25初等矩阵及其性质

1、 第二章第二章 矩阵概念及其运算矩阵概念及其运算一、初等矩阵的概念与性质一、初等矩阵的概念与性质【定义定义2.9】由单位矩阵经一次初等变换而得到的矩阵由单位矩阵经一次初等变换而得到的矩阵称为初等矩阵称为初等矩阵. 100010001初等矩阵分为三类初等矩阵分为三类,分别记为分别记为eij、ei（k）、）、 eij（k）；）； 如对三阶单位矩阵如对三阶单位矩阵e23= 010100001（1）eij: 交换单位矩阵的第交换单位矩阵的第 行（行（列列），得到的初等矩阵），得到的初等矩阵ji,)(keiik(2) :单位矩阵e的第 行（列）元素乘以常数 ，得到的初等矩阵e3（k）= k0001000

2、1 如对三阶单位矩阵如对三阶单位矩阵 100010001)(keijejik(3) ：单位矩阵 的第 行(第 列)乘以常数 加到第 行(第 列)，得到的初等矩阵ji 如对三阶单位矩阵如对三阶单位矩阵 100010001e12（k）= 10001001k 1）对对a施行施行一次初等行变换一次初等行变换的结果等于用一个相应的结果等于用一个相应的初等阵的初等阵左乘左乘矩阵矩阵a;对对a施行施行一次初等列变换一次初等列变换的结果的结果等于用一个相应的初等阵等于用一个相应的初等阵右乘右乘矩阵矩阵a.初等矩阵有以下性质：初等矩阵有以下性质：行变换：行变换：bajirrbakei)(bakri baeijb

3、ajikrrbakeij)(列变换列变换：bajicc bkaei)(bakci baeijbajikccbkaeji )(111213142321222324313233341 0 00 10 0 1( )aaaae k akaaaaaaaa ba32rkr如：如：11121314321222324313233341 0 0 00 1 0 00 000 0 0 1( )aaaaae kaaaakaaaa 3k cab 11121314213122322333243431323334aaaaakaakaakaakabaaaa111213142122232431323334aakaaaakaab

4、aakaaa21rr kc 3kr 1用用初等矩阵初等矩阵表示矩形框里的矩阵：表示矩形框里的矩阵：ae12123( )e ae k1123( )( )e k e ae k1123( )( )e k e ae kb b 2）初等矩阵都是）初等矩阵都是可逆矩阵可逆矩阵,并且初等矩阵的逆矩阵还并且初等矩阵的逆矩阵还是初等矩阵是初等矩阵,即即:1;ijijee 行变换：行变换：bajirrbaeijbajirr ije ba 1( )iek()ijek 110( )( );iiekekk 1( )()ijijekek ( )ie kbakri bajirkr)( bajikrr( )ije kbakr

5、i1 )()();()(;kkkkjitijitiijtijeeeeee 3） 初等矩阵的转置还是初等矩阵，即：初等矩阵的转置还是初等矩阵，即：【定理【定理2.4】矩阵矩阵a可逆的充要条件是可逆的充要条件是:存在有存在有限个初等阵限个初等阵p1，p2，,pk，使a=p1p2pk.【证证】 充分性充分性:设有初等阵设有初等阵p1，p2，,pk, 使使a=p1p2pk. 因初等阵是可逆矩阵因初等阵是可逆矩阵,且可逆阵的积还是可逆阵，所且可逆阵的积还是可逆阵，所以以a可逆。可逆。 即 a= p1p2pk, 必要性必要性：设设a是可逆阵，所以是可逆阵，所以r(a)=na经初等变换可以化成单位矩阵经初等

6、变换可以化成单位矩阵e，从而经有限次初等，从而经有限次初等变换可以将变换可以将e变成变成a，存在有限个初等阵存在有限个初等阵p1,p2,pl,pl+1,pk,使a= p1p2plepl+1pk,证毕证毕二、用初等变换求逆矩阵二、用初等变换求逆矩阵【推论推论1】两个两个 型矩阵型矩阵a、b等价的充要条件是等价的充要条件是:存存在在m阶可逆矩阵阶可逆矩阵p及及n阶可逆矩阵阶可逆矩阵q,使使paq=b.nm 证证 a a与与b b等价等价 存在有限个存在有限个 阶初等矩阵阶初等矩阵msppp,21及有限个及有限个 阶阶 n初等矩阵初等矩阵 使使 ,21tqqq,2121bqqaqpppts令令 ;2

7、1spppp.21tqqqq由定理由定理2-2-4 4知知p p是是 阶可逆矩阵阶可逆矩阵,q,q为为 阶可逆矩阵阶可逆矩阵 mn且且 paq=b paq=b r(pa)=r(aq)=r(paq)=r(a)【推论推论2】设设a是是 矩阵矩阵,p是是m阶可逆矩阵，阶可逆矩阵，q是是n阶可逆矩阵阶可逆矩阵.则则nm 【推论推论3】设设a是可逆矩阵是可逆矩阵,则可以只经过初等行变换则可以只经过初等行变换化成单位矩阵化成单位矩阵e.这表明这表明,只经过初等行变换便可将只经过初等行变换便可将a化成单位矩阵化成单位矩阵.【证推论证推论3】 因因a可逆可逆, 所以所以a-1也可逆也可逆,由定理由定理2.4存

8、在初等阵存在初等阵p1,p2,ps,使使a-1= p1p2ps因为因为 a-1a=e 于是有p1,p2,psa=e二、用初等变换求逆矩阵二、用初等变换求逆矩阵 得 : p1p2psa=e p1p2pse=a-11.用初等变换求逆矩阵用初等变换求逆矩阵设设a是是n阶可逆矩阵阶可逆矩阵,则则a-1 也可逆。也可逆。从而存在初等阵从而存在初等阵p1,p2,ps由由 a-1a=e; a-1e= a-1; 结论结论: 若经过一系列初等行变换将若经过一系列初等行变换将a化成单位矩阵化成单位矩阵e时时,则施行同样的一系列的初等行变换就把单位矩阵则施行同样的一系列的初等行变换就把单位矩阵e化成了逆矩阵化成了逆

9、矩阵a-1 用初等变换求逆矩阵的方法用初等变换求逆矩阵的方法:1)构造矩构造矩:(a e);2)做初等行变换做初等行变换1 aeea行spppa211 使使例例1210121012a求a的逆矩阵,其中 【解解】 由于100210010121001012ea 10021000101201012121rr 100210021230010121122rr 02123010021001012132rr 321400100210010121233rr4321411002112101041214300132141;2rrr 32140021121010432341021313241;21rrrr所以:43

10、2141211214121431a注注:也可用初等列变换求可逆矩阵的逆也可用初等列变换求可逆矩阵的逆1aeeaea列做初等列变换令矩阵)2) 1如上例:100010001210121012ea43214121121412143100010001列=a-12.用初等变换解矩阵方程用初等变换解矩阵方程（1）设矩阵方程为:ax=b,其中a可逆,则矩阵x=a-1b由 a-1a=e; a-1b= x;设:a-1 =p1p2ps (pi为初等矩阵)得 : p1p2psa=e p1p2psb=x解矩阵方程解矩阵方程:ax=b(其中其中a可逆可逆)的一般方法的一般方法: 1) a be x 行bax1) 2

11、（2）当矩阵）当矩阵a可逆时可逆时,如何用初等变换求解矩如何用初等变换求解矩阵方程阵方程:xa=b ?想一想想一想 1baeba列列2352,4321ba例例2:设矩阵方程为ax=b,求矩阵x,其中解解: 由于23435221ba 133205221123rr21323105221212r 21323108101212rr所以21323811bax例例3 2311233342130211003724113341152 1003701411713474157 设矩阵设矩阵 矩阵矩阵 满足满足 ,其中其中 是是 的伴随矩阵，求的伴随矩阵，求 .111111111ax12a xaxxax例四页例四页

12、aaa e2a xeax即即2a ea xe()12xa ea()1111114111a11122 111111a ea111111112111x12a xax()aa解：解：三、小结三、小结1.1.初等行初等行( (列列) )变换变换 ;1jijiccrr ;2kckrii .3jijikcckrr 初等变换的逆变换仍为初等变换初等变换的逆变换仍为初等变换, , 变换类型相同变换类型相同3.3.矩阵等价具有的性质矩阵等价具有的性质 ;1 反身性反身性 ;2 对称性对称性 .3 传递性传递性2 2. .a初等变换初等变换b. ba5. 5. 初等变换的应用初等变换的应用用初等变换求逆矩阵的方法

13、用初等变换求逆矩阵的方法: :1)构造矩构造矩:(a e);2)做初等行变换做初等行变换1 aeea行行用初等变换解矩阵方程用初等变换解矩阵方程:ax=b(:ax=b(其中其中a a可逆可逆) )的方法的方法: :baeba11 行行)bax1) 2用初等变换解矩阵方程用初等变换解矩阵方程:xa=b(:xa=b(其中其中a a可逆可逆) )的方法的方法: : 1baeba列列4. 4. 单位矩阵单位矩阵 初等矩阵初等矩阵. .一次初等变换一次初等变换 作业：作业： 6页页 习题习题2-5 1;2;3 6页页 总习题二总习题二 6;四、问题与思考四、问题与思考 习题习题2-4 1. 矩阵矩阵a可

14、逆可逆,且且 则则a= ;121122213231323122211211xxxxxxxxxxxxa2. 设矩阵方程设矩阵方程: 则则x= ; 403322100211001010100x问题与思考答案问题与思考答案001010100.1 a304223001112. 2x练习练习 将下列矩阵利用初等变换化为将下列矩阵利用初等变换化为行阶梯形行阶梯形, ,再再化化为为行最简形行最简形, ,最后最后化为标准形化为标准形. . 97963422644121121112a 注意：化矩阵为行阶梯形或行最简形时仅能用注意：化矩阵为行阶梯形或行最简形时仅能用初等行变换初等行变换. . 化矩阵为标准形时，初

15、等行变换和初化矩阵为标准形时，初等行变换和初等列变换均可以使用等列变换均可以使用. .21rr 23 r21112112144622436979a 11214211122311236979 13322rrrr 143rr 11214022200553603343 23225rrr 243rr 3100062000011104121143rr 342rr 100000310000111041211b 200000310003011040101b 21rr 32rr 000003100001110412111b300000001000001000001b 依次为行阶梯形和行最简形矩阵。依次为行阶梯形和行最简形矩阵。2b最后得到的矩阵最后得到的矩阵 是是 的标准形，的标准形，3ba,1b2b依次为依次为练习 ：求方阵的逆矩阵。 123221343a1 0 0132350 1 03220 0 1111232 rr100132020365001111132325 rrrr10211002521000111 11232 rrrr123100025210026301221331 rrrr123100221010343001ae 132353221111a例例4