高等数学本科第七章课后习题解答

1、精品文档就在这里-各类专业好文档，值得你下载，教育，管理，论文，制度，方案手册，应有尽有-习题7.11.在空间直角坐标系中，指出下列各点位置的特点.；.【解】点在轴上；点在坐标面上；点在坐标面上；点在轴上；点在坐标面上；点在轴上.2.指出下列各点所在的卦限.；.【解】点在第五卦限；点在第三卦限；点在第七卦限；点在第六卦限.3.自点分别作、坐标面和、坐标轴的垂线，写出各垂足的坐标，并求出点到上述坐标面和坐标轴的距离.【解】在坐标面上的垂足为、在坐标面上的垂足为、在坐标面上的垂足为；在轴的垂足为、在轴的垂足为、在轴的垂足为； 到轴的距离为；到轴的距离为；到轴的距离为.3.已经点.求：（1）点关于各

2、坐标面对称点的坐标；（2）点关于各坐标轴对称点的坐标；（3）点关于坐标原点的对称点的坐标.【解】（1）关于面对称点的坐标是； 关于面对称点的坐标是；关于面对称点的坐标是.（2）关于轴对称点的坐标是； 关于轴对称点的坐标是；关于轴对称点的坐标是. （3）关于坐标原点的对称点的坐标是.5.求点到坐标原点和各坐标轴的距离.【解】 到坐标原点距离为； 到轴的距离为；到轴的距离为；到轴的距离为. 6.在轴上求与点和等距离的点.【解】设所求点为.据题意，有 ，即解得 .所以，所求之点为7.已知三角形的顶点坐标分别为、和，试证明为钝角.【解】边长； 边长； 边长.由余弦定理知 ，所以，为钝角.8.试在面上求

3、一点，使它到、和各点的距离相等.【解】设所求点为.据题意，有 ，即解得 .所以，所求之点为习题7.21.设平行四边形的对角线向量，试用，表示.【解】记平行四边形的对角线的交点为.；同理可求出，； ； .2.已知向量，.试用向量表示.【解】.3.设，.试用向量表示.【解】.4.设是一个正六边形，试用，表示.【解】记六边形的对角线的交点为.则四边形、及均为平行四边形.由向量加法的平行四边形法则知，；5.设向量，若它满足下列条件之一：（1）垂直于轴；（2）垂直于面；（3）平行于面.那么它的坐标有什么有何特征？【解】（1）因为垂直于轴，故，即；（2）因为垂直于面，故平行于轴，从而，所以，.（3）平行于

4、面，故垂直于轴，从而，所以，.6.已知向量，它的终点坐标为，求它的起点坐标.【解】设起点，则，根据已知条件，有，解得 所以，起点坐标为.7.已知向量，.求（1）向量；（2）向量的方向余弦；（3）向量的单位向量.【解】（1）.（2）.故，所以，向量的方向余弦为（3）.向量的单位向量为.8.试确定和的值，使向量和平行.【解】因为，所以 ，解得 9.已知向量及点，由点作向量，使，且与的方向相同.求向量的坐标表达式及点的坐标.【解】设，则.据题意知且与同向，因此有 ， 且 . 由式得 .又已知 ，故有 . 式化简得 ，解得 或（舍）.所以，因此，.10.已知点和点，且，求的值.【解】.由，得，化简得

5、，解之，得 或11.已知点和点，计算向量的模、方向余弦和方向角.【解】； . 因为.所以的方向余弦是方向角为12.求与下列向量同方向的单位向量.（1）；（2）.【解】（1），所以.（2），所以习题7.31.设向量，.求：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）向量的夹角.【解】（1）；（2）；（3）；（4）；（5） ；，故 ，所以向量的夹角为 2.设向量，为单位向量，且满足 .求：.【解】由式得 ； ； .即 ； ； ； 将、相加得 所以，3.已知点， 求：（1）同时与及垂直的单位向量；（2）的面积.【解】（1）. .所以，同时与及垂直的单位向量为 .（2）的面积.4.设，则当实数与有什么关系时

6、，能使与轴垂直？【解】.要使与轴垂直，只须与垂直，于是有，即 5.设质量为100的物体从点沿直线移动到点，计算重力所做的功.【解】，.所以，（焦耳）.6.已知，是否与平行？【解】；因为，所以，与平行.7.求一个单位向量使其同时垂直向量和.【解】. .所以同时垂直向量和向量的单位向量为 .习题7.41.求过点且与平面平行的平面方程.【解】已经平面的法向量为.据题意知，所求平面的法向量可也取作.所以据平面的点法式方程，所求平面即为 .化简得 .2.求过点且与连接坐标原点及的线段垂直的平面方程.【解】据题意知，所求平面的法向量可也取作.所以据平面的点法式方程，所求平面即为 .化简得 .3.求过点、和

7、三点的平面方程.【解】据平面的三点式方程，所求平面为 .即 .化简得 .4.求平面与坐标面、及的夹角的余弦.【解】平面的法向量为；面的法向量为 .由公式，平面与面的夹角的余弦为；同理， 平面与面的夹角的余弦为；平面与面的夹角的余弦为.5.求点平面的距离.【解】.6.求两平行平面与之间的距离.【解】在上任取一点，则到的距离就是所求与之间的距离.由点到平面的距离公式得 . 又，故有 ，即. 将代入，立得 .7.一平面通过和两点，且垂直于平面.求该平面方程.【解】已知平面的法向量为，.据题意，可取所求平面的法向量为 .所以，所求平面方程为 ，即 .8.求满足下列条件的平面方程：（1）过点和轴；（2）

8、过点及且平行于轴；（3）过点，且平行于面；（4）过点且同时平行于向量，.【解】（1）根据题意，可设所求平面的一般式方程为 . 又将点的坐标代入，得 ，即 .因此，所求平面为 注意到（否则的法向量为零向量），所以两边除以，得到 .（2）根据题意，可设所求平面的一般式方程为 . 又将点及的坐标分别代入，得 ，故 .因此，所求平面为 注意到（否则的法向量为零向量），所以两边除以，得到 .（3）根据题意，可设所求平面的一般式方程为 . 又将点的坐标代入，得 ，即 .因此，所求平面为 注意到（否则的法向量为零向量），所以两边除以，得到 .（4）根据题意，可设所求平面的一般式方程为 . 其法向量为.将点的

9、坐标代入，得 . 又因为同时平行于向量，故同时垂直于向量，于是有 、联立得到 因此成为 . 注意到（否则的法向量为零向量），所以两边除以，得到 .9.平面在、轴上的截距分别为30，10，且与平行，求该平面方程.【解】根据题意，可设所求平面的一般式方程为 . 其法向量为.因为在、轴上的截距分别为30，10，故过点及.将此两点坐标代入得 . 及 . 又已知与平行，故垂直于向量，于是有 . 、联立得到 .因此成为 . 注意到（否则的法向量为零向量），所以两边除以，得到 .10.指出下列各平面的特殊位置，并画出各平面.（1）；（2）；（3）；（4）.【解】（1）因方程中前面的系数为零，故平面平行于面；

10、（2）因方程中前面的系数为零，故平面平行于轴；（3）因方程中没有常数项，且前面的系数为零，故平面通过轴；（4）可化为，故是在轴、轴、轴上的截距分别为、和的平面.习题7.51.用点向式方程及参数式方程表示直线【解】任取方程组的一组解 则有，过点.可取直线的方向为 .所以，所求直线的点向式方程为 .进一步，的参数式方程为 2.求过、两点的直线方程.【解】可取直线的方向为 .故所求直线为 3.求过点且平行于直线的直线方程.【解】根据题意知，可取所求直线的方向为.故所求直线为 4.求过且垂直于平面的直线方程.【解】可取直线的方向为 .故所求直线为 5.求过点且与直线垂直相交的直线方程.【解】 过点且与

11、直线垂直的平面为 .即 . 化直线为参数式得 将代入，有 . 解得 .故直线与平面的交点为.因此所求直线的方向为 .故所求直线为 6. 过点向平面作垂线，求垂足坐标.【解】 过点且与平面垂直的直线为 化直线为参数式得 将代入平面方程中，得 . 解得 .故垂足坐标为.7.求直线与的夹角.【解】的方向为 ； 的方向为 .因为，所以与垂直，从而.8.求直线与平面的夹角.【解】的方向为，平面的法向量为. . . . 故，所以，.9.求过点且垂直于平面的直线方程.【解】根据题意知，所求直线的方向向量即为平面之法向量，即 .所以，由点向式方程知，所求直线为 .10.设平面过直线，且平行于直线，求平面的方程

12、.【解】显然面过点.可取面的法向量为 .所以，平面的方程为 .化简得 .11.求过点和直线的平面的方程.【解】直线的参数方程为显然过点，且的方向为.根据题意，可取平面的法向量为 .所以，平面的方程为 .化简得 .习题7.61.指出下列方程在平面解析几何与空间解析几何中分别表示何种几何图形.（1）；（2）；（3）；（4）.【解】（1）在平面解析几何中表示一条直线，在空间解析几何中表示一张平行于轴的平面；（2）在平面解析几何中表示一条抛物线，在空间解析几何中表示一张抛物柱面；（3）在平面解析几何中表示一条双曲线，在空间解析几何中表示一张双曲柱面；（4）在平面解析几何中表示一条椭圆曲线，在空间解析几

13、何中表示一张椭圆柱面.2.写出下列曲线绕指定坐标轴旋转一周而得到的旋转曲面的方程.（1）面上的抛物线绕轴旋转一周；（2）面上的双曲线绕轴旋转一周；（3）面上的直线绕轴旋转一周.【解】（1）面上的抛物线绕轴旋转一周得到的曲面是 ，即 .（2）面上的双曲线绕轴旋转一周得到的曲面是 ，即 .（3）面上的直线绕轴旋转一周而得到的曲面是 ，即 .3.说明下列旋转曲面是怎样形成的.（1）；（2）；（3）；【解】（1）由曲线绕轴旋转一周而形成；或由曲线绕轴旋转一周而形成.（2）由曲线绕轴旋转一周而形成；或由曲线绕轴旋转一周而形成.（3）由曲线绕轴旋转一周而形成；或由曲线绕轴旋转一周而形成.4.指出下列各方程

14、所表示的曲面.（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）；（7）；（8）.【解】（1）原方程可化为 .所以，原方程表示的是旋转椭球面.（2）原方程可化为 .所以，原方程表示的是双叶双曲面.（3）原方程可化为 所以，原方程表示的是双曲抛物面，即马鞍面.（4）原方程可化为 .所以，原方程表示的是椭圆柱面.（5）原方程可化为 .所以，原方程表示的是旋转抛物面.（6）原方程可化为 .所以，原方程表示的是双曲抛物面，即马鞍面.（7）原方程可化为 .所以，原方程表示的是椭球面.（8）原方程可化为 .所以，原方程表示的是单叶双曲面.习题7.71.求球心在，半径为3的球面与平面的交线方程（写出一般式方程和

15、参数式方程），并求出该曲线绕轴旋转一周而成的旋转曲面的方程.【解】（一）球心在，半径为3的球面方程为 .故球面与平面的交线的一般式方程为 即 化为参数式方程为 .（二）利用公式.绕轴旋转一周而成的旋转曲面的方程为 .2.分别求出母线平行于轴、轴且通过曲线的柱面方程.【解】（一）（1）、（2）联立消去，得 .所以，母线平行于轴且通过曲线的柱面为.（二）（1）、（2）联立消去，得 .所以，母线平行于轴且通过曲线的柱面为.3.指出下列方程所表示的曲线.（1） （2）（3） （4） 【解】（1）表示平面上的圆周曲线；（2）表示平面上的椭圆；（3）表示平面上的双曲线；（4）表示平面上的抛物线.4.求在三

16、个坐标面上的投影曲线.【解】（一）（1）、（2）联立消去得 .所以，在面上的投影曲线为 （二）（1）、（2）联立消去得 .所以，在面上的投影曲线为 （三）（1）、（2）联立消去得 .所以，在面上的投影曲线为 5.画出下列各曲面所围立体的图形.（1）及；（2）及.【解】略.6.求由球面 和锥面 所围成的立体在面上的投影区域.【解】联立、消去得 故在面上的投影曲线为 所以，球面和锥面所围成的立体在面上的投影区域为.7.写出圆锥面的参数方程.【解】习题7.81.设向量值函数，求.【解】.2.设空间曲线的向量函数为，.求曲线在与相应的点处的单位切向量.【解】因，故相应的点处的切向量为.相应的点处的单位

17、切向量为 3.求曲线在点处的切线方程和法平面方程.【解】对应参数.在点处的切线方向为 .所以，在点处的切线方程为 .法平面为 ，即 .4.在曲线上求一点，使在该点处的切线平行于平面.【解】平面的法向量为.在上任取一点，并设对应参数.在点处的切线方向为 .由题意，欲使点处的切线与平面平行，只须与垂直，为此令 ，即 .解之得， 或 .所以，所求点为或.5.求曲线，在处的切线方程和法平面方程.【解】参数对应曲线上的点.在点处的切线方向为 .所以，在点处的切线方程为 .法平面为 ，即 .6.已知表示空间一质点在时刻的位置，求质点在时刻的速度和加速度向量，并求质点在指定时刻的速率和运动方向.【解】（一）

18、时刻的速度向量为；时刻的加速度向量为 .（二）的速度为，速率为. 的速度为，运动方向为.复习题71.填空题（1）设为非零向量，若，则必有. （2）设为非零向量，若，则必有.（3）若直线的方向向量与平面的法向量互相平行，则直线与平面必垂直.（4）点到平面的距离.（5）若动到定点的距离等于它到轴的距离，则该动点的轨迹方程为.（6）直线与平面的位置关系是相交但不垂直.【解】直线的方向向量为.平面的法向量为.因为，且与的坐标分量不成比例， 所以直线与平面相交. 2.判断题.（1）若，则必有.（）【解】取，即知上述命题是错误的 .（2）若，则必有.（）【解】取，即知上述命题是错误的 .（3）若 且 ，则

19、必有.（）【解】取，即知上述命题是错误的 .【书后答案有误】.【注意：如果假定均为非零向量，则上述命题是正确的，其理由如下：由式得 ，说明与垂直；由式得 ，说明与平行.因为为非零向量，故必为零向量，从而.（4）设为非零向量，则必有.（）（5）设为非零向量，则必有.（）3.已知直线平面，则直线与平面的位置关系为（b）a. 平行于平面 c. 在平面上b. 垂直于平面 d. 与平面斜交.【解】在直线上任取一点.直线的方向向量为 .平面的法向量为 .因为，所以直线与平面垂直. 4.设，试用表示.【解】.5.设点为线段上一点，且，为外一点，记，试用来表示.【解】由题意知，.所以，.6.已知，.计算：（1

20、）； （2）.【解】（1）； .所以，.（2）； ； .所以， .【或者这样做： ，.所以】7.已知，且，求实数.【解】.因为，所以 ，即 .解之得 8.设，求：（1）；（2）.【解】（1） .所以，.（2）.9.设，计算：（1）与之间的夹角；（2）以与为邻边的平行四边形的面积.【解】. （1）；设与之间的夹角为，则有，所以 .（2）；设与之间的夹角为，则有，故 .所以由三角形的面积公式知，以与为邻边的平行四边形的面积为 10.已知点及，试在轴上求一点，使的面积最小.【解】过点及直线的方向即为.的方程为 .设点，则 .点距的距离为 明显地，当时，取到最小值.所以，的面积最小值为 .所求点11.求过点且与平面平行的平面方程.【解】可取所求平面的法向量与已知平面相同