电压稳定分析 奇异值分解

1、电力系统电压稳定静态分析1 非线性规划法2 奇异值分解法3 特征值分析法4 灵敏度分析5分岔分析法 奇异值分解法： 奇异值分解是有关矩阵问题的强有力工具，已在众多领域中得到应用。该方法由潮流雅克比矩阵的行列式符号决定所研究系统是稳定的或不稳定的，潮流雅克比矩阵的最小奇异值作为静态电压稳定性的指标，最小奇异值大小可表示运行点和静态电压稳定极限间的距离。奇异值分解法用于电力系统分析是基于以下定理和定义。定理4.1 设A ，则存在单位正交矩阵U和V,使得 （4-28）式中， 且 Rnm 000AUVT),.,(2,1rdiag. 0min21maxr4.3.2奇异值分解法 定义4.1 设A ,有奇异

2、值分解式（4-28），则称 为A的奇异值 ，称U的列向量为A的右奇异向量，V的列向量为A的左奇异向量。 A的右奇异值向量为 的单位正交右特征向量，左奇异特征向量为 的单位正交左特征向量。如果A有n个奇异值，则 也有个奇异值，且A和 的非零奇异值是相同的，非零奇异值的个数为A的秩。 对矩阵A进行奇异值分解： （4-29） 其中，包含零奇异值，左右奇异向量间的关系如下： （4-30） （4-31） （4-32） （4-33） Rnm ) 0(2121nrrnAATAATTATATUVAnmivAii,min, 2 , 1,uimnmivAnmiuvAiTiiiT,1,min,0,min,2,1,n

3、nmiAui, 1,min, 04.3.2奇异值分解法 因此，对于线性方程组 ，A是非奇异的，而 。则对矩阵A进行奇异值分解后，系统的解X可以写成: （4-34）可以看出，如果奇异值 足够小，则矩阵A或向量b的微小变化，会引起X的大的变化。定理4.2 设A ，有奇异值 那么 （4-35）令 则有若假设 （4-36）nnRAbAX ,nRbbVUbUVbAXniiTiiT11)(iRnm. 0min21maxrniinFA12222212), 2 , 1(rjuvETjjjrrEEEA2211112211rrEEEA4.3.2奇异值分解法 可以证明，就矩阵A的范数F而言 ， 是最接近A的秩为r-

4、1的矩阵，类似的 ，是最接近A的秩为r-2的矩阵，以此类推。 雅可比矩阵J 是电力系统电压稳定静态分析方法中的重要矩阵，将上述奇异值分解理论应用于改矩阵，可得到，在正常情况下，雅可比矩阵非奇异， 0;当系统达到静态稳定极限时，雅可比矩阵奇异， =0. 在无穷多个能使雅可比矩阵降阶的矩阵中，按照式（4-36）构造的降阶矩阵 是就范数而言最接近原矩阵J，且有 （4-37）可见， 可以反映雅可比矩阵接近奇异的程度。 矩阵的奇异程度还可以用条件数来表示，满秩矩阵的条件数为A222211 rrEEEARnm minminJminFJJmin4.3.2奇异值分解法 （4-38）当矩阵A奇异时，则 =0 且

5、con(A)为无穷大；若con(A)接近1，则A远离奇异，如果con(A)越大，则更接近奇异。因此，若con(A)con(B),则认为A比B更奇异。1. 电力系统模型 假设一个电力系统，除平衡节点外，系统的节点总数为n,m是电压可调的节点数，则系统的潮流方程可描述为 P(,U)=0 Q(,U)=0 (4-39) 式中， 表示有功平衡； 表示无功平衡；和U表示节点电压的角度和幅值。将方程组线性化为minmax)(Aconmin,21nPPPP,21nQQQQ4.3.2奇异值分解法 (4-40)式中，矩阵J为完全雅可比矩阵；子矩阵 为潮流方程偏微分形成的雅可比矩阵的子阵。 1）PQ可解耦 即有功P

6、和角度相关，与电压U无关；无功Q和电压U相关，与角度无关，则有 (4-41) (4-42) (4-43) UJJJJUJQPQUQPUPQUQPUpJJJJ、QPUJJQUP00UJQJPQUP4.3.2奇异值分解法 在系统满足解耦条件下，式（4-42）可用于描述静态功角问题，如果 非奇异，则系统功角稳定；式（4-43）可用于描述节点电压对注入的无功功率的灵敏度，可作为衡量系统电压稳定性的一个指标。 2）PQ不可解耦 当系统处于重载情况，则无功功率与角度之间的相互作用不可忽视，则PQ不可解耦。在这种情况下，可引入简化雅可比矩阵。假设式（4-41）中P=0，可得到 (4-44)可定义简化雅可比矩

7、阵： (4-45)式（4-44）可以表示节点电压幅值与无功功率微增变化之间的线性关系。由分块矩阵理论（schur公式），完全雅可比矩阵J的行列式值可用下式计算： (4-46)PJQ0UJJQUP00PUPQQURJJJJJ1)det()det()det(RPJJJ4.3.2奇异值分解法 可以看出，当矩阵 或矩阵 奇异时，完全雅可比矩阵J也奇异。由于 可反映系统静态功角稳定问题，当系统没有功角稳定问题时， 非奇异，即 0，因此，只有当降阶雅可比矩阵 奇异时，完全雅可比矩阵J奇异， 的奇异性可用来指示系统的电压稳定性。 若对矩阵J进行奇异值分析，可得 (4-47)其中，奇异值向量 为规格化矩阵V和

8、U 的第i列， 为正的实奇异值 的对角矩阵， 。若其中一个奇异值接近0，系统临近崩溃点，系统响应应由最小奇异值 和它相应的奇异向量 所决定，可得 (4-48)PJRJPJPJPJPJRJmniTiiiTUVUVJ21iiUV和imn221mn2m-n2m-n2UV、QPVUUTm-n2m-n21-m-n24.3.2奇异值分解法 其中，并满足规格化： （4-49） （4-50）令 = （4-51）将式（4-49）和（4-50）代入（4-48），可得 （4-52） 由式（4-52）可以看出，当系统接近于电压崩溃点，最小奇异值非常小，因此，很小的功率波动将可能引起电压很大的变化。 ,11m-n2Tm

9、nnUUU，TmnnQQPPV,11m-n2nimniiiU11221nimniiiQP11221QPm-n2Vm-n2m-n2UU4.3.2奇异值分解法 2.奇异值分解技术在电压稳定分析中的应用 如前所述，矩阵的奇异性可以通过条件数来度量。随着运行条件的变化，雅可比矩阵的最小奇异值是和条件数的变化相一致的。因此，完全雅可比矩阵和降阶雅可比矩阵的最小奇异值都可以作为电压稳定性的指标。有关左奇异值向量 以及右奇异值向量 在电压稳定分析中的应用说明如下： （1） 中最大的元素值相当于有功功率和无功功率注入变化最灵敏的方向，因此左奇异值向量可以得到系统中最危险的负荷和发电量的变化模式；在（4-51）

10、中， 提供了节点处功率注入变化的典型模式；左奇异值向量还可以提供区域断面潮流对电压稳定性的影响，以及可选择出系统的弱传输线。 （2） 中最大的元素值对应最灵敏的节点电压，因此，右奇异值向量可用于识别系统中的弱节点以及临界区域，例如，可定义节点强弱程度指标 在式（4-52）中， 提供了节点电压和角度改变的典型模式。m-n2Um-n2Vm-n2Vm-n2Vm-n2UjLC);, 2 , 1(2mnjUmnjm-n2U4.3.2奇异值分解法 3. 实例 以IEEE39节点标准为例。系统接线图如图4.9所示。 维持发电机和其他节点负荷不变，增加7号节点的负荷水平，负荷增长方式采用恒功率因数的负荷增长方式 ， 指标的计算结果见表4.3.可以看出，随着负荷的加重，大多数PQ节点的LC指标都增大，其中，由58号节点所构成的区域内的LC指标都超过了7.5，而最弱节点7号节点的LC 指标甚至超过了9.5，7号节点已经很接近电压临界点。 从表4.4中也可以看出，弱区域内的实际电压水平已