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文档简介
1、2014年浙江省中国计量大学高等代数考研真题一、填空题(本题共8小题,每小题4分,共32分)(1)设1 , 2 ,3是欧氏空间V的一组基。 = 1 + 2。这组基的度量矩阵是。则。(5)设3阶矩阵A的特征值为-1,5,2,A*是A的伴随矩阵,则A*的行列式|A*|=_。(6)设线性方程组为,则其通解为_.(7)二次型经过正交变换可化为标准型.(8)设4阶方阵,则A的逆矩阵.二、选择题(本题共9小题,每小题4分,共36分)(1)n阶矩阵A经过初等行变换得到矩阵B,那么下列选项中正确的是().(A)A与B有相同的特征值(B)AX=b与BX=b是同解方程组(C)A与B的列向量是等价向量组(D)A与B
2、有相同的特征向量(2)设A为3阶矩阵、设1,2是两个不同的特征值,1,2分别是对应的特征向量,则1,A(1+2)线性无关的充要条件为().(A)10(B)20(C)1=0(D)2=0(3)记行列式为f ( x),则方程f(x) =0的根的个数为().(A)1 (B)2 (C)3 (D)4(4)设A为n阶矩阵,A经过若干次初等变换后,得到矩阵B,().(A)则必有|A|=|B|(B)则必有|A|B|(C)若|A|=0,则必有|B|=0(D)若|A|0,则必有|B|0(5)设A是n(n2)阶可逆矩阵,A*是A的伴随矩阵,则(A*)*=_.(6)设二次型,则f是正定二次型的充要条件是().(A)a&
3、gt;0(B)a>5C)a>10(D)a>25(7)n维向量组1,2,.s线性无关的充分条件是().(A)1,2,.s均不是零向量(B)1,2,.s中任意两个向量的分量不成比例(C)向量1,2,.s的个数s < n(D)某向量可以由1,2,.s线性表示,且表示式唯一(8)设A是m× n矩阵,则Ax=0有非零解的充分必要条件是().(A)m<n(B)A的任意两个列向量线性相关(C)r(A)<m(D)A中有列向量能用其余向量线性表出(9)如果(),则矩阵A与矩阵B相似.(A)|A|B|(B)r(A) r(B)(C)A与B有相同的特征多项式(D)n阶矩阵
4、A与B有相同的特征值且n个特征值各不相同三、解答题(本题共9小题,满分82分,解答应写出文字说明、演算步骤)(1)(9分)n阶实对称矩阵,且满足,I为n阶单位阵。证明A2I为正交矩阵.(2)(9分)已知的特征向量,求h,k和的特征值,以及A的其它特征值.(3)(9分)已知矩阵A的伴随矩阵,矩阵B满足方程,I是n阶单位矩阵。求B.(4)(9分)设1与2是Ax=b(b0)两个不同解(A是m×n矩阵),是Ax=0的一个非零解,证明向量组1,1-2,线性无关.若秩A=n-1,则向量组,1,2线性相关.(5)(9分)设V是一n维欧氏空间,0是V中一固定向量.证明是V的一子空间;证明V1的维数等于n1.(6)(9分)当取何值时,线性方程组有唯一解、无解或有无穷多解?并在有无穷多解时求出通解.(7)(9分)在次数不超过3的实系数多项式所成的线性空间中定义线性变换为,求线性变换在基下的矩阵B.(8)(9分)设f(x)是一个整系数多项式。试证:
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