第二类曲线积分的计算

1、仅供个人参考For pers onal use only in study and research; not for commercial use第二类曲线积分的计算定义设P(x, y),Q(x,y)为定义在光滑或分段光滑平面有向曲线Lab上的函数,对Lab任一分割T ,它把Lab分成n个小弧段MMj (1,2/ , n)；其中A =M°,B =记各个小弧段MiMi弧长为也s，分割T的细度为|T| = maxg,又II 11岂空设T的分点的坐标为MO ,yj ,并记.'Xi = Xi - x 号=,(i =1, 2, n).在每个小弧段MiMi上任取一点i, i，若极限存在

2、且与分割T与点 , i的取法无关,则称此极限为函数P(x, y) ,Q(x, y)在有 向线段Lab上的第二类曲线积分,记为P(x, y)dx Q(x,y)dy 或 P(x, y)dx Q(x, y)dyLAB也可记作P(x, y)dx Q(x,y)dy 或 P(x, y)dx Q(x,y)dyLLABAB注：(1)若记F x, y = P(x, y),Q(x, y) , ds =：dx,dy则上述记号可写成向量形式: F ds.l(2)倘若L为光滑或分段光滑的空间有向连续曲线，P(x, y,z) ,Q(x, y, z), R(x, y,z)为定义在L上的函数，则可按上述办法定义沿空间 有向曲

3、线L的第二类曲线积分，并记为按照这一定义,有力场F(x, y)二P(x, y) , Q(x, y)沿平面曲线L从点A到点B所作的功为W二AB Pdx Qdy .第二类曲线积分的鲜明特征是曲线的方向性.对二类曲线积分有.AB二-.BA，定积分是第二类曲线积分中当曲线为x轴上的 线段时的特例可类似地考虑空间力场F(x,y,z)二P(x,y,z) , Q(x,y,z) , R(x, y, z)沿空间曲线Lab所作的功.为空间曲 线Lab上的第二类曲线积分ABP(x, y,z)dx Q(x, y,z)dy R(x,y,z)dz.与第一类曲线积分的区别首先要弄清楚两类积分的定义，简单地说，第一类曲线积分

4、就是第二类曲线积分就是n(P(x,y)dx + Q(x,y)dy=lim P(,) 3 +Q(：N)好i id( 1)这两种曲线积分的主要区别就在于，第一型曲线积分的积分中是乘的， 是一小段弧的弧长，总是正值；而第二类曲线积分和积分和中是乘的一段弧的坐标的增量， 与 是可正可负的。当积分的路径反向时，不变，而与 反号，因此第一类曲线积分不变而第二类曲线积分反号，在这一性质上，第二类曲线积分与定积分是一样的。 计算曲线 积分的基本方法是利用的参数方程将其转化成定积分，但两类曲线积分有些不同。设曲线的参数方程为 则第一类曲线积分的计算公式为这里要注意，即对t的定积分中，下限比上限小时才有，也就有，

5、这样才有上述计算公式。这个问题在计算中也要特别注意。沿曲线上的点由A变到B，即t的下限 对应曲线积分的起点A，他的上限 对应曲线积分 的起点A，t的上限对应终点B历年真题1、设曲线，具有一阶连续偏导数，过第二象限内的点M和第四象限内的点N ,为L上从点M到点N的一段弧，则下列小于零的选项是(A)(B)(C)(D)（2007，数一，4分)【解析】,则有题设可知设点，的坐标分别为答案为B。，其中是曲线上从点（2008，数一，9 分）2、计算曲线积分到点 的一段【解析】不得用于商业用途3、设 是柱面与平面的交线，从 轴正方向往 轴负方向看去为逆时针方向，则曲线积分一（2011，数一，4 分）【解析】

6、采用斯托克斯公式直接计算到点 ，再沿圆周（2012，数一，10 分）4、已知是第一象限中从点 沿圆周到点 的曲线段，计算曲线积分【解析】5、已知的方程，起点为终占为，八、y V，计算曲线积分(2015，数一，10分）【解析】曲线L的参数方程为:仅供个人用于学习、研究；不得用于商业用途For personal use only in study and research; not for commercial use.Nur f u r den pers?nlichen f u r Studien, Forschung, zu kommerziellen Zwecken verwendet werden.Pour l ' e tude et la recherche uniquementa des fins personnelles; pasa des fins commerciales.to员bko