浙江专用高中数学第三章直线与方程3.13.1.2两条直线平行与垂直的判定学案新人教A版必修

1、13.1.23.1.2两条直线平行与垂直两条直线平行与垂直的判定的判定目标定位1.掌握用斜率判定两条直线平行和垂直的方法.2.能根据两条直线平行或垂直的关系确定两条直线斜率的关系.自 主 预 习1.两条直线平行与斜率的关系(1)如图设两条不重合的直线l1，l2的斜率分别为k1，k2，若l1l2，则k1k2；反之，若k1k2，则l1l2.(2)如图若两条不重合的直线的斜率不存在，则这两条直线也平行.2.两条直线垂直与斜率的关系(1)如图，如果两条直线都有斜率且它们互相垂直，那么它们的斜率之积等于1； 反之， 如果它们的斜率之积等于1， 那么它们互相垂直.即k1k21l1l2，l1l2k1k21.

2、(2)如图，若l1与l2中的一条斜率不存在，另一条斜率为零，则l1与l2的位置关系是垂直.即 时 自 测1.判断题(1)若两条直线斜率相等，则两直线平行()(2)若两直线中有一条直线的斜率不存在，另一条直线的斜率存在，则两直线相交.()(3)若两直线的斜率之积等于1，则两直线互相垂直.()(4)若直线l1l2，则直线l1与l2的斜率互为负倒数.()提示(1)当两直线斜率相等时，两直线平行或重合.(4)当一条直线的斜率为 0，另一条直线的斜率不存在时，两直线垂直.2.已知a(2，0)，b(3，3)，直线lab，则直线l的斜率k()a.3b.3c.13d.132解析因为直线lab，所以kkab30

3、323.答案b3.已知直线l1的斜率为 0，且l1l2，则l2的倾斜角为()a.0b.135c.90d.180解析kl10 且l1l2kl2不存在，直线l2的倾斜角为 90.答案c4.已知直线l1，l2的斜率分别为k1，k2，且k12，l1l2，则k2_.解析l1l2，k1k21，k21k112.答案12类型一两条直线平行的判定【例 1】 根据下列给定的条件，判断直线l1与直线l2的位置关系.(1)l1经过点a(2，1)，b(3，5)，l2经过点c(3，3)，d(8，7)；(2)l1的倾斜角为 60，l2经过点m(3，2 3)，n(2，3 3).解(1)由题意知k1513245，k273834

4、5.因为k1k2，且a，b，c，d四点不共线，所以l1l2.(2)由题意知k1tan 60 3，k23 32 323 3.因为k1k2，所以l1l2或l1与l2重合.规律方法1.判断两直线是否平行，应首先看两直线的斜率是否存在，即看两点的横坐标是否相等，若存在再看斜率是否相等.2.判断斜率是否相等实际是看倾斜角是否相等，归根结底是充分利用两直线平行的条件.【训练 1】 根据给定的条件，判断直线l1与直线l2的位置关系.(1)l1平行于y轴，l2经过点p(0，2)，q(0，5)；(2)l1经过点e(0，1)，f(2，1)，l2经过点g(3，4)，h(2，3).解(1)由题意知l1的斜率不存在，且

5、不是y轴，l2的斜率也不存在，恰好是y轴，所以l1l2.(2)由题意知k111201，k234231，虽然k1k2，但是e，f，g，h四点共线，所以l1与l2重合.类型二两条直线垂直的判定3【例 2】 判断下列各组中的直线l1与l2是否垂直：(1)l1经过点a(1，2)，b(1，2)，l2经过点m(2，1)，n(2，1)；(2)l1的斜率为10，l2经过点a(10，2)，b(20，3)；(3)l1经过点a(3，4)，b(3，100)，l2经过点m(10，40)，n(10，40).解(1)直线l1的斜率k12（2）1（1）2，直线l2的斜率k21（1）2（2）12，k1k21，故l1与l2不垂直

6、.(2)直线l1的斜率k110，直线l2的斜率k2322010110，k1k21，故l1l2.(3)l1的倾斜角为 90，则l1x轴.直线l2的斜率k2404010（10）0，则l2x轴.故l1l2.规律方法使用斜率公式判定两直线垂直的步骤：(1)一看：就是看所给两点的横坐标是否相等，若相等，则直线的斜率不存在，若不相等，则进行第二步；(2)二用：就是将点的坐标代入斜率公式；(3)三求值：计算斜率的值，进行判断.尤其是点的坐标中含有参数时，应用斜率公式要对参数进行讨论.【训练 2】 已知直线l1l2，若直线l1的倾斜角为 30，则直线l2的斜率为_.解析由题意可知直线l1的斜率k1tan 30

7、33，设直线l2的斜率为k2，则k1k21，k2 3.答案 3类型三平行与垂直关系的综合应用(互动探究)【例 3】 已知a(4，3)，b(2，5)，c(6，3)，d(3，0)四点，若顺次连接abcd四点，试判定图形abcd的形状.思路探究探究点一判定图形的形状的基本思路是什么？提示先由图形判断四边形各边的关系，猜测四边形的形状，再由斜率之间的关系完成证明.探究点二利用斜率判定平行与垂直时需要注意什么？提示要注意考虑斜率是否存在，又要考虑到图形可能出现的各种情形.解由题意知a，b，c，d四点在坐标平面内的位置，4如图，由斜率公式可得kab532（4）13，kcd033613，kad033（4）3

8、，kbc356212.所以kabkcd，由图可知ab与cd不重合，所以abcd，由kadkbc，所以ad与bc不平行.又因为kabkad13(3)1，所以abad，故四边形abcd为直角梯形.规律方法(1)利用直线的斜率判定平面图形的形状一般要运用数形结合的方法，先由图形作出猜测，然后利用直线的斜率关系进行判定.(2)由几何图形的形状求参数(一般是点的坐标)时，要根据图形的特征确定斜率之间的关系，既要考虑斜率是否存在，又要考虑到图形可能出现的各种情形.【训练 3】 已知abc的顶点a(5，1)，b(1，1)，c(2，m)，若abc为直角三角形，求m的值.解若a为直角，则acab，所以kacka

9、b1，即m12511151，得m7；若b为直角，则abbc，所以kabkbc1，即1115m1211，得m3；若c为直角，则acbc，所以kackbc1，即m125m1211，得m2.综上可知，m7 或m3 或m2.课堂小结1.两直线平行或垂直的判定方法.斜率直线斜率均不存在平行或重合一条直线的斜率为 0，另一条直线的斜率不存在垂直5斜率均存在相等平行或重合积为1垂直2.在两条直线平行或垂直关系的判断中体会分类讨论的思想.1.下列说法正确的有()若两直线斜率相等，则两直线平行；若l1l2，则k1k2；若两直线中有一条直线的斜率不存在，另一条直线的斜率存在，则两直线相交；若两直线斜率都不存在，则

10、两直线平行.a.1 个b.2 个c.3 个d.4 个解析当k1k2时，l1与l2平行或重合，不成立；中斜率不存在时，不正确；同也不正确.只有正确.答案a2.过点( 3， 6)，(0，3)的直线与过点( 6， 2)，(2，0)的直线的位置关系为()a.垂直b.平行c.重合d.以上都不正确解析过点( 3， 6)，(0，3)的直线的斜率k16330 2 3；过点( 6， 2)，(2，0)的直线的斜率k22062 3 2.因为k1k21，所以两条直线垂直.答案a3.直线l1的斜率为 2， 直线l2上有三点m(3， 5)，n(x， 7)，p(1，y)， 若l1l2， 则x_，y_.解析l1l2，且l1的

11、斜率为 2，则l2的斜率为12，75x3y51312，x1，y7.答案174.已知a(m，1)，b(3，4)，c(1，m)，d(1，m1).(1)当m为何值时，abcd?(2)当m为何值时，abcd?解(1)abcdkabkcdkbc，3m312m44，解得m3，当m3 时，abcd.6(2)abcdkabkcd1，3m312 1，解得m92，当m92时，abcd.基 础 过 关1.经过两点a(2，3)，b(1，x)的直线l1与斜率为1 的直线l2平行，则实数x的值为()a.0b.6c.6d.3解析直线l1的斜率k1x3123x3，由题意可知3x31，x6.答案c2.以a(1，1)，b(2，1

12、)，c(1，4)为顶点的三角形是()a.锐角三角形b.钝角三角形c.以a点为直角顶点的直角三角形d.以b点为直角顶点的直角三角形解析kab112123，kac411132，kabkac1，abac，a为直角.答案c3.已知abcd的三个顶点的坐标分别是a(0， 1)，b(1， 0)，c(4， 3)， 则顶点d的坐标为()a.(3，4)b.(4，3)c.(3，1)d.(3，8)解析设d(m，n)，由题意得abdc，adbc，则有kabkdc，kadkbc，01103n4m，n1m03041，解得m3n4，点d的坐标为(3，4).答案a4.已知直线l1的倾斜角为 45，直线l2l1，且l2过点a(

13、2，1)和b(3，a)，则a的值为_.解析l2l1，且l1的倾斜角为 45，kl2kl1tan 451，即a（1）3（2）1，所以a4.答案475.已知直线l1的斜率为 3，直线l2经过点a(1，2)，b(2，a)，若直线l1l2，则a_；若直线l1l2，则a_.解析l1l2时，a2213，则a5；l1l2时，a22113，则a53.答案5536.当m为何值时，过两点a(1，1)，b(2m21，m2)的直线：(1)倾斜角为 135；(2)与过两点(3，2)，(0，7)的直线垂直；(3)与过两点(2，3)，(4，9)的直线平行.解(1)由kabm32m21，解得m32或 1.(2)由kabm32

14、m2，且72033，m32m213，解得m32或3.(3)令m32m293422，解得m34或1.7.已知直线l1经过点a(3，m)，b(m1，2)，直线l2经过点c(1，2)，d(2，m2).(1)若l1l2，求m的值；(2)若l1l2，求m的值.解由题意知直线l2的斜率存在且k22（m2）1（2）m3.(1)若l1l2，则直线l1的斜率也存在，由k1k2，得2mm4m3，解得m1 或m6，经检验，当m1 或m6 时，l1l2.(2)若l1l2.当k20 时，此时m0，l1斜率存在，不符合题意；当k20 时， 直线l2的斜率存在且不为 0， 则直线l1的斜率也存在， 则k1k21， 即m32

15、mm41，解得m3 或m4，8所以当m3 或m4 时，l1l2.能 力 提 升8.已知a(m，3)，b(2m，m4)，c(m1，2)，d(1，0)，且直线ab与直线cd平行，则m的值为()a.1b.0c.0 或 2d.0 或 1解析当ab与cd斜率均不存在时，m0，此时abcd，当kabkcd时，m1，此时abcd.答案d9.若点p(a，b)与q(b1，a1)关于直线l对称，则l的倾斜角为()a.135b.45c.30d.60解析kpqa1bb1a1，kpqkl1，l的斜率为 1，倾斜角为 45.答案b10.直线l1，l2的斜率k1，k2是关于k的方程 2k24km0 的两根， 若l1l2，

16、则m_，若l1l2，则m_.解析由一元二次方程根与系数的关系得k1k2m2，若l1l2则m21，m2.若l1l2则k1k2即关于k的二次方程 2k24km0 有两个相等的实根，(4)242m0，m2.答案2211.已知abc三个顶点坐标分别为a(2，4)，b(6，6)，c(0，6)，求此三角形三边的高所在直线的斜率.解由斜率公式可得kab6（4）6（2）54，kbc66600，kac6（4）0（2）5.由kbc0 知直线bcx轴，bc边上的高线与x轴垂直，其斜率不存在.设ab、ac边上高线的斜率分别为k1、k2，由k1kab1，k2kac1，即k1541，k251，解得k145，k215.bc边上的高所在直线的斜率不存在；9