高中数学 第三章 数系的扩充与复数的引入 3.2 复数代数形式的四则运算 3.2.1 复数代数形式的加、减运算及其几何意义学案 新人教A版选修22

1、3.2.1复数代数形式的加、减运算及其几何意义学习目标：1.掌握复数代数形式的加、减运算法则(重点)2.了解复数代数形式的加、减运算的几何意义(易错点)自 主 预 习·探 新 知1复数加法与减法的运算法则(1)设z1abi，z2cdi是任意两个复数，则z1z2(ac)(bd)i；z1z2(ac)(bd)i.(2)对任意z1，z2，z3c，有z1z2z2z1；(z1z2)z3z1(z2z3)2复数加减法的几何意义如图3­2­1，设复数z1，z2对应向量分别为1，2，四边形oz1zz2为平行四边形，向量与复数z1z2对应，向量与复数z1z2对应图3­2

2、73;1思考：类比绝对值|xx0|的几何意义，|zz0|(z，z0c)的几何意义是什么？提示|zz0|(z，z0c)的几何意义是复平面内点z到点z0的距离基础自测1思考辨析(1)复数加法的运算法则类同于实数的加法法则()(2)复数与复数相加减后结果为复数()(3)复数加减法的几何意义类同于向量加减法运算的几何意义()答案(1) (2)(3) 2已知复数z134i，z234i，则z1z2 () 【导学号：31062210】a8ib6c68i d68ibz1z234i34i(33)(44)i6.3复数(1i)(2i)3i等于()a1i b1ici dia(1i)(2i)3i(12)(ii3i)1i

3、.故选a.4已知复数z3i333i，则z()a0b6ic6d66idz3i333i，z(33i)(3i3)66i.5已知向量1对应的复数为23i，向量2对应的复数为34i，则向量对应的复数为_解析(34i)(23i)1i.答案1i合 作 探 究·攻 重 难复数加减法的运算(1)计算：(23i)(42i)_.(2)已知z1(3x4y)(y2x)i，z2(2xy)(x3y)i，x，y为实数，若z1z253i，则|z1z2|_.解析(1)(23i)(42i)(24)(32)i2i.(2)z1z2(3x4y)(y2x)i(2xy)(x3y)i(3x4y)(2xy)(y2x)(x3y)i(5x

4、5y)(3x4y)i53i，所以解得x1，y0，所以z132i，z22i，则z1z21i，所以|z1z2|.答案(1)2i(2)规律方法复数与复数相加减，相当于多项式加减法的合并同类项，将两个复数的实部与实部相加(减)，虚部与虚部相加(减).跟踪训练1计算：(1)(35i)(34i)_.(2)(32i)(45i)_.(3)(56i)(22i)(33i)_. 【导学号：31062211】解析(1)(35i)(34i)(33)(54)i6i.(2)(32i)(45i)(34)(25)i77i.(3)(56i)(22i)(33i)(523)(623)i11i.答案(1)6i(2)77i(3)11i复

5、数加减运算的几何意义(1)复数z1，z2满足|z1|z2|1，|z1z2|.则|z1z2|_.(2)如图3­2­2，平行四边形oabc的顶点o、a、c对应复数分别为0、32i、24i，试求图3­2­2所表示的复数，所表示的复数；对角线所表示的复数；对角线所表示的复数及的长度 解析(1)由|z1|z2|1，|z1z2|，知z1，z2，z1z2对应的点是一个边长为1的正方形的三个顶点，所求|z1z2|是这个正方形的一条对角线长，所以|z1z2|. (2)，所表示的复数为32i.，所表示的复数为32i.所表示的复数为(32i)(24i)52i.对角线，它所对应

6、的复数z(32i)(24i)16i，|.规律方法1.用复数加、减运算的几何意义解题的技巧(1)形转化为数：利用几何意义可以把几何图形的变换转化成复数运算去处理.(2)数转化为形：对于一些复数运算也可以给予几何解释，使复数作为工具运用于几何之中.2.常见结论在复平面内，z1，z2对应的点分别为a，b，z1z2对应的点为c，o为坐标原点，则四边形oacb 为平行四边形；若|z1z2|z1z2|，则四边形oacb为矩形；若|z1|z2|，则四边形oacb为菱形；若|z1|z2|且|z1z2|z1z2|，则四边形oacb为正方形.跟踪训练2复数z112i，z22i，z312i，它们在复平面上的对应点是

7、一个正方形的三个顶点，求这个正方形的第四个顶点对应的复数. 【导学号：31062212】解设复数z1，z2，z3在复平面内所对应的点分别为a，b，c，正方形的第四个顶点d对应的复数为xyi(x，yr)，如图则(x，y)(1,2)(x1，y2)(1，2)(2,1)(1，3)，解得，故点d对应的复数为2i.复数模的最值问题探究问题1满足|z|1的所有复数z对应的点组成什么图形？提示：满足|z|1的所有复数z对应的点在以原点为圆心，半径为1的圆上2若|z1|z1|，则复数z对应的点组成什么图形？提示：|z1|z1|，点z到(1,0)和(1,0)的距离相等，即点z在以(1,0)和(1,0)为端点的线段

8、的中垂线上3复数|z1z2|的几何意义是什么？提示：复数|z1z2|表示复数z1，z2对应两点z1与z2间的距离(1)如果复数z满足|zi|zi|2，那么|zi1|的最小值是()a1bc2 d(2)若复数z满足|zi|1，求|z|的最大值和最小值(1)a设复数i，i，1i在复平面内对应的点分别为z1，z2，z3，因为|zi|zi|2, |z1z2|2，所以点z的集合为线段z1z2. 问题转化为：动点z在线段z1z2上移动，求|zz3|的最小值，因为|z1z3|1. 所以|zi1|min1.(2)如图所示， |2.所以|z|max213，|z|min211.母题探究：1.(变条件)若本例题(2)

9、条件改为“设复数z满足|z34i|1”，求|z|的最大值解因为|z34i|1，所以复数z所对应的点在以c(3,4)为圆心，半径为1的圆上，由几何性质得|z|的最大值是16.2(变条件)若本例题(2)条件改为已知|z|1且zc，求|z22i|(i为虚数单位)的最小值解因为|z|1且zc，作图如图：所以|z22i|的几何意义为单位圆上的点m到复平面上的点p(2,2)的距离，所以|z22i|的最小值为|op|121.规律方法|z1z2|表示复平面内z1，z2对应的两点间的距离.利用此性质，可把复数模的问题转化为复平面内两点间的距离问题，从而进行数形结合，把复数问题转化为几何图形问题求解. 当 堂 达

10、 标·固 双 基1. a，b为实数，设z12bi，z2ai，当z1z20时，复数abi为() 【导学号：31062213】a1ib2ic3d2idz12bi，z2ai，z1z22bi(ai)0，所以a2，b1，即abi2i2已知z12i，z212i，则复数zz2z1对应的点位于()a第一象限b第二象限c第三象限d第四象限bzz2z1(12i)(2i)1i，实部小于零，虚部大于零，故位于第二象限3计算|(3i)(12i)(13i)|_.解析|(3i)(12i)(13i)|(2i)(13i)|34i|5.答案54已知复数z1(a22)(a4)i，z2a(a22)i(ar)，且z1z2为纯虚数，则a_.解析z1z2(a2a2)(a4a22)i(ar)为纯虚数，解得a1.答案15在复平面内，复数3i与5i对应的向量分别是与，其中o是原点，求向量，对应的复数及a，b两点间的距离. 【导学号：31062214】解向量对应的复数为(3i)(5i)2.，向量对应的复数为(3i)(5i)82i.a，b两点间的距离为|82i|2.6edbc3191f2351dd815ff33d4