微积分课件：无穷小与无穷大

1、 第二章 二、二、 无穷大无穷大 三三 、 无穷小与无穷大的关系无穷小与无穷大的关系 一、一、 无穷小无穷小 第三节机动 目录 上页 下页 返回 结束 无穷小与无穷大当当一、一、 无穷小无穷小定义定义1 . 若若0 xx 时时 , 函数函数,0)(xf则称函数则称函数)(xf0 xx 例如例如 :,0)1(lim1xx函数函数 1x当当1x时为无穷小时为无穷小;,01limxx函数函数 x1x时为无穷小时为无穷小;,0lnlimnnn数列数列 nnln当当n)x(或为为时的时的无穷小无穷小 .时为无穷小时为无穷小.)x(或机动 目录 上页 下页 返回 结束 特别地特别地,以零为极限的数列称为当

2、以零为极限的数列称为当n趋于无穷大时的趋于无穷大时的无穷小无穷小 .说明说明: 除除 0 以外任何以外任何很小的常数很小的常数都都不是无穷小不是无穷小 ! 因为因为0)(lim0 xfxx,0,0当00 xx时, 0)(xf显然显然 C 只能是只能是 0 !CC0 xx 时时 , 函数函数,0)(xf(或 )x则称函数则称函数)(xf为0 xx 定义定义1. 若若(或或 )x则则时的时的无穷小无穷小 .机动 目录 上页 下页 返回 结束 其中其中 为为0 xx 时的无穷小量时的无穷小量 . 定理定理 1 . ( 无穷小与函数极限的关系无穷小与函数极限的关系 )Axfxx)(lim0 Axf)(

3、,证证:Axfxx)(lim0,0,0当00 xx时时, ,有有 Axf)(Axf)(0lim0 xx对自变量的其它变化过程类似可证对自变量的其它变化过程类似可证 .机动 目录 上页 下页 返回 结束 Mxf)(二、二、 无穷大无穷大定义定义2 . 若任给若任给 M 0 ,000 xx一切满足不等式一切满足不等式的的 x , 总有总有则称函数则称函数)(xf当0 xx 时为无穷大时为无穷大, 使对使对.)(lim0 xfxx若在定义中将若在定义中将 式改为式改为Mxf)(则记作则记作)(lim)(0 xfxxx)(lim()(0 xfxxx)(Xx )(x)(lim(xfx(正数正数 X )

4、,记作记作, )(Mxf总存在总存在机动 目录 上页 下页 返回 结束 注意注意:1. 无穷大不是很大的数无穷大不是很大的数, 它是描述函数的一种状态它是描述函数的一种状态.2. 函数为无穷大函数为无穷大 , 必定无界必定无界 . 但反之不真但反之不真 !例如例如, 函数函数),(,cos)(xxxxf)2(nf)(n当n2但0)(2nf所以所以x时时 ,)(xf不是无穷大不是无穷大 !oxyxxycos机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例1 . 证明证明11lim1xx证证: 任给正数任给正数 M , 要使要使,11Mx即即,11Mx只要取只要取,1M则对满足则对满足10 x的一切的一切

5、 x , 有有Mx11所以所以.11lim1xx11xy若若 ,)(lim0 xfxx则直线则直线0 xx 为曲线为曲线)(xfy 的铅直渐近线的铅直渐近线 .渐近线渐近线1说明说明:xyo机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例2 . 证明证明nn2lim证证: 任给正数任给正数 M , 要使要使,2Mn只要只要,2lnlnMn (不妨设不妨设M1) , 只要取只要取,2lnlnMN则当则当 n N 时，有时，有Mn2所以所以.2limnn三、无穷小与无穷大的关系三、无穷小与无穷大的关系若若)(xf为无穷大为无穷大,)(1xf为无穷小为无穷小 ;若若)(xf为无穷小为无穷小, 且且,0)(xf则则)(1xf为无穷大为无穷大.则则据此定理据此定理 , 关于无穷大的问题都可转化为关于无穷大的问题都可转化为 无穷小来讨论无穷小来讨论.定理定理2. 在自变量的同一变化过程中在自变量的同一变化过程中,说明说明:机动 目录 上页 下页 返回 结束 内容小结内容小结1. 无穷小与无穷大的定义无穷小与无穷大的定义2. 无穷小与函数极限的关系无穷小与函数极限的关系Th13. 无穷小与无穷大的关系无穷小与无穷大的关系Th2思考与练习思考与练习根据定义证明根据定义证明:函数函数y=(1+2x)/x为当