性质定理的综合应用，进行比例转化解决问题.【练习33已知：在 ABC中，AC = a, cos C = f , AB与BC所在直线成45°角，则AC边 5上的高的长是2525【解析】作ADBC所在直线于点D ,cos C = 4 ,可得CD -a ,勾股定理得55545

26、。角，由此需进行分类讨论,(1) B在D点左侧，有 B 45 ,可得BDADBC CDBD -a ,5由面积法可得AC边上的高长为ADBCAC7-a5a21a -25(2) B'在D点右侧，有 B' 45 ,可得B'则B'CC1CD B'D -a, 531,口 t 一， AD BC 5a 5a 3由面积法可得 AC边上的局长为 5一5- -a.AC a 25【总结】考查多解性问题，由直线可知题目存在多解，结合锐角三角比和面积法即可求得高 长，也可直接利用锐角三角比求高长.EF上，BP交CE于D,CBP的平分线交【练习34如图所示，在 ABC中，BC =

27、6,E、F分别是AB、AC的中点，动点 P在射线1CE 于 Q,当 CQ CE 时，EP + BP =.3【答案】12.【解析】延长BQ交EF延长线于点G .由E、F分别是 则有 EF / /BC ,AB、AC中点，得EF为可得：GGBC,由ABC中位线，PBQ CBG ,-G则有BP PG ,EP BPEG ,由 CQ1- CE ,则有CQ 31-EQ ,则有2BC CQEG EQ12由 BC 6 ,贝U EG 2BC12,即 EPBP 12 .“用型比例转换即可.【总结】考查角平分线与平行线产生等腰三角形的基本图形，构成【练习35】已知在 ABC中，ACB60点B与点C重合,折痕DE交AB

28、于点D,【难度】【答案】6-15【解析】作AFBC交BC于点F ，ACB60AFCFAC cos ACB依题意可得DEAFBE 3 /曰，得:BF 5DE,AC = 2 , BC = 6 ,将 ABC沿着DE翻折，使交BC于点巳那么 ACD的面积为AC sin ACB1 c-BC 3 , 2DE垂直平分 BC ,则有 BE CE空,Sacd Sabc Sbcd 1AF52BC1DE 2BC635【总结】考查特殊角的锐角三角比的应用和翻折性质的理解应用.【练习36】根据三角形外心的概念，我们可引入如下一个新定义:定义：到三角形的两个顶点距离相等的点，叫做此三角形的准外心.根据准外心的定义，探究如

29、下问题：如图，在Rt ABC中,90,BC = 10,AB = 6,如果准外心P在边AC上，那么PA的长为【解析】根据勾股定理，可得：ACJBC2 AB2 8 .(1)点P到点A和点C距离相等，则P为AC中点，此时则有PAPC(2)点P到点B和点C距离相等，则有PB PC ,设PA62222在Rt ABP中用勾股定理，则有 BP AB AP ,即8 x故AP的长为4或7 .4【总结】本题应注意多解问题的存在性，也可采用锐角三角比进行求解.【练习37如图，在 AOB中，已知 AOB 90 , AO = 3, BO = 6,将 AOB绕顶点O逆时针旋转到 A'OB'处，此日线段 A

30、'B'与BO的交点E为BO的中点，那么线段 B'E的长度为【解析】作OF A'B'交A'B'于点F ,根据勾股定理可得：AB JAO2 BO2 3病,根据面积法可得：OF -AO-BOAB勾股定理可得：EF Je。2 OF2 述，根据旋转性质tanB5OAOBtanB'OFB'F由此可得：B'F12.55，B'E B'F EF9.55【总结】考查旋转性质的综合应用.【练习38如图，在直线m上摆放着三个正三角形:ABC、 HFG、DCE ,已知BC§ 2,则 3 2§ 4 .F、G

31、分别是BC、CE的中点，FM / AC, GN / DC.设图中三个平行四边形的面积依次是 G、$、S3,若 § S3 10,则 S2【难度】【答案】4.【解析】设CD与GH交点为P,S AM CF由 AB/FH/CD ,可得： 一 S2 CP CGSc 1即得：S2 2S1,同理可得，S32则有S3 2s2 4§,由& S3 10,可得：【总结】考查平行线分等边三角形也得到等边三角形以及面积等比的转化.【练习39如图，在矩形 ABCD中，已知AB = 12, AD = 8,如果将矩形沿直线l翻折后点A落在边CD的中点E处，直线l分别与边AB、AD交于点M、N,那么

32、MNMN垂直平分 AE ,则有 AMAD 8 x,.一 .222则有 DM DE ME ,:x -25, MN AE, BAD 4DE2 10 ,则有 sin DAE【难度】【答案】125 . 12【解析】连结ME ,依题意可得 设AM x,则有ME x , 在Rt DME中用勾股定理， 一.222,.一即8 x 6 x ,解得勾股定理得：AE .收90 ,易得 DAE ANM ,DE 3AMsin ANM ,AE 5MN254MN3 得：MN512512【总结】考查翻折的性质和锐角三角比的综合应用.【练习40如图，在矩形 ABCD中，AB = 8, BC = 9,点段AP上的动点，射线BQ与

33、矩形ABCD的一边交于点P在BC边上，CP = 3,点Q为线R,且 AP = BR,贝UQR.BQ【难度】【答案】1或4卬'19 . 8【解析】由BC = 9, CP = 3,可得BP BC CP 6,勾股定理可得： ap Jab2 bp2 10 BR .(1)当射线BQ与AD交于点R时，可得AR BP 6,由AD/BC,则有QR 竺 1 ； BQ BP【总结】考查三角形一边平行线性质定理的综合应用，注意题目的多解性.【练习 41(1) 2sin60 cos45tan303tan30 sin 45(2)tan2 302tan301, tan 70 tan 20 4cos30 4cos

34、30(3)12tan60 |tan603tan 45cot 40cot5082 sin 6032邪;(2)【解析】（1）原式-432代；(2)原式 1 tan302cos30,3 2（3）原式 tan 60 1【总结】考查特殊角锐角三角比的计算，去绝对值注意符号【练习42如图，D、E是 ABC边AB上的点，F、G分别是边AC、BC上的点，且满足AD = DE = EB, DF / BC, EG / AC.（1）求证：（2）设 CAFG / AB;请用向量a、b表不向量GF.【难度】【答案】（1）略;TGF4 b Ta2 一 3【解析】(1)证明：DF/BC, DF AD ；即口51BC AB

35、3EG/AC, BG -BE 1，即 BG -BC ,1BC AB 33H _ _,BG/DF , 四边形BGFD是平行四边形.FG/BD ,即 FG /AB ;BG DF .（2）由（1）可得:BGBE1FGCG2，又FG / /AB ,则有 ,BCAB3ABBC3【总结】考查三角形一边平行线性质定理的综合应用，同时考查同向向量的意义和向量的线 性运算.【练习43如图， ABC中，AC = BC, F为底边AB上一点，BL W （m、n > 0）, D是 AF nCF中点，联结 AD并延长交BC于E.（1）求BE的值；EC（2）若 BE = 2 EC,求证：CF AB.【难度】【答案】

36、（1） m_；（2）略. n【解析】（1）过点F作FG/DE交BC于点G ,则有BG世m,又D为CF中点，可知E为GC中点, GE AF n由此可得:BE m nCE n(2)证明：BE = 2 EC,则有.BECE由此可得：m n ,则有AF FB ,即F为AB中点.“A'字型和“8字型等基A AC BC, CF AB.【总结】考查三角形一边平行线性质定理的综合应用，作平行线构造 本图形进行比例变换即可.【练习44在平行四边形 ABCD中，点E在BC边上，点F在BC边的延长线上，且BE = CF .(1)求证：四边形 AEFD是平行四边形;(2)连接AF,分别交DE、CD于M、N,若

37、 BAME ,求证：ND AD AN ME .【答案】略.【解析】证明：(1) 四边形ABCD是平行四边形,AD/BC, AD BC, " BEEF EC CF EC BE BC四边形AEFD是平行四边形;(2) 四边形"AMEABCD是平行四边形,B AMEADNMNDADN sDMNANDNADDM''MD MEAD AN ME .【总结】考查平行四边形性质和相似的结合应用.【练习45】如图，梯形 ABCD中，AB / CD,AD = BC,点O,且ABE BCA.求证：(1) BAEs BOA; (2) BOI BE BCAE.略.证明:(1) :四边

38、形ABCD是等腰梯形,点E在边AD上，BE与AC相交于DABABEAOBsAOBABOBCA,ABCBAEs BOA,OAB BAC,BAEs则有任OABOA;BEAB 'BEAEABOAOAAOBs ABC ,则有 OAABBEAE即证BO BE BCAE.考查相似三角形的判定，先判定在应用进行等比转换.【练习46如图，在 ABC中， ACB 90 ,点D于点E, EM是线段BD的垂直平分线.(1)求证：CDBE(2)BCBD若 AB = 10,求CD的长.证明:EDBDCEcos B略；（2） 5.（D " EM是线段BD的垂直平分线,BC 4CDECD BE 5,即(于

39、CD 5 .BC BD 8在边 AB上，DE平分 CDB交边BCBE DE ,CDDEBECBD,*BCBDBD8,同时cosBBM4-4 ,即得:BE5BE可得：BCBDCDEsBE2BM【总结】考查锐角三角比在直角三角形中的综合应用.【练习47如图，在 ABC中， BAC 90 , AD是BC边上的高，点E在线段DC上,EFAB, EG AC,垂足分别为F, G.求证：(1)空 CG ; ( 2) FD DG .略.(1)EG AC , AD 是边BC上的高,(2)ADCEGCsBACEG CGEGC 90 .EGADCGCD90EFAFAB,ADEGACAD CD 'CGCD&#

40、39;.,EG AC, AD是边BC上的高,即有FAD s GCD,FDA GDC,FDA GDAFD DG .AD CD四边形是AFEG矩形,AF EG.DACGDCDAF 90 , DACGDA,即 FDG【总结】考查相似三角形判定定理 1与定理2和相似三角形性质的综合题，需要根据题目需求进行变形，找准题目所求结论，然后根据性质和判定进行灵活转换.【练习48】据新华社2014年12月13日电，参加湄公河联合巡逻执法的中国巡逻船顺利返航.已知在巡逻过程中，某一天上午，我巡逻船正在由西向东匀速行驶，10:00巡逻船在A处发现北偏东53.1方向，相距10海里的C处有一个不明物体正在向正东方向移动

41、，10:15巡逻船在B处又测得该物体位于北偏东18.4方向的D处.若巡逻船的速度是每小时36海里.（1）试在图中画出点 D的大致位置，并求不明物体移动的速度；（2）假设该不明物体移动的方向和速度保持不变，巡逻船航行的方向和速度也不变，试问什么时间该物体与我巡逻船之间的距离最近？（备用数据：sin53.10.8,cos53.10.6,cot53.10.75,sin18.40.32,cos18.4 0.95, cot18.4 3)【难度】【答案】（1） D点位置如图，不明物体移动速度为每小时12海里；（2） 10:20该物体与巡逻船距离最近.【解析】（1） B点北偏东18.4°即为D点位

42、置，如图所示,作CF AB交AB于点F ,则有CF BE,则有 ACF 53.1 ,由此可得AF AC sin ACFCF AC cos ACF 10 0.6 6 BE,BE 6由此可得：DE 6 2,cot EBD 3巡逻船速度为每小时 36海里，可得AB一 36 9 ,则有 FB AB AF 1 CE , 60则CD CE ED 3,不明物体速度为 3156012海里/小时;（2）两物体距离最近，巡逻船正好在不明物体的下方，转化为追及问题，可知巡逻船行驶，、一 .1时间为836 12 1h 20min ,即10:20时该物体与我巡逻船距离最近.3【总结】考查方位角和锐角三角比在实际问题中的

43、应用，把相应的长度转化为直角三角形的 边长即可.【练习49如图，在 ABC中， C 90 , AC = 4, BC = 3, O是AB上一点,且 AO : OB = 2 : 5.（1）过点O作OH AC垂足为点H,求点O到直线AC的距离OH的长；（图1）（2）若P是边AC上的一个动点，作PQ OP交线段BC于点Q （不与B、C重合）（图2）求证：POH s QPC ;设AP = x, CQ = y,试求y关于x的函数解析式，并写出定义域;当AP为何值时，能使OPQ与CPQ相似.略；D y 7x266x16一,3定义域为空或里或77187【解析】（1）由OHAC,C 90，可得OH /BC，则有

44、OHBCOAAB2 .1-,由此可得:7OH：OPQCPQCPQOPH 9090CPQCQP90 POH s则有* I,CPHCQPHO 90 ,POHQPC则有PHCPPOH则有OPPQOHPCOH ,即可得：PHOHPC，即得8 x -7yBC 3AC 4OHAH可得:AH，整理得：yOH CPOPQ与CPQ相似,则应有OHPCPH 7或OH678 x78分别解得:6718一,71026一,一77【总结】相似的分类讨论只需要转化为一个三角形中的边的关系即可,分类时要注意变化顺序.n【练习50如图，在平面直角坐标系中，点A、C分别在x轴，y轴上，四边形 ABCO为矩4形，AB = 16,点D与点A关于y轴对称，tan ACB ,点E、F分别是线段 AD、3AC上的动点（点 E不与点A、D重合），且 CEFACB.tan ACB3ACJab2 bc2 20,同时可得:AO BC12,则有A 12,0,点D与点A关于y轴对称，可知