第可分离变量方程PPT课件

1、 但并不是所有的一阶方程都能象上面那样采取两边积分的方法来求它的通解如22xydxdy 困难就在于方程的右端含有未知函数积分 dxxy22求不出来为了解决这个问题 方程的两边同乘以 dxy21使方程变为xdxdyy212 这样变量 x , y 已经分离在等式的两端两边积分得 cxy 21或cxy 21第1页/共14页可以验证 cxy 21是方程的通解注注y = 0 也是方程的解，但不包含在通解中 称为奇解一、可分离变量的微分方程一、可分离变量的微分方程dxxfdyyg)()( 可分离变量的微分方程可分离变量的微分方程. .5422yxdxdy 例如例如,2254dxxdyy 这类方程的特点是经

2、过适当整理，可使方程的只含有一个变量和其微分第2页/共14页解法解法设设函函数数)(yg和和)(xf是是连连续续的的, dxxfdyyg)()(分离变量法设设函函数数)(yG和和)(xF是是依依次次为为)(yg和和)(xf的的原原函函数数, CxFyG )()(为微分方程的解为微分方程的解.求解步骤求解步骤分离变量分离变量两边积分两边积分得到得到隐式通解隐式通解或或通积分通积分第3页/共14页二、典型例题二、典型例题例例1 1 求解微分方程求解微分方程.2的通解的通解xydxdy 解解分离变量分离变量,2xdxydy 两端积分两端积分,2 xdxydy12lnCxy .2为所求通解为所求通解x

3、cey 第4页/共14页.0)()(2通解通解求方程求方程例例 xdyxygydxxyf解解,xyu 令令,ydxxdydu 则则, 0)()( xydxduxugydxuf, 0)()()( duugdxxuuguf, 0)()()( duugufuugxdx通解为通解为.)()()(|lnCduugufuugx 第5页/共14页例例 3 3 衰变问题衰变问题:衰变速度与未衰变原子含量衰变速度与未衰变原子含量M成成正比正比,已知已知00MMt ,求衰变过程中铀含量求衰变过程中铀含量)(tM随时间随时间t变化的规律变化的规律. 解解,dtdM衰变速度衰变速度由题设条件由题设条件)0(衰变系数衰

4、变系数 MdtdMdtMdM , dtMdM,lnlnctM ,tceM 即即00MMt 代代入入00ceM 得得,C teMM 0衰变规律第6页/共14页例例5 5 某车间体积为某车间体积为12000立方米立方米, 开始时空气中开始时空气中含有含有 的的 , 为了降低车间内空气中为了降低车间内空气中 的含量的含量, 用一台风量为每秒用一台风量为每秒2000立方米的鼓风机立方米的鼓风机通入含通入含 的的 的新鲜空气的新鲜空气, 同时以同样的同时以同样的风量将混合均匀的空气排出风量将混合均匀的空气排出, 问鼓风机开动问鼓风机开动6分分钟后钟后, 车间内车间内 的百分比降低到多少的百分比降低到多少

5、?2CO%1 . 02CO2CO2CO%03. 0解解 设鼓风机开动后设鼓风机开动后 时刻时刻 的含量为的含量为2CO)%(txt,dttt 在在 内内,2CO的通入量的通入量,03. 02000 dt2CO的排出量的排出量),(2000txdt 第7页/共14页2CO的通入量的通入量2CO的排出量的排出量2CO的改变量的改变量 03. 0200012000 dtdx),(2000txdt ),03. 0(61 xdtdx,03. 061tCex , 1 . 0|0 tx,07. 0 C,07. 003. 061tex ,056. 007. 003. 0|16 ext6分钟后, 车间内 的百分

6、比降低到%.056. 02CO第8页/共14页三、小结三、小结分离变量法步骤分离变量法步骤:1.分离变量分离变量;2.两端积分两端积分-隐式通解隐式通解.注注 分离变量时，注意检查是否有漏解，特别是写成对称形式的方程（因为要同除须保证分母不等于0）第9页/共14页思考题思考题求解微分方程.2cos2cosyxyxdxdy 思考题解答思考题解答, 02cos2cos yxyxdxdy, 02sin2sin2 yxdxdy,2sin2sin2 dxxydy2cot2csclnyy ,2cos2Cx 为所求解为所求解.第10页/共14页练练 习习 题题一、求下列微分方程的通解一、求下列微分方程的通解

7、: : 1 1、0tansectansec22 xdyyydxx； 2 2、0)()( dyeedxeeyyxxyx； 3 3、0)1(32 xdxdyy. . 二、二、求下列微分方程满足所给初始条件的特解求下列微分方程满足所给初始条件的特解: : 1 1、xdxyydyxsincossincos , ,40 xy； 2 2、0sin)1(cos ydyeydxx, ,40 xy. . 第11页/共14页三、质量三、质量克克为为1的质点受外力作用作直线运动的质点受外力作用作直线运动, ,这外力这外力和时间成正比和时间成正比, ,和质点运动的速度成反比和质点运动的速度成反比. .在在10 t秒时

8、秒时, ,速度等于速度等于秒秒厘米厘米/50, ,外力为外力为2/4秒秒厘厘米米克克 , ,问从运动开始经过了一分钟后的速度是多少问从运动开始经过了一分钟后的速度是多少? ?四、 小船从河边四、 小船从河边处处点点 0出发驶向对岸出发驶向对岸( (两岸为平行直线两岸为平行直线).).设设a船速为船速为, ,船行方向始终与河岸垂直船行方向始终与河岸垂直, ,设河宽设河宽h为为, ,河中任意点处的水流速度与该点到两岸距离河中任意点处的水流速度与该点到两岸距离的乘积成正比的乘积成正比( (比例比例k系数为系数为).).求小船的航行路求小船的航行路线线 . .第12页/共14页练习题答案练习题答案一、一、1 1、Cyx tantan； 2 2、Ceeyx )1)(1(； 3 3、Cxy 433)1(4. . 二、二、1 1、xycoscos2 ； 2 2、yexcos221 . . 三、三、3