2014年浙江省中国计量大学高等代数考研真题

1、2014年浙江省中国计量大学高等代数考研真题一、填空题（本题共8小题，每小题4分，共32分）（1）设1 , 2 ,3是欧氏空间V的一组基。 = 1 + 2。这组基的度量矩阵是。则。（5）设3阶矩阵A的特征值为-1,5，2，A*是A的伴随矩阵,则A*的行列式|A*|=_。(6)设线性方程组为，则其通解为_.（7）二次型经过正交变换可化为标准型.（8）设4阶方阵，则A的逆矩阵.二、选择题（本题共9小题，每小题4分，共36分）（1）n阶矩阵A经过初等行变换得到矩阵B，那么下列选项中正确的是（）.（A）A与B有相同的特征值（B）AX=b与BX=b是同解方程组（C）A与B的列向量是等价向量组（D）A与B

2、有相同的特征向量（2）设A为3阶矩阵、设1,2是两个不同的特征值，1,2分别是对应的特征向量，则1,A(1+2)线性无关的充要条件为（）.（A）10（B）20（C）1=0（D）2=0（3）记行列式为f ( x)，则方程f(x) =0的根的个数为（）.(A)1 (B)2 (C)3 (D)4（4）设A为n阶矩阵，A经过若干次初等变换后，得到矩阵B，（）.（A）则必有|A|=|B|（B）则必有|A|B|（C）若|A|=0，则必有|B|=0（D）若|A|0，则必有|B|0（5）设A是n（n2）阶可逆矩阵，A*是A的伴随矩阵，则（A*）*=_.（6）设二次型，则f是正定二次型的充要条件是（）.（A）a&

3、gt;0（B）a>5C）a>10（D）a>25（7）n维向量组1,2,.s线性无关的充分条件是（）.（A）1,2,.s均不是零向量（B）1,2,.s中任意两个向量的分量不成比例（C）向量1,2,.s的个数s < n（D）某向量可以由1,2,.s线性表示，且表示式唯一（8）设A是m× n矩阵，则Ax=0有非零解的充分必要条件是（）.（A）m<n（B）A的任意两个列向量线性相关（C）r（A）<m（D）A中有列向量能用其余向量线性表出（9）如果()，则矩阵A与矩阵B相似.（A）|A|B|（B）r(A) r(B)（C）A与B有相同的特征多项式（D）n阶矩阵

4、A与B有相同的特征值且n个特征值各不相同三、解答题（本题共9小题，满分82分，解答应写出文字说明、演算步骤）（1）（9分）n阶实对称矩阵，且满足，I为n阶单位阵。证明A2I为正交矩阵.（2）（9分）已知的特征向量，求h,k和的特征值，以及A的其它特征值.（3）（9分）已知矩阵A的伴随矩阵，矩阵B满足方程，I是n阶单位矩阵。求B.（4）（9分）设1与2是Ax=b（b0）两个不同解（A是m×n矩阵），是Ax=0的一个非零解，证明向量组1，1-2，线性无关.若秩A=n-1，则向量组，1，2线性相关.（5）（9分）设V是一n维欧氏空间，0是V中一固定向量.证明是V的一子空间；证明V1的维数等于n1.（6）（9分）当取何值时，线性方程组有唯一解、无解或有无穷多解？并在有无穷多解时求出通解.（7）（9分）在次数不超过3的实系数多项式所成的线性空间中定义线性变换为,求线性变换在基下的矩阵B.（8）（9分）设f(x)是一个整系数多项式。试证：