计量不确定度

1、 测量给出关于某物的属性，它可以告诉我们某物体有测量给出关于某物的属性，它可以告诉我们某物体有多重，或多长，或多热。测量总是通过某种仪器或器具来多重，或多长，或多热。测量总是通过某种仪器或器具来实现的，尺子、秒表、称重秤、温度计等都是测量器具。实现的，尺子、秒表、称重秤、温度计等都是测量器具。被测量的测量结果通常由两部分组成：一个数和一个测量被测量的测量结果通常由两部分组成：一个数和一个测量单位。例如人体温度单位。例如人体温度37.2，人体温度是被测量，人体温度是被测量，37.2是是数，数，是单位。是单位。 对于比较复杂的测量，通过实际测量获得被测量的测对于比较复杂的测量，通过实际测量获得被测

2、量的测量数据后，通常需要对这些数据进行计算、分析、整理，量数据后，通常需要对这些数据进行计算、分析、整理，有时还要将数据归纳成相应的表示式或绘制成表格、曲线有时还要将数据归纳成相应的表示式或绘制成表格、曲线等等，亦即要进行数据处理，然后给出测量结果等等，亦即要进行数据处理，然后给出测量结果。 测量误差（测量误差（measurement error）定义为：）定义为： 测量结果减去被测量的真值测量结果减去被测量的真值。由于真值。由于真值不能确定，实际测量中是用不能确定，实际测量中是用“约定真值约定真值”代替。代替。 测量误差是指示值与约定真值之差。测量误差通测量误差是指示值与约定真值之差。测量误

3、差通常是能够定量评定的量，并可用于对测量值进行修常是能够定量评定的量，并可用于对测量值进行修正。但是，对误差的识别及其后的修正不可能完全精正。但是，对误差的识别及其后的修正不可能完全精确，这种不精确性的本身将会产生测量不确定度。确，这种不精确性的本身将会产生测量不确定度。 还必须区分误差与错误还必须区分误差与错误/疏忽。错误和疏忽既不疏忽。错误和疏忽既不能量化，也不是测量不确定度的输入量。能量化，也不是测量不确定度的输入量。真值永远不知道！真值永远不知道！第第6页页/20误差可以分为误差可以分为随机误差随机误差和和系统误差系统误差两类。两类。误差等误差等于随机误差与系统误差之和于随机误差与系统

4、误差之和。测量误差示意图如。测量误差示意图如图图1.1所示。被测值为所示。被测值为Y，真值为真值为t，第第i次测量结次测量结果为果为yi。由于测量误差的存在，测得值（单次测由于测量误差的存在，测得值（单次测得值得值yi或测量平均值或测量平均值 ）与真值）与真值 t 不能重合。设不能重合。设测量值呈正态分布测量值呈正态分布N( ， )，则分布曲线总体均则分布曲线总体均值的位置（即值的位置（即 值）决定了系统误差的大小；曲值）决定了系统误差的大小；曲线的形状（随标准偏差线的形状（随标准偏差 而定）决定了随机误差而定）决定了随机误差的分布范围的分布范围 k ， k ，以及其在该范围内以及其在该范围内

5、取值的概率。取值的概率。 y随机随机 误差误差残差残差系统误差系统误差测得值测得值 y真值真值 k 测得值测得值总体均值总体均值样本样本均值均值测得值概率测得值概率分布曲线分布曲线 k tyiy测量误差示意图测量误差示意图误差误差总体概率分布的期望总体概率分布的期望有限次数测量平均值有限次数测量平均值(总总体均值的一个无偏估计体均值的一个无偏估计)单次测量值单次测量值/第第1416页页yyvi 允差有两层含义，对测量而言，允差是对指定量量值允差有两层含义，对测量而言，允差是对指定量量值的限定范围或允许范围。典型的例子是零部件特定尺寸的的限定范围或允许范围。典型的例子是零部件特定尺寸的制造允差制

6、造允差(最大最大/最小最小)，通常规定其能够保证与配件的合适，通常规定其能够保证与配件的合适配合。要能够测量这种零部件并保证符合允差，扩展不确配合。要能够测量这种零部件并保证符合允差，扩展不确定度定度U就必须小于允差就必须小于允差 ，通常推荐的最小比率为，通常推荐的最小比率为35比比1。 允差也常用于测量仪器设备，这时是指由仪器设备制允差也常用于测量仪器设备，这时是指由仪器设备制造厂调试和检定仪器设备时，仪器设备示值的合格范围。造厂调试和检定仪器设备时，仪器设备示值的合格范围。仪器设备的允差是贡献给测量不确定度的一个重要分量。仪器设备的允差是贡献给测量不确定度的一个重要分量。在评定测量不确定度

7、时，了解和解释允差的确切含义和用在评定测量不确定度时，了解和解释允差的确切含义和用途是重要的。途是重要的。当当35U(p=95) 时时，不确定度对测量结不确定度对测量结果的影响可忽略。果的影响可忽略。/第第21页页定义：定义：测量结果与被测量真值的一致程度。测量结果与被测量真值的一致程度。 【注】【注】1. 不要用术语精密度代替准确度。不要用术语精密度代替准确度。 2. 准确度是一个定性的概念。准确度是一个定性的概念。 鉴于不可能准确地确定真值的大小，因而鉴于不可能准确地确定真值的大小，因而定义定义“准确度准确度”这个术语说明测量结果与被测量这个术语说明测量结果与被测量的真值的接近程度，所以准

8、确度是一个定性的的真值的接近程度，所以准确度是一个定性的概念。因而准确度不能量化，也不能作为一个概念。因而准确度不能量化，也不能作为一个量进行运算。量进行运算。 准确度是定性的准确度是定性的概念，不能量化概念，不能量化第第4页页/18 通过多次重复测量并进行某些统计计通过多次重复测量并进行某些统计计算，可增加测量得到的信息量。有两项最算，可增加测量得到的信息量。有两项最基本的统计计算：求一组数据的基本的统计计算：求一组数据的平均值平均值或或算术平均值（算术平均值（数学期望数学期望），以及求单次测，以及求单次测量或算术平均值的量或算术平均值的标准偏差（标准偏差（方差方差）。/第第710页页 由于

9、各种原因，例如由于环境条件的变化、测量器具没有工由于各种原因，例如由于环境条件的变化、测量器具没有工作在完全稳定的状态、测量人员的读数误差等，使测量的读数有作在完全稳定的状态、测量人员的读数误差等，使测量的读数有变化，通常人们通过多次测量并取其读数的算术平均值给出测量变化，通常人们通过多次测量并取其读数的算术平均值给出测量结果。平均值给出的是被测量结果。平均值给出的是被测量“真值真值”的最佳估值。图的最佳估值。图3.1表示一表示一组组测量值及其平均值的图解说明。测量值及其平均值的图解说明。 一般而言，测量数值越多，得到的一般而言，测量数值越多，得到的“真值真值”的估计值就越好。的估计值就越好。

10、理想的估计值应当用无穷多数值集来求平均值。但是增加读数要理想的估计值应当用无穷多数值集来求平均值。但是增加读数要做额外的工作，并增大测量成本，且会产生做额外的工作，并增大测量成本，且会产生“缩小回报缩小回报”的效果。的效果。什么是合理的次数呢？什么是合理的次数呢？10次是普遍选择的，因为这能使计算容次是普遍选择的，因为这能使计算容易。易。20次读数只比次读数只比10次给出稍好的估计值，次给出稍好的估计值，50次只比次只比20次稍好。次稍好。根据经验通常取根据经验通常取610次读数就足够了次读数就足够了。 在重复测量给出不同结果时，需要了解这些读数分散范围有在重复测量给出不同结果时，需要了解这些

11、读数分散范围有多宽。测量结果的分散范围告诉了我们关于测量不确定度的情况。多宽。测量结果的分散范围告诉了我们关于测量不确定度的情况。通过了解读数分散范围有多大，就能着手判断这次测量或这组测量通过了解读数分散范围有多大，就能着手判断这次测量或这组测量的质量如何。的质量如何。 定量给出分散范围的常见形式是标准偏差。一个数集的标准偏定量给出分散范围的常见形式是标准偏差。一个数集的标准偏差给出了各个读数与该组读数平均值之差的典型值。差给出了各个读数与该组读数平均值之差的典型值。 根据根据“经验经验”，全部读数大概有三分之二（，全部读数大概有三分之二（68.27）会落在平）会落在平均均值的正负（值的正负（

12、）1倍标准偏差范围内，大概有全部读数的倍标准偏差范围内，大概有全部读数的95会落会落在正负在正负2倍标准偏差范围内。虽然这种倍标准偏差范围内。虽然这种“尺度尺度”并非普遍适用，但并非普遍适用，但应应用广泛。标准偏差的用广泛。标准偏差的“真值真值”只能从一组非常大（无穷多）的读数只能从一组非常大（无穷多）的读数求求出。由有限个数的读数所求得的只是标准偏差的估计值，称为实验出。由有限个数的读数所求得的只是标准偏差的估计值，称为实验标准偏差或估计的标准偏差，用符号标准偏差或估计的标准偏差，用符号s表示。表示。 对同一被测量对同一被测量X作作n次测量，表征每次测量结果分散性的次测量，表征每次测量结果分

13、散性的量量s(xi)可按下式算出：可按下式算出：式中式中xi为第为第i次测量的结果次测量的结果; 为所考虑的为所考虑的n次测量结果的算术平次测量结果的算术平均值；均值； 称为残差。称为残差。 上式称作贝塞尔公式，它描述了各个测量值的分散度。上式称作贝塞尔公式，它描述了各个测量值的分散度。有时将有时将s(xi)称作单次测量结果的标准偏差，或称为实验标准差。称作单次测量结果的标准偏差，或称为实验标准差。 112)(112)( nnixxnniiixsi xxxvii 稳定值稳定值时，时，当当 )(ixsn/第第19页页 用下式计算平均值的标准偏差：用下式计算平均值的标准偏差： 需要指出，单次测量的

14、实验标准差需要指出，单次测量的实验标准差 随随着测量次数的增加而趋于一个稳定的数值；平着测量次数的增加而趋于一个稳定的数值；平均值的标准偏差均值的标准偏差 则将随着测量次数的增加则将随着测量次数的增加而减小，而减小， )1()()()(12 nnxxnxsxsniii)(xs)(xs。，当当0)( xsnl标准偏差的特性标准偏差的特性10标准偏差标准偏差测量次数测量次数n)(ixs)(xs稳定值时，当)(ixsn单次测量标准差单次测量标准差0)(xsn时，当平均值标准差平均值标准差 在方差计算中，自由度为和的项数减去和在方差计算中，自由度为和的项数减去和的限制数，记为的限制数，记为 。在重复条

15、件下对被测量做。在重复条件下对被测量做n次独立测量，其样本方差为次独立测量，其样本方差为 :式中式中vi为残差。所以在方差的计算式中，和的为残差。所以在方差的计算式中，和的项数即为残差项数即为残差vi的个数的个数n。而且残差之和为零，而且残差之和为零，即即 i=0 是限制条件，故限制数为是限制条件，故限制数为1，因此可，因此可得自由度得自由度 n1。 1)(11212 nxxnvniinii/第第20页页3.1 测量测量结果的质量结果的质量 测量给出关于某物的属性，它可以告诉我们某物体测量给出关于某物的属性，它可以告诉我们某物体有多重，或多长，或多热。测量总是通过某种仪器或有多重，或多长，或多

16、热。测量总是通过某种仪器或器具来实现的，尺子、秒表、称重秤、温度计等都是器具来实现的，尺子、秒表、称重秤、温度计等都是测量器具。被测量的测量结果通常由两部分组成：一测量器具。被测量的测量结果通常由两部分组成：一个数和一个测量单位。例如人体温度个数和一个测量单位。例如人体温度37.2，人体温，人体温度是被测量，度是被测量，37.2是数，是数，是单位。是单位。对于复杂的测量，通过实际测量获得被测量的测量数对于复杂的测量，通过实际测量获得被测量的测量数据后，通常需要对这些数据进行计算、分析、整理，据后，通常需要对这些数据进行计算、分析、整理，有时还要将数据归纳成相应的表示式或绘制成表格、有时还要将数

17、据归纳成相应的表示式或绘制成表格、曲线等等，亦即要进行数据处理，然后给出测量结果。曲线等等，亦即要进行数据处理，然后给出测量结果。 测量不确定度由于衡量测量结果的质量。测量不确定度由于衡量测量结果的质量。 第第4页页/19203.2.1 测量不确定度定义测量不确定度定义 测量不确定度（测量不确定度（uncertainty of measurement）：）： 表征合理地表征合理地赋予被测量之值的分散性，与测量结果相联系的参数。赋予被测量之值的分散性，与测量结果相联系的参数。注：注：1. 此参数可以是诸如标准偏差或其倍数，或说明了置信水准此参数可以是诸如标准偏差或其倍数，或说明了置信水准 的区间

18、的半宽度。的区间的半宽度。 2. 测量不确定度由多个分量组成。其中的一些分量可用测量测量不确定度由多个分量组成。其中的一些分量可用测量 列结果的统计分布估算，并用实验标准偏差表征。另一些列结果的统计分布估算，并用实验标准偏差表征。另一些 分量可用基于经验或其他信息的假定概率分布估算，也可分量可用基于经验或其他信息的假定概率分布估算，也可 用标准偏差表征。用标准偏差表征。 3. 测量结果应理解为被测量之值的最佳估计，而所有的不确测量结果应理解为被测量之值的最佳估计，而所有的不确 定度分量均贡献给了分散性，包括那些由系统效应引起的定度分量均贡献给了分散性，包括那些由系统效应引起的 （如与修正值和参

19、考测量标准有关的）分量。（如与修正值和参考测量标准有关的）分量。 4. 不确定度恒为正值。当由方差得出时，取其正平方根。不确定度恒为正值。当由方差得出时，取其正平方根。对测量结果正确性的怀疑程度对测量结果正确性的怀疑程度 5. 不确定度一词指可疑程度，广义而言，测量不确定度义不确定度一词指可疑程度，广义而言，测量不确定度义 为对测量结果正确性的可疑程度。不带形容词的不确定为对测量结果正确性的可疑程度。不带形容词的不确定 度用于一般概念，当需要明确某一测量结果的不确定度度用于一般概念，当需要明确某一测量结果的不确定度 时，要适当采用一个形容词，比如合成标准不确定度或时，要适当采用一个形容词，比如

20、合成标准不确定度或 扩展不确定度；但不要用随机不确定度和系统不确定度扩展不确定度；但不要用随机不确定度和系统不确定度 这两个术语，必要时可用随机效应导致的不确定度和系这两个术语，必要时可用随机效应导致的不确定度和系 统效应导致的不确定度。统效应导致的不确定度。 6. JJF-1001-1998 通用计量术语及定义给出的上述不确通用计量术语及定义给出的上述不确 定度定义是可操作的的定义，即着眼于测量结果及其分定度定义是可操作的的定义，即着眼于测量结果及其分 散性。虽然如此，这个定义从概念上来说与下述曾使用散性。虽然如此，这个定义从概念上来说与下述曾使用 过的定义并不矛盾：过的定义并不矛盾： 由测

21、量结果给出的被测量的估计值的可能误差的量度。由测量结果给出的被测量的估计值的可能误差的量度。 表征被测量的真值所处范围的评定。表征被测量的真值所处范围的评定。 不论采用以上哪一种不确定度的概念，其评定方法均相同，不论采用以上哪一种不确定度的概念，其评定方法均相同， 表达形式也一样。表达形式也一样。 定义的注定义的注3指出，指出，“测量结果测量结果”实际上实际上是是指指“被测量之值被测量之值”的最佳估值。通常人们通的最佳估值。通常人们通过过多次测量并取其读数的算术平均值给出测量多次测量并取其读数的算术平均值给出测量结果。平均值给出的是结果。平均值给出的是“被测量之值被测量之值”的最的最佳佳估值。

22、估值。第第4页页/ 我们知道，我们知道，测量误差测量误差（measurement error）定义为：测量结果减去被测量的真值。）定义为：测量结果减去被测量的真值。由于真值不能确定，实际测量中是用由于真值不能确定，实际测量中是用“约定真值约定真值”代替。代替。 定义中的定义中的“被测量之值被测量之值”广义而言是指被测广义而言是指被测量量的真值。但是，真值是一个理想的概念，不可能的真值。但是，真值是一个理想的概念，不可能被确切地知道。被确切地知道。 我们应当将我们应当将“被测量之值被测量之值”理解为被测量的理解为被测量的最最佳估值。佳估值。 分散性是表示测量结果之间相互不一致程度的一个分散性是表

23、示测量结果之间相互不一致程度的一个量，例如重复性、复现性，以及测量不确定度。重复条量，例如重复性、复现性，以及测量不确定度。重复条件下测量列按贝塞耳法计算得到的实验标准偏差件下测量列按贝塞耳法计算得到的实验标准偏差s就是表就是表示测量结果分散性的一个量。示测量结果分散性的一个量。 定义的注定义的注1指出，分散性这一指出，分散性这一“参数参数”可以是可以是“标准标准偏偏差或其倍数差或其倍数”。 为了与传统的测量误差相区别，测量不确定度用为了与传统的测量误差相区别，测量不确定度用u（uncertainty的字头）而不用的字头）而不用s表示。表示。 定义的注定义的注3指出，指出，“所有的不确定度分量

24、均贡献给了所有的不确定度分量均贡献给了分散性，包括那些由系统效应引起的（如与修正值和参分散性，包括那些由系统效应引起的（如与修正值和参考测量标准有关的）分量考测量标准有关的）分量”。也就是说，不确定度评定。也就是说，不确定度评定应应当考虑已识别的系统效应的影响。换句话说，测量结果当考虑已识别的系统效应的影响。换句话说，测量结果是指对已识别的系统效应修正后的最佳估值是指对已识别的系统效应修正后的最佳估值。 定义的注定义的注2指出，指出，“测量不确定度由多个分量测量不确定度由多个分量组组成。其中的一些分量可用测量列结果的统计分布估成。其中的一些分量可用测量列结果的统计分布估算，并用实验标准偏差表征

25、。另一些分量可用基于算，并用实验标准偏差表征。另一些分量可用基于经验或其他信息的假定概率分布估算，也可用标准经验或其他信息的假定概率分布估算，也可用标准偏差表征偏差表征”。 “经验的经验的”或或“假定概率的分布假定概率的分布”说明，不确说明，不确定度定度评定带有主观鉴别的成分。也就是说，测量不确定评定带有主观鉴别的成分。也就是说，测量不确定度评定与评定人员的理论知识和实践经验密切相度评定与评定人员的理论知识和实践经验密切相关。所以，定义中使用了关。所以，定义中使用了“合理地合理地”一词。一词。测量不确定度评定与评定人员的理测量不确定度评定与评定人员的理论知识和实践经验密切相关论知识和实践经验密

26、切相关。 所谓所谓“区间半宽度区间半宽度”，对于不对称分布的不，对于不对称分布的不确确定度，则取其中间值。定度，则取其中间值。 定义的注定义的注4指出，不确定度恒为正值。当由方指出，不确定度恒为正值。当由方差得出时，取其正平方根。差得出时，取其正平方根。 所以人们说，测量不所以人们说，测量不确定度只有正号。确定度只有正号。 定义的注定义的注5指出，不确定度一词指可疑程度。指出，不确定度一词指可疑程度。可以概括地说，测量不确定度是定量表示对测量可以概括地说，测量不确定度是定量表示对测量结果的怀疑程度，以一个具有置信水准的区间的结果的怀疑程度，以一个具有置信水准的区间的形式表示，而且不能用不确定度

27、数值来修正测量形式表示，而且不能用不确定度数值来修正测量结果。结果。 定义的注定义的注1还指出，测量不确定度是还指出，测量不确定度是“说明说明了了置信水准的区间的半宽度置信水准的区间的半宽度”。也就是说，。也就是说，测量不测量不确定度需要用两个数来表示：一个是测量不确定确定度需要用两个数来表示：一个是测量不确定度的大小，即度的大小，即置信区间置信区间；另一个是；另一个是置信水准置信水准（或（或称置信概率），表明测量结果落在该区间有多大称置信概率），表明测量结果落在该区间有多大把握。把握。 例如上述测量人体温度为例如上述测量人体温度为37.2或加或减或加或减0.05，置信概率为，置信概率为99。

28、该结果可以表示为：。该结果可以表示为：37.20.05，置信概率为，置信概率为99 置信区间置信区间置置信信水水准准U=1u=1.0%U=2u=2.0%U=3u=3.0%测量结果测量结果p 68p 95p 99表表3.1 测量误差与测量不确定度的主要区别测量误差与测量不确定度的主要区别 序号序号测量误差测量误差测量不确定度测量不确定度 1测量结果减去被测量的真值，是测量结果减去被测量的真值，是具有正号和负号的量值。具有正号和负号的量值。用标准偏差或其倍数的半宽度用标准偏差或其倍数的半宽度(置置信区间信区间)表示，并需要说明置信概表示，并需要说明置信概率。无符号参数（或取正号）。率。无符号参数（

29、或取正号）。 2表明测量结果偏离真值。表明测量结果偏离真值。说明合理地赋予被测量之值说明合理地赋予被测量之值(最佳最佳估值估值)的分散性。的分散性。 3客观存在，不以人的认识程度而客观存在，不以人的认识程度而改变。改变。与评定人员对被测量、影响量及测与评定人员对被测量、影响量及测量过程的认识密切相关。量过程的认识密切相关。 4不能准确得到真值，而是用约定不能准确得到真值，而是用约定真值代替真值，此时只能得到真真值代替真值，此时只能得到真值得估计值。值得估计值。 通过实验、资料、根据评定人员的通过实验、资料、根据评定人员的理论和实践经验进行评定，可以定理论和实践经验进行评定，可以定量给出。量给出

30、。 5按性质可分为随机误差和系统误按性质可分为随机误差和系统误差两大类，都是无穷多次测量下差两大类，都是无穷多次测量下的理想概念。的理想概念。 不必区分性质，必要时可表述为不必区分性质，必要时可表述为“随机效应或系统效应引起的不确随机效应或系统效应引起的不确定度分量定度分量”。可将评定方法分为。可将评定方法分为“A类或类或B类标准不确定度评定方类标准不确定度评定方法法”。 6已知系统误差的估计值，可对测已知系统误差的估计值，可对测量结果进行修正，得到已修正的量结果进行修正，得到已修正的测量结果。测量结果。 不能用测量不确定度修正测量结果。不能用测量不确定度修正测量结果。 /第第21页页允许误差

31、下限值允许误差下限值允许误差上限值允许误差上限值 示值误差示值误差示值示值 x x TU 扩展不确定度扩展不确定度校准值校准值 xr x T图图3.1 示值误差示值误差 、允许误差、允许误差 T 、测量不确定度、测量不确定度U的关系的关系区间半宽度区间半宽度/第第21页页 误差误差（Error）准确度准确度Accuracy不确定度不确定度（Uncertainty）测量结果测量结果测得值减真值测得值减真值测量结果测量结果与真值的与真值的一致程度一致程度有定义有定义批量生产批量生产仪器仪器没有定义没有定义示值最大允许示值最大允许误差误差没有定义没有定义计量标准计量标准装置装置有定义有定义（示值误差

32、）（示值误差）没有定义没有定义没有定义但没有定义但需要给出需要给出仪器设备的准确度等级仪器设备的准确度等级（1） 对被测量的定义不完整或不完善；对被测量的定义不完整或不完善；（2） 实现被测量定义的方法不理想；实现被测量定义的方法不理想；（3） 取样的代表性不够，即被测量的样本不能完全代表取样的代表性不够，即被测量的样本不能完全代表 所定义的被测量；所定义的被测量；（4） 对测量过程受环境影响的认识不周全，或对环境条对测量过程受环境影响的认识不周全，或对环境条 件的测量与控制不完善；件的测量与控制不完善；（5） 对模拟式仪器的读数存在人为偏差（偏移）；对模拟式仪器的读数存在人为偏差（偏移）；

33、测量仪器计量性能（如灵敏度、鉴别力阈、分辨测量仪器计量性能（如灵敏度、鉴别力阈、分辨 力、稳定性及死区等）的局限性；力、稳定性及死区等）的局限性；（7） 赋予计量标准的值或标准物质的值不准确；赋予计量标准的值或标准物质的值不准确；（8） 引用的数据或其他参数的不确定度；引用的数据或其他参数的不确定度；（9） 与测量方法和测量程序有关的近似性和假定性；与测量方法和测量程序有关的近似性和假定性；（10）被测量重复观测值的变化等等。）被测量重复观测值的变化等等。/第第2324页页4.2.1 随机效应和系统效应随机效应和系统效应 在测量中产生不确定度的效应有两类：在测量中产生不确定度的效应有两类：（1

34、） 随机效应随机效应：重复测量给出随机的不同结果。如：重复测量给出随机的不同结果。如前所述，通过多次测量然后取平均值，可以期望获得前所述，通过多次测量然后取平均值，可以期望获得较佳的估计值。由这种方法求取测量不确定度，称为较佳的估计值。由这种方法求取测量不确定度，称为A类不确定度评定方法。类不确定度评定方法。（2） 系统效应系统效应：对重复测量的每一个结果都有相同：对重复测量的每一个结果都有相同的影响。在这种情况下，只靠重复测量得不到附加信的影响。在这种情况下，只靠重复测量得不到附加信息。要估计系统效应产生的测量不确定度，需要采用息。要估计系统效应产生的测量不确定度，需要采用其他方法，如不同的

35、测量方法或不同的计算方法。由其他方法，如不同的测量方法或不同的计算方法。由这种方法求取测量不确定度，称为这种方法求取测量不确定度，称为B类不确定度评定类不确定度评定方方法。法。/第第2728页页 一组数值的散布会取不同的形式，或称为服从不同的一组数值的散布会取不同的形式，或称为服从不同的概率分布。概率分布。 （1） 正态分布正态分布 在一组读数中，较多的读数值靠近平均值，少数读数在一组读数中，较多的读数值靠近平均值，少数读数值离平均值较远。这就是正态分布或高斯分布的特征。值离平均值较远。这就是正态分布或高斯分布的特征。 （2） 均匀分布（矩形分布）均匀分布（矩形分布） 当测量值非常平均地散布在

36、最大值和最小值之间的范当测量值非常平均地散布在最大值和最小值之间的范围内时，就产生了矩形分布或称为均匀分布。围内时，就产生了矩形分布或称为均匀分布。 （3） 其他分布其他分布 还有其他分布形状，但较少见，例如三角分布、反余还有其他分布形状，但较少见，例如三角分布、反余弦分布（弦分布（U型分布）等。表型分布）等。表4.1给出了几种概率分布及其包给出了几种概率分布及其包含因子。含因子。/第第16页页概率密度概率密度概率概率p=95. 45%概率概率p=68.27%等于概率曲线与横等于概率曲线与横坐标围成的面积坐标围成的面积xf(x)整个分布曲线与横坐标围成的面积整个分布曲线与横坐标围成的面积(概率

37、概率)等于等于1概率概率p=99.73% 2 3 2 3 正态分布正态分布概率密度函数曲线概率密度函数曲线随机变量随机变量x的取值的取值 ，2 内的概率为内的概率为 p=81.86%/第第1415页页符合如下条件之一者一般可估计为正态分布：符合如下条件之一者一般可估计为正态分布：1)重复条件或复现条件下多次测量的算术平均值的重复条件或复现条件下多次测量的算术平均值的分布；分布；2)被测量量被测量量Y用扩展不确定度用扩展不确定度Up给出，而对其分布给出，而对其分布又没有特殊指明时，估计值又没有特殊指明时，估计值Y的分布；的分布； 3)被测量被测量Y的合成标准不确定度的合成标准不确定度 中，相互独

38、中，相互独立的分量立的分量 较多，它们之间的大小也比较接较多，它们之间的大小也比较接近时，近时，Y的分布；的分布； 4)被测量被测量Y的合成标准不确定度的合成标准不确定度 中，相互独中，相互独立的分量立的分量 中，存在两个界限值接近的三角中，存在两个界限值接近的三角分布，或分布，或4个界限值接近的均匀分布时；个界限值接近的均匀分布时；5)被测量被测量Y的合成标准不确定度的合成标准不确定度 的相互独立的的相互独立的 分量分量 中，量值较大的分量（起着决定作用中，量值较大的分量（起着决定作用的分布）接近正态分布时。的分布）接近正态分布时。)(cyu)(yui)(cyu)(cyu)(yui)(yui

39、2a(= a )x1/2a矩形（均匀）分布矩形（均匀）分布3)(axu 符合如下条件之一者一般可估计为矩型分布：符合如下条件之一者一般可估计为矩型分布：1)数据修约导致的不确定度；数据修约导致的不确定度；2)数字式测量仪器对示值量化（分辨率）导致数字式测量仪器对示值量化（分辨率）导致的不确定度；的不确定度；3)测量仪器由于滞后、摩擦效应导致的不确定测量仪器由于滞后、摩擦效应导致的不确定度；度；4)按级使用的数字式仪表、测量仪器最大允许按级使用的数字式仪表、测量仪器最大允许误差导致的不确定度；误差导致的不确定度；5)用上、下界给出的线膨胀系数；用上、下界给出的线膨胀系数；6)测量仪器度盘或齿轮回

40、差引起的不确定度；测量仪器度盘或齿轮回差引起的不确定度；7)平衡指示器调零不准导致的不确定度。平衡指示器调零不准导致的不确定度。6)(axu 1/ax2a(= a)三角分布三角分布符合如下条件之一者一般可估计为三角分布：符合如下条件之一者一般可估计为三角分布：1)相同修约间隔给出的两独立量之和或差，相同修约间隔给出的两独立量之和或差，由修约导致的不确定度；由修约导致的不确定度；2)因分辨率引起的两次测量结果之和或差的因分辨率引起的两次测量结果之和或差的不确定度；不确定度；3)用替代法检定标准电子元件或测量衰减时，用替代法检定标准电子元件或测量衰减时，调零不准导致的不确定度；调零不准导致的不确定

41、度；4)两相同均匀分布的合成。两相同均匀分布的合成。表表4.1 常用分布与包含因子常用分布与包含因子k、u(xi)的关系的关系分布类别分布类别p(%)ku(xi)正正 态态99.733a/3三三 角角100梯梯 形形 =0.711002a/2矩矩 形形100反正弦反正弦100两两 点点1001aa为测量值概率分布区间半宽度为测量值概率分布区间半宽度6232a6a3a第第13页页/第第40页页（1） 操作人员失误不是不确定度。这一类不应计入对不确定度操作人员失误不是不确定度。这一类不应计入对不确定度的贡献，应当并可以通过仔细工作和核查来避免发生。的贡献，应当并可以通过仔细工作和核查来避免发生。（

42、2） 允差不是不确定度。允差是对工艺、产品或仪器所选定的允差不是不确定度。允差是对工艺、产品或仪器所选定的允许极限值。允许极限值。（3） 技术条件不是不确定度。技术条件告诉的是对产品或仪器技术条件不是不确定度。技术条件告诉的是对产品或仪器期望什么。技术条件包含的内容，包括期望什么。技术条件包含的内容，包括“非技术非技术”的质量项目，的质量项目，例例如外观。如外观。（4） 准确度（更确切地说，应叫不准确度）不是不确定度。准确度（更确切地说，应叫不准确度）不是不确定度。遗憾的是这些术语的使用常被混淆。确切地说，遗憾的是这些术语的使用常被混淆。确切地说，“准确度准确度”是一是一个个定性的术语，如人们

43、可能说，测量是定性的术语，如人们可能说，测量是“准确准确”的或的或“不准确不准确”的。的。（5） 误差不是不确定度。（参见误差不是不确定度。（参见2.2.3节）。节）。（6） 统计分析不是不确定度分析。统计学可以用来得出各类统计分析不是不确定度分析。统计学可以用来得出各类结论，而这些结论本身并不告诉我们任何关于不确定度的什么。结论，而这些结论本身并不告诉我们任何关于不确定度的什么。不确定度分析只是统计学的一种应用。不确定度分析只是统计学的一种应用。它们可能是不确定度的来源它们可能是不确定度的来源 A类标准不确定度类标准不确定度 标准不确定度标准不确定度 合成标准不确定度合成标准不确定度 B类标

44、准不确定度类标准不确定度测量不确定度测量不确定度 U（当无需给出当无需给出Up时时,k=23） 扩展不确定度扩展不确定度 Up（p为置信概率）为置信概率） 小写英文字母小写英文字母u(斜体斜体)表示表示大写英文字母大写英文字母U(斜体斜体)表示表示A类评定类评定：用对观察列进行统计分析的方法，来评定用对观察列进行统计分析的方法，来评定 标准不确定度标准不确定度。 亦即采用统计方法进行的标准不确定度估亦即采用统计方法进行的标准不确定度估 计（通常采用重复测量）。计（通常采用重复测量）。B类评定类评定：用不同于对观察列进行统计分析的方法，用不同于对观察列进行统计分析的方法，来来 评定评定标准不确定

45、度标准不确定度。 可根据其他信息的标准不确定度估计。这可根据其他信息的标准不确定度估计。这 些信息可能来自过去的经验、校准证书、些信息可能来自过去的经验、校准证书、 生产厂的技术说明书、手册、出版物、计生产厂的技术说明书、手册、出版物、计 算、常识等。算、常识等。A类评定和类评定和B类评类评定都是指标准不定都是指标准不确定度的评定！确定度的评定！第第5页页/第第27页页第第5页页/定义：定义： 当测量结果是由若干个其它量当测量结果是由若干个其它量的值求得时，按其它各量的方差和的值求得时，按其它各量的方差和协方差算得的标准不确定度。协方差算得的标准不确定度。 注：它是测量结果标准差的估计值。注：

46、它是测量结果标准差的估计值。 第第5页页/ 影响测量结果不确定度的因素很多，为了计算总不影响测量结果不确定度的因素很多，为了计算总不确定度，需要将各不确定度分量进行合成。在计算合成确定度，需要将各不确定度分量进行合成。在计算合成标准不确定度之前，需要确定各输入量的标准不确定度标准不确定度之前，需要确定各输入量的标准不确定度是否彼此相关。对于大多数情况，输入量的标准不确定是否彼此相关。对于大多数情况，输入量的标准不确定度是彼此互不相关的，这时，由度是彼此互不相关的，这时，由A类和类和B类评定所计算类评定所计算得得到的多个标准不确定度可以用到的多个标准不确定度可以用“方和根（方和根（RSS）方法）

47、方法”有有效地进行合成。这样合成的结果称为合成标准不确定效地进行合成。这样合成的结果称为合成标准不确定度，用度，用uc（下角标（下角标c是合成是合成combined的词头）或的词头）或uc（y）（y的合成标准不确定度的合成标准不确定度）来表示。来表示。定义：定义： 确定测量结果区间的量，合理赋予被测确定测量结果区间的量，合理赋予被测量之值分布的大部分可望含于此区间。量之值分布的大部分可望含于此区间。 注：扩展不确定度有时也称展伸不确定度或注：扩展不确定度有时也称展伸不确定度或 范围不确定度。范围不确定度。扩展不确定度通常用斜体大写英文字母扩展不确定度通常用斜体大写英文字母U表示。表示。 第第5

48、页页/定义：定义：为求得扩展不确定度，对合成标准不确为求得扩展不确定度，对合成标准不确 定度所乘之数字因子。定度所乘之数字因子。 注：注：1. 包含因子等于扩展不确定度与合成标准包含因子等于扩展不确定度与合成标准 不确定度之比。不确定度之比。 2. 包含因子有时也称覆盖因子。包含因子有时也称覆盖因子。 3. 根据其含义可分为两种：根据其含义可分为两种： k=U/uc；kp=U/uc。 4. 一般在一般在23之间。之间。 5. 下脚标下脚标p为置信概率，即置信区间所需为置信概率，即置信区间所需 之概率。之概率。 第第5页页/1 确定被测量和测量方法确定被测量和测量方法 包括测量原理、环境条件、所

49、用仪器设备、测量程序和数据处理等。包括测量原理、环境条件、所用仪器设备、测量程序和数据处理等。2 建立数学模型建立数学模型 确定被测量与各输入量之间的函数关系。如果对被测量不确定度有贡献的分确定被测量与各输入量之间的函数关系。如果对被测量不确定度有贡献的分 量未包括在数学模型中，应特别加以说明，如环境因素的影响。量未包括在数学模型中，应特别加以说明，如环境因素的影响。3 求被测量的最佳估值求被测量的最佳估值 不确定度评定是对测量结果的不确定度评定，而测量结果应理解为被测量之不确定度评定是对测量结果的不确定度评定，而测量结果应理解为被测量之 值的最佳估计。确定不确定度的各种来源。值的最佳估计。确

50、定不确定度的各种来源。4 确定各输入量的标准不确定度确定各输入量的标准不确定度 包括不确定度的包括不确定度的A类评定和类评定和B类评定。类评定。5 确定各个输入分量标准不确定度对输出量的标准不确定度的贡献确定各个输入分量标准不确定度对输出量的标准不确定度的贡献 由数学模型对各输入量求偏导数确定灵敏系数，然后由输入量的标准不确定由数学模型对各输入量求偏导数确定灵敏系数，然后由输入量的标准不确定 度分量求输出量对应的标准不确定度分量。度分量求输出量对应的标准不确定度分量。6 求合成标准不确定度求合成标准不确定度 利用不确定度传播率，对输出量的标准不确定度分量进行合成。利用不确定度传播率，对输出量的

51、标准不确定度分量进行合成。7 求扩展不确定度求扩展不确定度 根据被测量的概率分布和所需的置信水准，确定包含因子，由合成标准不确根据被测量的概率分布和所需的置信水准，确定包含因子，由合成标准不确 定度计算扩展不确定度。定度计算扩展不确定度。8 报告测量结果的不确定度报告测量结果的不确定度/第第61页页 评定之前，评定人员首先应当对测量过程及其物评定之前，评定人员首先应当对测量过程及其物理模型有详尽和充分地了解。也就是说，要知道我们理模型有详尽和充分地了解。也就是说，要知道我们需要需要测量什么？如何测量？为什么这样测量？测量什么？如何测量？为什么这样测量？ 不确定度评定最重要的观念之一是，要对测量

52、过不确定度评定最重要的观念之一是，要对测量过程，从而对测量不确定度主要来源有详尽的了解。对程，从而对测量不确定度主要来源有详尽的了解。对不确定度来源的识别，要从仔细分析测量过程开始。不确定度来源的识别，要从仔细分析测量过程开始。这要求测量系统的设计人员和试验人员，需要采用各这要求测量系统的设计人员和试验人员，需要采用各种方法对测量程序和测量系统做详细研究。这些方法种方法对测量程序和测量系统做详细研究。这些方法包括测量流程图、计算机模拟、重复测量或交替测包括测量流程图、计算机模拟、重复测量或交替测量，与其他方法比较等等。这意味着，测量系统的设量，与其他方法比较等等。这意味着，测量系统的设计人员或

53、熟练操作人员是最适合进行不确定度评定实计人员或熟练操作人员是最适合进行不确定度评定实践的。践的。 对于初学者，通过对测量过程和测量系统的深入对于初学者，通过对测量过程和测量系统的深入分析研究，列出不确定度评定所需的信息，包括：首分析研究，列出不确定度评定所需的信息，包括：首先必须确定你需要测量什么，如何进行测量。也就是先必须确定你需要测量什么，如何进行测量。也就是说，确定被测量和描述测量过程：说，确定被测量和描述测量过程：给出测量原理框给出测量原理框图，明确测量参数；图，明确测量参数；给出测量仪器给出测量仪器/测量标准技术指测量标准技术指标，并列出其计量特性；标，并列出其计量特性；描述被测物品

54、技术指标；描述被测物品技术指标；列出测量依据的技术标准列出测量依据的技术标准/规范规范/规程；规程；描述测量方描述测量方法；法；说明测量过程和环境；说明测量过程和环境；不确定度评定中需要不确定度评定中需要说明的其他信息。说明的其他信息。 所谓建立数学模型，就是根据被测量的定义和物理模所谓建立数学模型，就是根据被测量的定义和物理模型（测量方案），用一个函数关系将测量过程模型化，以型（测量方案），用一个函数关系将测量过程模型化，以确定被测量与有关量之间的函数关系。一个被测量可能依确定被测量与有关量之间的函数关系。一个被测量可能依赖若干个有关量，为此，先要识别出所赖若干个有关量，为此，先要识别出所

55、有被测的输入有被测的输入量，然后通过数学模型（函数关系），用所有的已知输入量，然后通过数学模型（函数关系），用所有的已知输入量计算输出量（最终的待测量）。量计算输出量（最终的待测量）。 只有评定了所有各输入量的不确定度，才能给出被测只有评定了所有各输入量的不确定度，才能给出被测量值（输出量）的不确定度。量值（输出量）的不确定度。 建立物理模型和相应的数学模型，实际上就给出了被建立物理模型和相应的数学模型，实际上就给出了被测量值的不确定度主要来源。测量值的不确定度主要来源。 /第第2427页页 在多数情况下，被测量在多数情况下，被测量Y（输出量）不能直接测得，而是由（输出量）不能直接测得，而是由

56、N个其他量个其他量X1，X2，XN通过函数关系通过函数关系f来确定：来确定： Y=f(X1，X2，XN)式中式中Xi是对是对Y的测量结果的测量结果y产生影响的影响量（即输入量）。上式产生影响的影响量（即输入量）。上式称为测量模型或数学模型，或称为测量过程数学模型。输出量称为测量模型或数学模型，或称为测量过程数学模型。输出量Y的的输入量输入量X1，X2，XN本身可看作被测量，也可取决于其他量，甚本身可看作被测量，也可取决于其他量，甚至包括具有系统效应的修正值，从而可能导出一个十分复杂的函数至包括具有系统效应的修正值，从而可能导出一个十分复杂的函数关系式，以至函数关系式，以至函数f不能用显式表示。

57、不能用显式表示。Y也可以用实验的方法确定，也可以用实验的方法确定，甚至只用数值方程给出。上式也可能简单到甚至只用数值方程给出。上式也可能简单到Y=X1+X2，甚至，甚至Y=X。 数学模型往往不是惟一的，通常取决于测量方法、测量仪器、数学模型往往不是惟一的，通常取决于测量方法、测量仪器、环境条件等。环境条件等。 数学模型在建立之初，可能不够完善，通过长期测量实践，可数学模型在建立之初，可能不够完善，通过长期测量实践，可对数学模型进行修正，使其不断完善。对数学模型进行修正，使其不断完善。 注意，所谓最佳估值是指被测量（输出量）注意，所谓最佳估值是指被测量（输出量）Y的估计值的估计值y。 如果被测量

58、如果被测量Y的估计值为的估计值为y，输入量，输入量Xi的估计值为的估计值为xi，则有，则有: yf(x1，x2，xN) 可以用两种方法用输入量可以用两种方法用输入量X1，X2，XN的估计值的估计值x1，x2，xN求取被测量求取被测量Y的最佳估值的最佳估值y。 方法方法1）方法方法2）式中式中 是是X的的n次独立观测值次独立观测值xik的算术平均值。的算术平均值。 当当y是是xi的线性函数时，两种方法的结果相同。当的线性函数时，两种方法的结果相同。当y是是xi的非的非线性函数时，线性函数时，建议采用方法建议采用方法1）求取被测量求取被测量Y的最佳估值的最佳估值y。 ),(111211Nknkkk

59、nkkxxxnynyy),(21Nxxxfynkikixnx11 需要指出，对于测量值来说，最佳值应是修需要指出，对于测量值来说，最佳值应是修正了已识别的系统效应和剔除了异常值的平均值。正了已识别的系统效应和剔除了异常值的平均值。 最后需要指出，求最佳估值是测量不确定度评最后需要指出，求最佳估值是测量不确定度评定必不可少的一个步骤。一方面是因为报告测量结定必不可少的一个步骤。一方面是因为报告测量结果和报告测量结果的不确定度需要给出最佳估值；果和报告测量结果的不确定度需要给出最佳估值；另一方面，计算相对不确定度需要有最佳估值，相另一方面，计算相对不确定度需要有最佳估值，相对不确定度等于不确定度除

60、以最佳值的绝对值。对不确定度等于不确定度除以最佳值的绝对值。 利用不确定度传播率可列出各标准不确定度分量利用不确定度传播率可列出各标准不确定度分量的表示式。的表示式。 若被测量（输出量）若被测量（输出量）Y=f(X1，X2，XN)的估计的估计值为值为yf(x1，x2，xN)，则，则y的合成标准不确定度的合成标准不确定度uc(y)由由相关输入量由由相关输入量X1，X2，XN)的估计值的估计值x1，x2，xN的标准不确定度所决定：的标准不确定度所决定： NiNiNijjijijiiiNiNiNijjijiiixuxuxxxfxfxuxfxxuxfxfxuxfyu1111221111222)()()