三校生数学常用公式

1、三校生数学常用公式及常用结论1 .元素与集合的关系x A x Cu A (即x属于集合A则x不属于A的余集)x CuAx A.(同样x属于A的余集，则x不属于集合A2 .德摩根公式.Cu(AI B) CuAUCuB；Cu(AU B) CuAI CuB (这个根据1就能推出来，做题时认真 些可以不用特意记)3 .包含关系AI B A AUB B A BCuB CuA (主要看集合 A与集合B谁比较大)AI CuB (空集)Cu AUB R (全集)4 .集合aa2,L冏的子集个数共有2n个(如有n=3个元素，则共有2的三次方8个 子集)；真子集有2n - 1个(不包含自己本身的子集叫做真子集)；

2、非空子集有2n - 1个；非 空的真子集有2n -2个.5 .二次函数的解析式的三种形式(1) 一般式 f(x)(2)顶点式f(x)(3)零点式f(x)2ax bx c(a 0);2a(x h) k(a 0);a(x x1)(x x2)(a 0).6 .闭区间上的二次函数的最值二次函数f (x) ax2 bx c(a 0)在闭区间p,q (p、q为任意两个不相等的数，例如x -1,10)上的最值只能在x 包处及区间的两端点处取得，具体如下：2a当 a>0 时，若 xb-p,q ,则 f (x)minf ( F),改濡 max f ( p), f(q)；(顶点2a2a2b 4ac、坐标为(

3、一,b)2a 4ax p,q , f(x)max max f(p), f (q)(意思是最大值为两个中的一个)， 2af (x)min min f(p), f(q)(同样最小值为两个中一个).(2)当 a<0 时，若 x p,q ,则 f (x)minmin f(p), f(q)，若 x p,q ,则2a2af (x)maxmax f(p), f(q) , f (x)min min f(p), f(q).7. 一元二次方程的实根分布依据：若f(m)f(n) 0,则方程f (x) 0在区间(m,n)内至少有一个实根 设 f (x) x2 px q ,则ip2 4q 0(1)方程f(x) 0

4、在区间(m,)内有根的充要条件为f(m) 0或p ；m2f(m) 0f(n) 0(2)方程f (x) 0在区间(m, n)内有根的充要条件为f(m)f(n) 0或p2 4q 0或pm n2f(m) 0f f(n) 0或；af (n) 0 af (m) 0p2 4q 0(3)方程f(x) 0在区间(，n)内有根的充要条件为f (m) 0或 p m28.真值表Pq非pp或qp且q直真假直真真假假直假假真真:真假假假真假假9.常见结论的否定形式“结论反设词原结论反设词是不是至少有一个一个也没有也是不都是至多有一个至少后两个不大T至少有n个至多有（n 1）个小于不小于至多有n个至少有（n 1）个对所有

5、x , .立存在某x , 不成立p或qp且q对任何x , 不成立存在某x , 成立p且qp或q10.四种命题的相互关系11.充要条件(1)充分条件：若p q ,则p是q充分条件.(2)必要条件：若q p ,则p是q必要条件.(3)充要条件：若p q,且q p,则p是q充要条件.注：如果甲是乙的充分条件，则乙是甲的必要条件；反之亦然.12 .如果函数f (x)和g(x)都是减函数，则在公共定义域内，和函数f(x) g(x)也是减函数； 如果函数y f(u)和u g(x)在其对应的定义域上都是减函数 ，则复合函数y fg(x)是增 函数.13 .奇偶函数的图象特征奇函数的图象关于原点对称，偶函数的

6、图象关于y轴对称；反过来，如果一个函数的图象 关于原点对称，那么这个函数是奇函数；如果一个函数的图象关于y轴对称，那么这个函数是偶函数.14 .若函数y f(x)是偶函数，则f(x a) f ( x a)；若函数y f (x a)是偶函数，则 f (x a) f ( x a).15 .多项式函数P(x) anxn amxn1 La。的奇偶性多项式函数P(x)是奇函数P(x)的偶次项(即奇数项)的系数全为零.多项式函数P(x)是偶函数P(x)的奇次项(即偶数项)的系数全为零.16 .两个函数图象的对称性(1)函数y f(x)和y f 1(x)的图象关于直线y=x对称.17 .若将函数y f(x)

7、的图象右移a、上移b个单位，得到函数y f (x a) b的图象； 若将曲线f(x,y) 0的图象右移a、上移b个单位，得到曲线f (x a, y b) 0的图象.18 .互为反函数的两个函数的关系f(a) b f 1(b) a.19 .几个常见的函数方程正比例函数 f (x) cx, f(x y) f (x) f(y), f(1) c.(2)指数函数f(x)ax, f(x y)f(x) f (y), f (1) a0 .(3)对数函数f(x)logax, f(xy)f (x) f (y), f (a)1(a0,a 1).(4)幕函数 f(x) x , f (xy) f (x) f(y), f

8、'(1).20 .几个函数方程的周期(约定a>0)(1) f(x) f (x a),则 f(x)的周期 T=a；21 .分数指数幕m 1,厂(1) an j= ( a 0,m,n N ,且 n 1). vam小、m i , a ( a 0, m, n an22 .根式的性质(1) (na)n a.(2)当n为奇数时，nan a；当n为偶数时，雪|a| a，a 0 .a,a 023 .有理指数幕的运算性质(1) ar as ar s(a 0,r, s Q).(2) (ar)s ars(a 0,r,s Q).(3) (ab)r arbr (a 0,b 0, r Q).注：若a>

9、0,p是一个无理数，则ap表示一个确定的实数.上述有理指数幕的运算性质, 对于无理数指数幕都适用.24 .指数式与对数式的互化式log a N b ab N (a 0,a 1,N0)25 .对数的换底公式log a N og m ' ( a 0,且 a 1, m 0,且 m 1, N 0). logma推论 logam bn loga b ( a 0,且 a 1, m, n 0,且 m 1, n 1, N 0).m26.对数的四则运算法则若 a>0, aw1, M 0, N> 0,则(1) loga(MN) logaM log a N ；(2) logaM loga M l

10、oga N； N(3) log a M n nlog a M (n R).27 .设函数 f(x) logm(ax2 bx c)(a 0),记 b2 4ac .若 f(x)的定义域为R,则a 0,且 0;若f(x)的值域为R,则a 0,且 0.对于a 0的情形，需要单独检验.28 .对数换底不等式及其推广1右a 0, b 0, x 0, x 一，则函数 y logax(bx) a(1) 当a b时，在(0,1)和(工，)± y logax(bx)为增函数. aa.(2)当 a b 时，在(0,1)和(二，)± y logax(bx)为减函数.aa推论:设n m 1, p 0

11、, a 0,且a 1,则(1) logm p(n p) log m n .(2) loga mloga n loga229 .平均增长率的问题如果原来产值的基础数为 N,平均增长率为p ,则对于时间X的总产值y ,有y N(1 p)x.30 .数列的同项公式与前n项的和的关系5, n 1an(数列2门的刖n项的和为Sn a a? L an).Sn Sn i,n 231 .等差数列的通项公式an a1 (n 1)d dn a1 d (n其前n项和公式为n(ai an) sn-nai2n(n 1)d21(ai - d )n .32 .等比数列的通项公式an aqn1 aq 1 其前n项和公式为nb

12、 n(n 1)d,(q 1)d 1 qn d(b ；-)n,(q 1) q q 11 q qn(n N*);q其前n项的和公式为aQq 1Sn1 qna1,q 1a anq>1n ,q 1或 sn1 q .33.等比差数列an : an1qan d,ab(q 0)的通项公式为na1，q 114Snb (n 1)d,q anbqn (d b)q34.同角三角函数的基本关系式.22sin cos 1 , tansin， costan cot 135.和角与差角公式sin( cos(sincoscossintan(costancostanmsinsin1 mtan tansin( cos()s

13、in()cos(2)sin2)cos.2 sin. 2 sin（平方正弦公式）;a sinbcos=a2 b2 sin(（辅助角所在象限由点（a,b）的象限决定，tan).a36.二倍角公式sin 2cos2tan2sin cos .2. 2-2cossin2cos2 tan1 tan21 2sin237.三角函数的周期公式函数y sin(0)的周期T2-;函数y的周期T38.正弦定理a bsin A sin Bsin C39.余弦定理 ,22A b ccos A 2bc40.面积定理(1) S(2) SxC R及函数ycos( x ),xCR（A,，为常数，且Aw 0,tan( x2R.co

14、sB2c2ac为常数，且Aw0,> 0）b22,2八 a bcosC 2ab11二 aha -bhb22112che（ha、儿、儿分别表示a、b、c边上的高）.absin C 一bcsinA 一 casinB.41.三角形内角和定理在 ABC中，有A B CC (A B)C万里2c 22(A B).42 .实数与向量的积的运算律设入、以为实数,那么(1)结合律：入(n a)=(入ji ) a;(2)第一分配律：(入+ n ) a=入a+ n a;(3)第二分配律：入(a+b)=入a+入b.43 .向量的数量积的运算律：(1) a b= b a (交换律)；a - b= a ( b);(2

15、) ( a) b= (a b)=(3) (a+b) . c= a - c +b - c.44 .向量平行的坐标表小设 a=(xi, yi), b=(x2, y2),且 b 0,则 aPb(b 0)x y2 x?yi 0 .a与b的数量积(或内积)a - b=| a| b|cos 0 .45 .向量的平行与垂直设 a=(xi,yi), b=(x2, y2),且 b 0,则A| b b=入 a x1 y2 x2yl 0 .b2 4ac 0),如果 a 与 ax2 bx c 同 则其解集在两根之间.简言之：同号两a b(a 0) a - b=0x1 x2 y1y2 0.46 . 一元二次不等式 ax

16、2 bx c 0(或 0) (a 0, 号，则其解集在两根之外；如果a与ax2 bx c异号, 根之外，异号两根之间.x1 x x2(x x1)(x x2) 0(x1 x2);x x1,或x x2(x x1)(x x2) 0(x1 x2).47 .含有绝对值的不等式 当a> 0时，有22x a x a a x a .22fx a x a xa 或 x48 .无理不等式_ f(x) 0(1) , f (x) g(x) g(x) 0.f (x) g(x)f(x) 0f (x) 0(2)"(x) g(x) g(x) 0 或 /、c2 g(x) 0f(x) g(x)2_f (x) 0(

17、3). 7(x)g(x) g(x) 0f(x) g(x)249.指数不等式与对数不等式当a 1时，af(x) ag(x) f(x) g(x)；lOga f(X) lOga g(x)当0 af (x)g(x) a1时，f(x)lOga f (x) lOga g(x)f(x) 0g (x) 0 f (x) g(x)g(x)；f(x) 0g(x) 0 f (x) g(x)50.斜率公式k yy (PM)、Pz(x2,y2)x2 xl51.直线的五种方程(1)点斜式y yi k(x为)(直线l过点P(xi,y),且斜率为k).(2)斜截式y kx b (b为直线l在y轴上的截距).(3)两点式y vy

18、2 yx x1(y1y2)( R(x, y1)、B(x2,y2) ( x1x2).x2 X 截距式 -y 1( a、b分别为直线的横、纵截距, a b(5) 一月式 Ax By C 0(其中A、B不同时为0).a、b 0)52 .两条直线的平行和垂直若 1i : y kx b , l2: y k?x d 1i|12k1 k2,b1 b2; l1 l2k1k21.(2)若 l1:Ax B1y C1 0,l2:A2x B2yC2 0,且 Ai、A2、Bi、B2 都不为零, l1 |l2 l1 l2A旦Ci.A2B2c2 'A1A2B1 B20;53 .夹角公式(1) tan|k_A|1 k

19、2kl1)(1i : y kx b1, l2: y k?x b2,k1k2tanIABTB1I.NAB1B2(li：AxBiyC10,l2：A2XB2yC20, AA2B1B20).直线ll I2时，直线11与12的夹角是一.254 . li到12的角公式(1) tank2 k11 k2 kl(11:yk1xb1,12: yk2xb2,k1k21)AB2 A2B1tanAA2B1B2B1B20).(11： Ax By C1 0,12： A2X B2 y C2 0, AA2直线1112时，直线11到12的角是一.255 .点与圆的位置关系点P(x°, y°)与圆(x a)2

20、(y b)2 r2的位置关系有三种若 d . (a Xo)2 (b Yo)2 ,则d r 点P在圆外；d r 点P在圆上；d r 点P在圆内.56 .直线与圆的位置关系直线Ax By Cd d d其中dr 相离r 相切r 相交Aa Bb C|v A2 B2。与圆(x0;0;0.a)2(y b)2r2的位置关系有三种57 .圆的切线方程(1)已知圆 x2 y2 Dx Ey F 0 .若已知切点(x°,y。)在圆上，则切线只有一条，具方程是x°xYoYD(Xo x) E(yo y)220.当(xo,yo)圆外时，XoX YoYD (Xo x)2E(Yo y)2F 0表示过两个切

21、点的切点弦方程.过圆外一点的切线方程可设为y yok(x X。)，再利用相切条件求k,这时必有两条切线，注意不要漏掉平行于y轴的切线.斜率为k的切线方程可设为y kx b ,再利用相切条件求b,必有两条切线.已知圆x2 y2 r2 .过圆上的P0(%,y0)点的切线方程为2x)x y°yr ;斜率为k的圆的切线方程为ykxk2.58.椭圆的的内外部(1)点P(xo,y°)在椭圆(2)点P(xo,y°)在椭圆2 xa2 xab21(a1(a0)的内部0)的外部2 x0 2 a2 应a2 y02 y0 b259.椭圆的切线方程2(1)椭圆与 a(2)过椭圆2 y b2

22、2 xa1(a b0)上一点P(xo, yo)处的切线方程是XoXy°y2,2abb 0)外一点P(xo, yo)所引两条切线的切点弦方程是x°x-2"" a一 口 1b2.2(3)椭圆j a2y7 1(a b b20)与直线Ax By C 0相切的条件是2, 22B b c .60.双曲线的内外部点P(x°, y°)在双曲线点P(x°, y°)在双曲线2 xa2 xa2 y b22 y b21(a 0,b1(a 0,b61.双曲线的方程与渐近线方程的关系2(1)若双曲线方程为多 a2 y b2若渐近线方程为0,2

23、若双曲线与与 a焦点在y轴上).2 y b262.双曲线的切线方程2(1)双曲线xT a(2)过双曲线2 y b22 x2 a1(a0)的内部0)的外部2 x 2 a2 x 2 ay2b2 y。 b2x°x-2 ay0y1b2.2渐近线方程：得a2 y b2y 0 双曲线可设为b1有公共渐近线，可设为2 x2 a2 y b22 x-2 ay2 y b20 ,焦点在x轴上,0,b 0)上一点P(%,y°)处的切线方程是岑 岑 1. a b2纭1(a 0,b 0)外一点P(%, y0)所引两条切线的切点弦方程是 b1 o2(3)双曲线By C 0相切的条件是A2a2 B2b2

24、c2.4 1(a 0,b 0)与直线 Ax b63.抛物线y2 2px的焦半径公式1 4抛物线y2 2px(p 0)焦半径CFX0过焦点弦长CDx1 x2 x1 x2 p .22264.抛物线y2 2px上的动点可设为Pd,y )或P(2pt2,2pt)或P (x。, y。)，其中 2py2 2 px。.65 .二次函数y ax2 bx c a(x )2丝叱(a 0)的图象是抛物线：(1)顶点坐标 2a 4a,I 2,I 2,I 2/为(2,4ac_旦焦点的坐标为(-b,4ac b 1)； (3)准线方程是y 4ac b 1.2a 4a2a 4a4a66 .抛物线的内外部(1)点 P(x

25、76;, y°)在抛物线 y2 2px(p 0)的内部y2 2px( p 0).点 P(x°, y°)在抛物线 y2 2px(p 0)的外部y2 2px(p 0).(2)点 P(x0, y°)在抛物线 y2 2px(p 0)的内部y22px(p 0).点 P(x°, y°)在抛物线 y2 2px(p 0)的外部y22px(p 0).(3)点 P(x°, y°)在抛物线 x2 2py(p 0)的内部x2 2 py( p 0).点 P(x°, y°)在抛物线 x2 2py(p 0)的外部x2 2py

26、(p 0).(4)点 P(%, y0)在抛物线 x2 2py(p 0)的内部x2 2py(p 0).点 P(x°, y°)在抛物线 x22py(p 0)的外部x22py(p 0).67 .抛物线的切线方程(1)抛物线y2 2 px上一点P(x0,y0)处的切线方程是y°y p(x x°).(2)过抛物线y2 2px外一点P(x0,y0)所引两条切线的切点弦方程是y°y p(x x°).(3)抛物线y2 2px(p 0)与直线Ax By C 0相切的条件是pB2 2AC .68 .直线与圆锥曲线相交的弦长公式AB| J(xi x?)2

27、(必y2)2或AB7(1 k2)(x2x5TI xix214ltan2|y1y21&_cot2(弦 端 点一 v kx b 、A(x1, y1), B(x2, y2),由方程洎去y得到ax bx c 0,0,为直线AB的倾F(x,y) 0斜角,k为直线的斜率).69 .证明直线与直线的平行的思考途径(1)转化为判定共面二直线无交点；(2)转化为二直线同与第三条直线平行;(3)转化为线面平行；(4)转化为线面垂直；(5)转化为面面平行.70 .证明直线与平面的平行的思考途径(1)转化为直线与平面无公共点；(2)转化为线线平行；(3)转化为面面平行.71 .证明平面与平面平行的思考途径(1

28、)转化为判定二平面无公共点；(2)转化为线面平行；(3)转化为线面垂直.72 .证明直线与直线的垂直的思考途径(1)转化为相交垂直；(2)转化为线面垂直；(3)转化为线与另一线的射影垂直；(4)转化为线与形成射影的斜线垂直.73 .证明直线与平面垂直的思考途径(1)转化为该直线与平面内任一直线垂直；(2)转化为该直线与平面内相交二直线垂直；(3)转化为该直线与平面的一条垂线平行；(4)转化为该直线垂直于另一个平行平面；(5)转化为该直线与两个垂直平面的交线垂直74 .证明平面与平面的垂直的思考途径(1)转化为判断二面角是直二面角；(2)转化为线面垂直.75 .斜棱柱的直截面已知斜棱柱的侧棱长是

29、l ,侧面积和体积分别是S斜棱柱侧和V斜棱柱，它的直截面的周长和面 积分别是G和& ,则SM棱柱侧c1l .V斜棱柱S1l .76 .作截面的依据三个平面两两相交，有三条交线，则这三条交线交于一点或互相平行77 .棱锥的平行截面的性质如果棱锥被平行于底面的平面所截，那么所得的截面与底面相似，截面面积与底面面积 的比等于顶点到截面距离与棱锥高的平方比(对应角相等，对应边对应成比例的多边形是相 似多边形，相似多边形面积的比等于对应边的比的平方)；相应小棱锥与小棱锥的侧面积的比 等于顶点到截面距离与棱锥高的平方比.78 .柱体、锥体的体积1V柱体-Sh (S是柱体的底面积、h是柱体的图).31V锥体-Sh (S是锥体的底面积、h是锥体的局).79 .分类计数原理（加法原理）N m1m2 L mn.80 .分步计数原理（乘法原理）N m1m2 L mn.81 .排列数公式一 mn!,- .* L、An =n(n 1) (n m 1) =.( n , m C N,且 m n).(n m)!注:规定0 1