第4节多元复合函数与隐函数微分法PPT课件

1、1uvwtz以上公式中的导数 称为tzdd类类似似地地, ,若若中中间间变变量量为为三三个个, ,),(wvufz , ,)(tu , , )(tv , ,)(tw , ,则则复复合合函函数数)(),(),(tttfz 的的导导数数为为 .ddddddddtwwztvvztuuztz 第1页/共28页2设设vuz 2, ,xvxue ,sin , ,求求xzdd. . 解解例例1 1xvvzxuuzxzdddddd xxuecos2 .e2sinxx 第2页/共28页3xvvzxuuzxz ， yvvzyuuzyz .2 2. .复合函数的中间变量均为多元函数的情形复合函数的中间变量均为多元函

2、数的情形定定理理 设设),(vufz 具具有有连连续续偏偏导导数数, ,),(yxu , , ),(yxv 可可偏偏导导, ,则则复复合合函函数数),(),(yxyxfz 可可偏偏导导, , 且且有有 链式法则如图示uvxzy第3页/共28页4 vz,xv yz uz链式法则如图示uvxzy xz uzxu yu vz.yv 2.复合函数的中间变量均为多元函数的情形定定理理 设设),(vufz 具具有有连连续续偏偏导导数数, ,),(yxu , , ),(yxv 可可偏偏导导, ,则则复复合合函函数数),(),(yxyxfz 可可偏偏导导, , 且且有有 第4页/共28页5xwwzxvvzxu

3、uzxz ,zwvuyxywwzyvvzyuuzyz .类类似似地地, ,设设),(wvufz , ,),(yxu , ,),(yxv , , ),(yxw , ,则则复复合合函函数数),(),(),(yxyxyxfz 的的偏偏导导数数为为 第5页/共28页6设设vzusine ，而，而xyu ，yxv ， 解解1cosesine vyvuu,)cos()sin(eyxyxyxy 1cosesine vxvuu.)cos()sin(eyxyxxxy 例例2 2求求 xz 和和 yz . xvvzxuuzxz yvvzyuuzyz 第6页/共28页7设设 tuvzsin ，而而 tue ，tvc

4、os ， 解解tztvvztuuztz ddddddttuvtcossine tttttcossinecose .cos)sin(cosetttt 例例3 3.ddtz求求全全导导数数第7页/共28页8解解例例4 4设设22 ,yxuxyuz , ,求求yzxz ,. . ，323yyx .323xyxyz 用求导法则，用求导法则，)(xuxuyxz )3(22yxy 由对称性可知，由对称性可知，第8页/共28页9设设)sin(sinsinxyfxu , ,其其中中f可可微微，求求证证 证证例例5 5.coscoscoscosyxyxuxyu xu )cos()(cosxvfx ,)(1 co

5、svfx yu ,cos)(yvf 所以所以yxuxyucoscos xyvfcoscos)( 记记,sinsinxyv yxvfcoscos)(1 .coscosyx 第9页/共28页10设设)(xyxFz , ,其其中中F可可微微，求求证证 证证例例6 6.lnzyzyyxzx xz xuuFxuF )()(yz 所以所以记记,xyu ,ln)()(yyuFxuFx ,)(1 xxyuFxyuuFx )(yzyyxzx lnyyuFxuxFxln)()(2 yyuFxxln)(2 .)(zyxFx 第10页/共28页11若若又又有有)(tgx , ,g可可导导，则则复复合合函函数数)(tg

6、fy 的的微微分分为为 一阶全微分的形式不变性一阶全微分的形式不变性回顾回顾：结论结论：的微分形式总是的微分形式总是函数函数是自变量还是中间变量是自变量还是中间变量无论无论)(,xfyx xxfyd)(d 设设)(xfy 可可导导，则则xxfyd)(d , , 而而 ttgxd)(d , 因因此此又又有有 xxfyd)(d , , ,d)()(dttgxfy 此性质称为此性质称为一阶微分的形式不变性一阶微分的形式不变性. . 第11页/共28页12yyzxxzzddd 可以证明，可以证明，当当 x, y 为为 s, t 的的可可微微函函数数，即即),(tsxx 仍有公式仍有公式 yyzxxzz

7、ddd 这就是说，不论这就是说，不论x, ,y是自变量还是中间变量，其微是自变量还是中间变量，其微分形式不变，称为分形式不变，称为一阶微分的形式不变性一阶微分的形式不变性. . 一阶全微分的形式不变性一阶全微分的形式不变性第12页/共28页13解解例例1010 求下列函数的偏导数和全微分求下列函数的偏导数和全微分. . xyyxze)( )1( e)(ddxyyxz )(dede)(yxyxxyxy )d(de)dd(e)(yxyxxyyxxyxy ,d)1(ed)1(e22yxyxxyxyxyxy 所以所以, )1(e2 yxyxzxy.)1(e2 xyxyzxy第13页/共28页14解解)

8、2ln( )2(2yxxz 所以所以)2ln(dd2yxxz )2ln(dd)2ln(22yxxxyx yxyxxxyx2)2(dd)2ln(222 ,d22d22)2ln(2222yyxxxyxxyx ,22)2ln(222yxxyxxz .222yxxyz 例例1010 求下列函数的偏导数和全微分求下列函数的偏导数和全微分. . 第14页/共28页15二、隐函数微分法二、隐函数微分法一元隐函数存在定理一元隐函数存在定理 设设函函数数),(yxF满满足足: : 1 1) ) 0),(00 yxF； 2 2) ) 在在点点),(00yxP的的某某一一邻邻域域内内F具具有有连连续续偏偏导导数数y

9、xFF ,； 3 3) ) 0),(00 yxFy, , .ddyxFFxy 证略证略. . 第15页/共28页16推导：推导： ，0)(,),( xfxFyxF，0dd xyyFxF，0 yF.dd yxFFxy yxFFxy dd，0),( yxF等式两边对等式两边对x求导，求导， 第16页/共28页17例例1010设设2esinxyyx , ,求求xydd. . 解法解法1 1所以所以,e2yFxx 设设2esin),(xyyyxFx , , ,2cosxyyFy .2cosedd2xyyyFFxyxyx 第17页/共28页18方程两边关于方程两边关于x求导求导, ,得得 ，yxyyyy

10、x 2ecos2解得解得.2cose2xyyyyx 例例1010设设2esinxyyx , ,求求xydd. . 解法解法2 2第18页/共28页19二元隐函数存在定理二元隐函数存在定理 设设函函数数),(zyxF满满足足: : 1 1) ) 0),(000 zyxF； 3 3) ) 0),(000 zyxFz, , 证略证略. . ，zxFFxz .zyFFyz 第19页/共28页20),(zyxF 两两边边对对x求求偏偏导导, ,得得 0 xzFFzx, 而而0 zF zxFFxz . 两两边边对对y求求偏偏导导, ,得得 0 yzFFzy, , 而而0 zF zyFFyz . 0),(,

11、 yxfyxF, 推导：推导： ，0),( zyxF，zxFFxz .zyFFyz 第20页/共28页21例例1111解法解法1 1设设隐隐函函数数),(yxzz 由由方方程程yzxz2sin 确确定定， 求求 yzxz ,. . 设设yzxzzyxF2sin),( ， ,2xyzFx ,sin2zxzFy ,cos2yxzFz 所以所以，yxzxyzFFxzzx2cos2 .cos22yxzzxFFyzzy 第21页/共28页22方程两边关于方程两边关于x 求求偏导数偏导数, , ，xzyxxyzxzz 22cos例例1111解法解法2 2设设隐隐函函数数),(yxzz 由由方方程程yzxz

12、2sin 确确定定， 求求 yzxz ,. . ;cos2 2yxzxyzxz 方程两边方程两边再再关于关于y 求求偏导数偏导数, , ，yzyxzxyzz 22cos.cos 22yxzzxyz 第22页/共28页23方程两边求方程两边求全微分全微分, , ，zyxyzxxxyzzzddd2dcos22 例例1111解法解法3 3设设隐隐函函数数),(yxzz 由由方方程程yzxz2sin 确确定定， 求求 yzxz ,. . 解得解得 ,dcosdcos2d222yyxzzxxyxzxyzz 从而从而,cos2 2yxzxyzxz .cos22yxzzxyz 第23页/共28页24例例12

13、12解解由由方方程程1543 zxzyz确确定定隐隐函函数数),(yxzz ， 视视z为为yx,的的二二元元函函数数),(yxzz , , 方程两边关于方程两边关于x 求求偏导数偏导数, , ，05434342 xzzxzzxzxzzy当当0 yx时时, ,1 z， 代入上式得代入上式得，051 xz;51 )0,0( xz,)0,0(xz .)0,0(yz 求求第24页/共28页25视视z为为yx,的的二二元元函函数数),(yxzz , , 方程两边关于方程两边关于y 求求偏导数偏导数, , ，05434323 yzzyzzxyzzyz将将0 yx, ,1 z代代入入， ，051 yz.51 )0,0( yz例例1212解解由由方方程程1543 zxzyz确确定定隐隐函函数数),(yxzz ， ,)0,0(xz .)0,0(yz 求求第25页/共28页26例例1313解解对方程对方程两边两边微分微分，解得解得0)ddd(ededdd xyzxxxyzyxzyxz.dde1e )1(1dyxxxzyxzyxz 第26页/共28页27设设方方程程0),( xzy