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文档简介

1、阿波罗尼斯圆及其应用数学理论PA1.阿波罗尼斯圆:在平面上给定两点 AB，设P点在同一平面上且满足 =£，当£0PB且九¥1时，P点的轨迹是个圆，称之为阿波罗尼斯圆。（九=1时P点的轨迹是线段 AB的中垂线） 2.阿波罗尼斯圆的证明及相关性质定理：A,B为两已知点，P,Q分别为线段 AB的定比为人（九#1）的内外分点，则以 PQ为直径的圆。上任意点到 A,B两点的距离之比为证（以儿1为例）AP AQ设AB =a,= -Q =九，则PB QB一 a _ a - aAP =,PB =,AQ =,BQ =1： ，1 .， 1由相交弦定理及勾股定理知22 2_ 2_ a

2、_ 22_ 2'.aBC2 = PB BQ = - , AC2 = AB2 BC2 = 2-12 -1于是BC,A21-1ACBC而P,Q,C同时在到A,B两点距离之比等于 h的曲线（圆）上，不共线的三点所确定的圆是唯一的，因此，圆 O上任意一点到 A,B两点的距离之比恒为 九.性质1.当儿A1时，点B在圆。内，点A在圆。外；当0九M1时，点A在圆。内，点B在圆。外。性质2.因AC2 = AP AQ ,过AC是圆O的一条切线。若已知圆。及圆O外一点A,可以作出与之对应的点 B,反之亦然。性质3.所作出的阿波罗尼斯圆的直径为PQ =2a2-1性质4.过点A作圆O的切线AC(C为切点)，则

3、CP,CQ分别为/ACB的内、外角平分线。性质5.过点B作圆O不与CD重合白勺弦EF,则AB平分/EAF.数学应用 1.(03北京春季)设A(c,0), B(c,0)(c>0)为两定点，动点P到点A的距离与到点B的距离之比为定值a(a >0),求点P的轨迹.2. (05江苏)圆O1和圆02的半径都是1OQ2=4,过动点P分别作圆Oi和圆。2的切线PM ,PN(M ,N分别为切点)，使得PM= J2PN，试建立适当坐标系，求动点P的轨迹方程.3 . (06四川)已知两定点 A(2,0), B(1,0).如果动点P满足PA=2PB ,则点P的轨迹所 围成的图形的面积是.4 .(08江苏

4、)满足条件AB =2, AC = V2BC的 MBC面积的最大值是 .5 .在等月AABC中，AB = AC,BD是腰AC上的中线，且BD =/3，则AABC面积的最大值是.6 .已知A( 2,0), P是圆C : (x + 4)2+y2 = 16上任意一点，问在平面上是否存在一点B ,使PA 1得 =?若存在，求出点 B坐标；若不存在，说明理由.PB 222变式：已知圆C : (x +4) + y =16 ,问在x轴上是否存在点 A和点B，使得对于圆C上PA 1 任意一点P,都有 =?若存在，求出 A,B坐标；若不存在，说明理由.PB 27.在 AABC 中，AB =2AC, AD 是/A 的平分线，且 AD = kAC.(1)求k的取值范围；

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