第5章测量误差PPT课件

1、例例2 2：视准轴不平行于水准管轴对水准尺读数的影响视准轴不平行于水准管轴对水准尺读数的影响Dii 系统误差的特点：系统误差的特点：具有累计性，对测量结果影响大。具有累计性，对测量结果影响大。 具有规律性，其影响一般可消除。具有规律性，其影响一般可消除。消除方法：消除方法：1）用计算方法，如对丈量结果加改正数。用计算方法，如对丈量结果加改正数。2 2）采取适当的观测方法，如水准测量要求前后视距离相等。）采取适当的观测方法，如水准测量要求前后视距离相等。2.偶然误差偶然误差偶然误差在相同的观测条件下对某量作一系列的观测，如果产生的误差的在相同的观测条件下对某量作一系列的观测，如果产生的误差的符号

2、符号及及大小大小都都没有表现出一致的倾向没有表现出一致的倾向，即表面上没有任何规律性。，即表面上没有任何规律性。第1页/共32页例：例：水准尺读数误差、角度测量中的瞄准误差水准尺读数误差、角度测量中的瞄准误差 偶然误差的产生总是有原因的，是多方面因素的综合影响，当无一因素占主偶然误差的产生总是有原因的，是多方面因素的综合影响，当无一因素占主导地位时，误差呈随机性。但对大量偶然误差而言，具有统计规律。导地位时，误差呈随机性。但对大量偶然误差而言，具有统计规律。仪器误差多为系统误差仪器误差多为系统误差观测误差是偶然误差观测误差是偶然误差误差判断：误差判断： 在一般情况下，测量误差同时包含系统误差和

3、偶然误差。因系统误差可以消除在一般情况下，测量误差同时包含系统误差和偶然误差。因系统误差可以消除或大大减弱，当系统误差不显著时，可认为测量误差仅含有偶然误差。偶然误差是或大大减弱，当系统误差不显著时，可认为测量误差仅含有偶然误差。偶然误差是不能消除的，只能设法减弱其影响。不能消除的，只能设法减弱其影响。 本章讨论的内容是如何估计偶然误差的影响。本章讨论的内容是如何估计偶然误差的影响。注：注：测量中是不容许发生错误的，错误不属于测量误差范围。测量中是不容许发生错误的，错误不属于测量误差范围。第2页/共32页5.2 5.2 偶然误差的特性偶然误差的特性实例分析：实例分析：132 由于测量误差的存在

4、，使得三角形内角的观测值不等于理论值，而存在真误差由于测量误差的存在，使得三角形内角的观测值不等于理论值，而存在真误差180321 独立观测了独立观测了9696个三角形，将产生的真误差按其正负号和大小并以个三角形，将产生的真误差按其正负号和大小并以0.50.5 为误为误差区间排列于下表。差区间排列于下表。第3页/共32页误差区间误差区间 d 为正值为正值 为负值为负值个数个数 v 频率频率 v/n 频率频率/组距组距个数个数v频率频率v/n频率频率/组距组距0.00.5 19 0.1980.396200.2080.4160.51.0 13 0.1350.270120.1250.2501.01.

5、5 8 0.0830.16690.0940.1881.52.0 5 0.0520.10440.0420.0842.02.5 2 0.0210.04220.0210.0422.53.0 1 0.0100.02010.0100.0203.0以上以上 0 00000 4848 偶然误差的特性：偶然误差的特性：1.1.在一定的观测条件下，偶然误差的绝对值不会超过一定的限值；在一定的观测条件下，偶然误差的绝对值不会超过一定的限值；2.2.绝对值较小的误差比绝对值较大的误差出现的可能性大；绝对值较小的误差比绝对值较大的误差出现的可能性大；3.3.绝对值相等的正、负误差，其出现的可能性相等；绝对值相等的正、

6、负误差，其出现的可能性相等；4.4.偶然误差的算术平均值，随着观测次数的无限增大而趋近于零。偶然误差的算术平均值，随着观测次数的无限增大而趋近于零。第4页/共32页即 0limnn n21左式中上式是由偶然误差的第上式是由偶然误差的第3 3特性导出。特性导出。误差分布曲线误差分布曲线 如果观测个数增大，误差出现在如果观测个数增大，误差出现在各区间的频率就趋向一个稳定值。也各区间的频率就趋向一个稳定值。也就是说，在一定的观测条件下，一组就是说，在一定的观测条件下，一组偶然误差对应着一种确定不变的误差偶然误差对应着一种确定不变的误差分布。分布。误差分布曲线函数式为误差分布曲线函数式为22221)(

7、ef式中式中 称为方差，称为方差，2nnlim2定义为组距频率01.0 2.0 3.0 -3.0 -2.0 -1.0 表中统计结果用频率直方图表示表中统计结果用频率直方图表示长方条面积代表误差长方条面积代表误差出现在该区间的频率出现在该区间的频率 f第5页/共32页5.3 5.3 衡量精度的指标衡量精度的指标精度精度误差分布的密集或离散的程度。误差分布的密集或离散的程度。组观测值精度高于组观测值精度高于组组 精度高说明观测条件好精度高说明观测条件好一、中误差一、中误差 设对某一未知量进行了设对某一未知量进行了n n次等精度观测，其观测值为次等精度观测，其观测值为 ，设该未知量的真值为，设该未知

8、量的真值为X X，相应的真误差为，相应的真误差为 ，则定义该组观测值的中误差，则定义该组观测值的中误差m m的平方为的平方为lll,21nn,2122limnmnXliin22212式中式中),2, 1(ni)(f0第6页/共32页在实际测量工作中，观测次数在实际测量工作中，观测次数n n有限，有限，只能计算出观测值中误差的估值只能计算出观测值中误差的估值nm测量上通常将观测值中误差的估值测量上通常将观测值中误差的估值就看作为观测值的中误差就看作为观测值的中误差 即即nm22limnmn第7页/共32页)(f误差分布曲线函数式可表示为误差分布曲线函数式可表示为22221)(memfmf21)(

9、0，当设设组观测值的中误差为组观测值的中误差为1m2m 组观测值的中误差为组观测值的中误差为21mm 因212121mm则即即 m m 值小，观测精度高。值小，观测精度高。2m1m第8页/共32页二、相对误差二、相对误差相对误差相对误差中误差或真误差的绝对值与相应观测值之比。中误差或真误差的绝对值与相应观测值之比。mDDmK1距离丈量的相对误差距离丈量的相对误差平均返往DDDK例：5000102. 010050000102. 01000221121KmDKmDDD米；米，米；米，注意：注意：相对误差是一个无量纲的数值。相对误差是一个无量纲的数值。 相对误差这一指标仅用来衡量距离测量精度。相对误

10、差这一指标仅用来衡量距离测量精度。第9页/共32页三、容许误差三、容许误差误差出现的概率误差出现的概率mmdfmmp683. 0)()(mmdfmmp22955. 0)()22(mmdfmmp33997. 0)()33()(f -3m -2m -m m 2m 3m测量上，一般取测量上，一般取2 2倍中误差作为误差的容倍中误差作为误差的容许值，即许值，即m2容例：水平角测回互差例：水平角测回互差 竖直角指标差的变动范围竖直角指标差的变动范围4221 5221 xx错错误误误差误差第10页/共32页四、用观测值的改正数计算中误差（四、用观测值的改正数计算中误差（5.55.5节）节）设某量真值为设某

11、量真值为X X；等精度观测值为；等精度观测值为lll,21n1. 1. 观测值的算术平均值观测值的算术平均值 nlnlllxn21证明：证明：当当Xxn时XlXlXlnn2211将上组式取和，再除以将上组式取和，再除以n n，得，得第11页/共32页 XxXnln Xnx根据偶然误差的第四特性根据偶然误差的第四特性 0limnnXxnlim所以所以可以认为算术平均值是最接近真值的，可以认为算术平均值是最接近真值的，也称为最可靠值。也称为最可靠值。2. 2. 观测值的改正数观测值的改正数iilxvv观测值的改正数观测值的改正数第12页/共32页3. 3. 观测值的中误差观测值的中误差iiiilx

12、vXl因为有因为有以上两式相加，得Xxvii,Xx设代入上式并移项iiv上式两边平方求和 vvvn22 0lnlnlnxv式中第13页/共32页上式为 nvvn2 nnXlXnlXxi而 njijijinnn1,222222取上式平方因j)(iji为偶然误差，根据偶然误差的第四特性，有为偶然误差，根据偶然误差的第四特性，有02lim1,2njijijinn当当n n为有限值时，第二项的值远比第一项的值要小，可忽略不计为有限值时，第二项的值远比第一项的值要小，可忽略不计。因此有因此有 nvvnn2第14页/共32页根据中误差的定义，前式写为根据中误差的定义，前式写为 nvvnmm22 vvmn2

13、) 1(上式变换成上式变换成则利用观测值的改正数计算观测值的中误差的公式为则利用观测值的改正数计算观测值的中误差的公式为 1nvvm注意：注意：只有当只有当n n较大时，计算中误差才有意义。较大时，计算中误差才有意义。4. 4. 算术平均值的中误差算术平均值的中误差nmM nlllx21n第15页/共32页例例1 1：对某角观测对某角观测6 6个测回，求观测值的中误差和算术个测回，求观测值的中误差和算术平均值的中误差。平均值的中误差。 观测值观测值 v vv 计算计算113648 30 - 4 162 48 26 0 03 48 28 - 2 44 48 24 +2 45 48 25 +1 1

14、6 48 23 +3 9X=1364826 v=0 vv=346 . 216341 nvvm1 . 166 . 2 nmM 提高算术平均值的精度的两个途径：提高算术平均值的精度的两个途径：1 1）通过改善观测条件，使）通过改善观测条件，使m m值减小。值减小。 2 2）增加观测次数。）增加观测次数。第16页/共32页例例2 2 ：对某直线丈量了对某直线丈量了4 4次，丈量结果为次，丈量结果为246.535m、246.548m246.548m、246.521m246.521m、246.529m 246.529m 。求其算术平均值、。求其算术平均值、算术平均值的中误差及相对误差。算术平均值的中误差

15、及相对误差。246.533x 389vvvvvvlxv1ii412152432 mmnnvvnmM7 . 5) 14(4389) 1(430001533.2467 . 5mmmxMK第17页/共32页5.4 5.4 误差传播定律误差传播定律 某些未知量，例如点的坐标某些未知量，例如点的坐标X X、Y Y，高程，高程H H等都是直接观测量的函数。函数的中误等都是直接观测量的函数。函数的中误差与直接观测量的中误差之间存在一定的函数关系，阐述这种函数关系的定律被称差与直接观测量的中误差之间存在一定的函数关系，阐述这种函数关系的定律被称为误差传播定律。为误差传播定律。由于由于 的存在，使函数的存在，使

16、函数Z Z亦产生相应的真误差亦产生相应的真误差 。ixZnndxxFdxxFdxxFdZ2211取上式全微分取上式全微分),(21nxxxFZ设有一般函数设有一般函数式中式中 为可直接观测的未知量，为可直接观测的未知量，设设 的独立观测值为的独立观测值为 ，其相应的中误差为，其相应的中误差为 、真误差、真误差iximilixix一、误差传播定律一、误差传播定律第18页/共32页ixZ 和因都很小，可用都很小，可用,iidxdZxZ和代替和因此有因此有nnxxFxxFxxFZ2211设设iixFfiilx 为常数if有有nnxfxfxfZ2211系系式式写写出出k k个个类类似似上上式式的的关关

17、进进行行了了k k次次观观测测，则则可可假假设设对对x xi i kkkknnnnnnxfxfxfZxfxfxfZxfxfxfZ22112211221122221111第19页/共32页将以上各式等号两边平方后再相加得将以上各式等号两边平方后再相加得njijijijinnxxf fxfxfxfZ1,222222212122上式两端除以k k，有njijijijinnkxxf fkxfkxfkxfkZ1,222222212122仍为偶然误差则为相互独立的观测值，的观测值因各jiiixxlx根据偶然误差的第四特性，有根据偶然误差的第四特性，有0limkxxjik时，上式取极限有当kkxfkxfkx

18、fkZnknkkk22222221212limlimlimlim第20页/共32页根据中误差的定义，上式可写成根据中误差的定义，上式可写成22222221212nnZmfmfmfm或2222222121nnZmfmfmfm上式为一般函数的误差传播定律。上式为一般函数的误差传播定律。iixFfiilx 式中式中例例1 1：证明算术平均值的中误差为证明算术平均值的中误差为nmM 第21页/共32页算术平均值算术平均值 lnlnlnnlx11121n则则nmM22nmM ilmmmmn21因因 为等精度观测值，故有为等精度观测值，故有nlxfii1函数对各自变量的偏导数函数对各自变量的偏导数2222

19、22122111nmnmnmnM根据误差传播定律，有根据误差传播定律，有第22页/共32页 例例2 2 ： 已知观测值已知观测值hDmhmmmmD和高差中误差求高差04;238257007. 0;093.118 DhtanDh 求上式全微分求上式全微分dhdDDhdh式中式中2sec;tanDhDh将全微分式转换成中误差将全微分式转换成中误差242222sectan mDmmDhmmDmmDh08. 0sectan24222 第23页/共32页误差传播定律应用总结：误差传播定律应用总结：对于一般函数一般函数设设 的独立观测值为的独立观测值为 ，其相应的中误差为，其相应的中误差为),(21nxx

20、xFZixilim2222222121nnZmfmfmfm式中iixFfiilx 22222221212nnZmfmfmfm取上式全微分取上式全微分nndxxFdxxFdxxFdZ2211转换成中误差平方的表达式转换成中误差平方的表达式第24页/共32页二、应用举例二、应用举例1. 水准测量的精度水准测量的精度（1 1）一个测站的高差中误差）一个测站的高差中误差单仪高法：单仪高法： bah设设 h h 的中误差为的中误差为；站ma a、b b 的中误差为的中误差为mmmmmmbhahdbdadh21; 1222站站：或者求第25页/共32页双仪高法：双仪高法：bahbah 241412121222222hhhhhmmmmhhhhhmmm 站mmmh2站说明：说明：两个等精度独立观测值之和或差的中误差，等于观测值中误差的两个等精度独立观测值之和或差的中误差，等于观测值中误差的 倍。倍。2 两个等精度独立观测值的平均值的中误差，等于观测值两个等精度独立观测值的平均值的中误差，等于观测值中误差的中误差的 倍。倍。21第26页/共32页（2 2）一个测段的高差中误差）一个