2020-2021年河南省南阳市某校高一（上）期末考试数学试卷

1、2020-2021年河南省南阳市某校高一（上）期末考试数学试卷一、选择题 1. 已知集合M=x|0<x<3，N=x|2<x<2，则MN等于(        ) A.x|2<x<0B.x|0<x<2C.x|2<x<3D.x|2<x<3 2. 设P1,2,5是空间直角坐标系中的一点，则点P关于坐标平面yOz的对称点的坐标为(        ) A.1,2,5B.1,2,5C.1,2,5D.1,2,5 3. 已知直线l过

2、点A4,1，Bx,3，若直线l的倾斜角为45，则x的值为(        ) A.8B.8C.0D.4 4. 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为(        ) A.6+42B.4+42C.6+23D.4+23 5. 设l是直线，是两个不同的平面，则下列结论正确的是(        ) A.若l/，l/，则/B.若l/，l，则C.若，l，则lD.若，l/，则l 6. 已知a=5log23.4，b=5log43.6，c=(15)lo

3、g30.3，则（ ） A.a>b>cB.b>a>cC.a>c>bD.c>a>b 7. 已知直线l1：k3x+4ky+1=0与l2：2k3x2y+k3=0平行，则k的值为(        ) A.4B.3C.5D.3或5 8. 已知圆C的方程为：x2+y2+4x6y+4=0，函数f(x)=1+loga(x+4)(a>0且a1）过定点P，则过点P的所有直线中被圆C截得的最短的弦长为(        ) A.1B.2C.5D.4 9. 定

4、义域为R的奇函数fx，满足fx=fx3，当x0,1时，fx=2+log2x，则f52的值为(        ) A.12B.12C.1D.1 10. 函数fx=log3x2ax+3a在区间2,+上是增函数，则a的取值范围是(        ) A.4,4B.(4,4C.4,4D.,42,+ 11. 已知f(x)=ln(x2+1)，g(x)=(12)xm，若对任意x10,3，存在x21,2使得fx1gx2成立，则m的取值范围是(        ) A.14,

5、+)B.12,+)C.(,14D.(,12) 12. 已知正三棱锥PABC，点P，A，B，C都在半径为3的球面上，若PA，PB，PC两两垂直，则球心到平面ABC的距离为(        ) A.36B.33C.233D.3二、填空题  已知集合A=x|ax+1=0，B=x|x22x63=0，若AB，则由实数a组成的集合为_.   在正方体ABCDA1B1C1D1中，异面直线CD1与BD所成角为_.   已知4a=3b=6，则1a+2b=_.   已知函数fx=|log2x|，有fm=fn0<m<

6、;n，若fx在区间m2,n上有最大值4，则4m+n=_. 三、解答题  求过点A2,6且在坐标轴上截距相等的直线l的一般方程   如图，四棱锥PABCD中，底面ABCD是正方形，O是正方形ABCD的中心，PO底面ABCD，E是PC的中点求证： (1)PA/平面BDE； (2)平面PAC平面BDE  已知：圆C：x2+y22y4=0，直线l：mxy+1=m. (1)求证：对于任意mR，直线l与圆C恒有两个不同的交点； (2)若直线l与圆C交于A，B两点，且|AB|=17，求实数m的值  已知函数fx=m3x1+3x是R上的奇函数 (1)求m的值； (2)证

7、明：fx在R上单调递减； (3)若对任意的t0,5，不等式ft2+2t+k+f2t2+2t5>0恒成立，求实数k的取值范围  如图，已知矩形ABCD中，AB=10，BC=6，把ABD沿矩形的对角线BD折起，A移到A1点，使平面A1CD平面BCD (1)求证：BCA1D； (2)求证：平面A1BC平面A1BD； (3)求点C到平面A1BD的距离  已知函数f(2x1)=x，x0,2，将函数y=f(x)的图象先向右平移1个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到函数y=g(x)的图象. (1)分别求函数f(x)与g(x)的解析式； (2)设函数h(x)=g(x)2+mg(x

8、2)，若h(x)有零点，求实数m的取值范围参考答案与试题解析2020-2021年河南省南阳市某校高一（上）期末考试数学试卷一、选择题1.【答案】D【考点】并集及其运算【解析】直接利用集合的并集运算求解即可.【解答】解：因为集合M=x|0<x<3，N=x|2<x<2，所以MN=2<x<3.故选D.2.【答案】B【考点】空间直角坐标系【解析】根据空间点的对称性分别进行判断即可【解答】解：因为点P(a,b,c)与点P关于坐标平面yOz对称，则y，z不变，x相反，所以对称点P(a,b,c)，所以P1,2,5关于坐标平面yOz的对称点的坐标为(1,2,5).故选B.3

9、.【答案】A【考点】直线的倾斜角斜率的计算公式【解析】直接利用两点的斜率公式求解即可.【解答】解：因为直线l过点A4,1，Bx,3，倾斜角为45，所以tan45=1+34x=1，解得x=8.故选A.4.【答案】C【考点】由三视图求表面积【解析】还原几何体，利用棱锥表面积求法求解即可.【解答】解：还原几何体，如图三棱锥C1BCD所示，该三棱锥是棱长为2的正方体的一部分，其中CC1=CB=CD=2，C1D=C1B=BD=22+22=22，所以该几何体的表面积为S=3×12×2×2+12×22×22sin60 =6+23.故选C5.【答案】

10、B【考点】空间中直线与平面之间的位置关系命题的真假判断与应用【解析】在A中，与相交或平行；在B中，l与相交、平行或l；在C中，l与相交、平行或l；在D中，由面面垂直的判定定理得【解答】解：由l是直线，和是两个不同的平面，知：A，若l/，l/，则与相交或平行，故A错误；B，若l/，l，则由面面垂直的判定定理得，故B正确；C，若，l，则l与平行或l，故C错误；D，若，l/，则l与相交、平行或l，故D错误.故选B.6.【答案】C【考点】指数函数单调性的应用【解析】比较大小的方法：找1或者0做中介判断大小，log43.6<1，log23.4>1，利用分数指数幂的运算法则和对数的运算法则对c

11、进行化简，得到c=(15)log30.3=5log3103>1>b，再借助于中间值log2103进行比较大小，从而得到结果，【解答】解： log23.4>1，log43.6<1，又y=5x是增函数， a>b，c=(15)log30.3=5log3103>5log33=51=5log44>5log43.6=b.而log23.4>log2103>log3103， a>c.故a>c>b故选C7.【答案】B【考点】直线的一般式方程与直线的平行关系【解析】由题意分k=3和k30两种情况进行分析即可得到答案.【解答】解：当k3=0，即

12、k=3时，两直线的方程分别为y=1和y=0，显然两直线平行；当k30时，由两直线平行可得k34k=2(k3)2，解得k=5，此时，直线l1，l2重合，不符合题意舍去.综上，k的值是3.故选B.8.【答案】D【考点】直线与圆的位置关系直线与圆相交时的弦长问题对数函数的图象与性质【解析】先利用对数函数的性质求出定点坐标，进而得到当过点P的直线与CP垂直时，截得的弦最短 ，利用弦长公式即可得到答案.【解答】 解：当x=3时，f(3)=1+loga1=1，fx恒过P3,1 ，圆C化为标准方程为x+22+y32=9，其圆心为C2,3 ，半径为r=3，将P3,1代入，可知P在

13、圆内，当过点P的直线与CP垂直时，截得的弦最短 ，最短弦长为2r2CP2=293+22+132=4.故选D.9.【答案】C【考点】函数的求值函数奇偶性的性质函数的周期性【解析】由题意得到函数为周期函数，周期为3，利用函数的周期性和奇偶性得到f52=f(12)=f(12)=(21)=1.【解答】解：定义域为R的奇函数fx，满足fx=fx3，函数为周期函数，周期为3.x0,1时，fx=2+log2x，f52=f12=f12=(21)=1.故选C.10.【答案】B【考点】已知函数的单调性求参数问题【解析】此题暂无解析【解答】解：fx=log3x2ax+3a在2,+上单调递增，x2ax+3a在2,+上

14、单调递增.x2ax+3a=xa22+3aa24, 对称轴为x=a2，a22 ，解得a4. x2ax+3a>42a+3a=4+a>0 ，a>4，a的取值范围是(4,4.故选B.11.【答案】A【考点】函数恒成立问题函数的值域及其求法【解析】先利用函数的单调性求出两个函数的函数值的范围，再比较其最值即可求实数m的取值范围【解答】解：x10,3时，f(x1)0,ln10；x21,2时，g(x2)14m,12m对任意x10,3，存在x21,2使得fx1gx2成立，014m，解得m14故选A12.【答案】B【考点】球内接多面体【解析】先利用正三棱锥的特点，

15、将球的内接三棱锥问题转化为球的内接正方体问题，从而将所求距离转化为正方体中，中心到截面的距离问题，利用等体积法可实现此计算【解答】解： 正三棱锥PABC，PA，PB，PC两两垂直， 此正三棱锥的外接球即以PA，PB，PC为三边的正方体的外接球O.设正方体的边长为a， 球O的半径为3，3a2=(23)2， 正方体的边长a=2，即PA=PB=PC=2.球心到截面ABC的距离即正方体中心到截面ABC的距离，设P到截面ABC的距离为h，则正三棱锥PABC的体积V=13SABCh=13SPABPC=13×12×2×2×2=43.SABC=12×22

16、15;(22×sin60)=23， h=3VSABC=233， 正方体中心O到截面ABC的距离为3233=33.故选B.二、填空题【答案】19,0,17【考点】集合的包含关系判断及应用【解析】根据AB，利用分类讨论思想求解即可【解答】解：由题意，得B=9,7，当a=0时，A=，AB；当a0时，A=1aB，1a=9或1a=7，解得a=19或a=17，综上，实数a的所有可能取值的集合为19,0,17.故答案为：19,0,17【答案】60【考点】异面直线及其所成的角【解析】此题暂无解析【解答】解：如图，异面直线CD1与BD所成角即直线CD1与B1D1所成角，设正方体ABCDA1B1C1D1

17、的边长为1，则CD1=B1D1=B1C=2，所以B1CD1为等边三角形，所以CD1B1=60.故答案为：60.【答案】4【考点】对数的运算性质指数式与对数式的互化【解析】利用对数与指数的互化求出a，b，再利用对数的运算进行求解即可.【解答】解： 4a=3b=6， a=log46，b=log36， 1a+2b=log64+2log63=log64×32=4.故答案为：4.【答案】5【考点】对数函数的单调性与特殊点【解析】此题暂无解析【解答】解：函数f(x)=log2x的图象如图， 得0<m<1<n，所以0<m2<m<1. 因为当m

18、(1,1)时，函数单调递减，所以当x=m2时f(x)在m2,n上取得最大值， 所以fm2=log2m2=4.又因为0<m<1，所以m=14；因为f(m)=f(n)，所以n=4，所以4m+n=5.故答案为：5.三、解答题【答案】解：当直线l在两坐标轴上的截距都等于0时，直线l的方程为y=3x，即3xy=0；当直线l在两坐标轴上的截距都不等于0时，设方程为xa+ya=1，把点A2,6代入xa+ya=1，解得a=8，所以直线l的方程为x+y8=0综上，直线l的一般方程为3xy=0或x+y8=0【考点】直线的截距式方程直线的一般式方程【解析】此题暂无解析【解答】解：当直线l在两坐

19、标轴上的截距都等于0时，直线l的方程为y=3x，即3xy=0；当直线l在两坐标轴上的截距都不等于0时，设方程为xa+ya=1，把点A2,6代入xa+ya=1，解得a=8，所以直线l的方程为x+y8=0综上，直线l的一般方程为3xy=0或x+y8=0【答案】证明：(1)连接OE，如图， O是AC的中点，E是PC的中点， OE/AP.又 OE平面BDE，PA平面BDE， PA/平面BDE                  

20、;                    (2) PO底面ABCD， POBD.又 ACBD，且ACPO=O， BD平面PAC                       

21、;                BD平面BDE， 平面PAC平面BDE【考点】直线与平面平行的判定平面与平面垂直的判定【解析】对（1），通过作平行线的方法，由线线平行来证线面平行对（2），只需证明平面BDE内的一条直线BD垂直于平面PAC内的两条相交直线即可【解答】证明：(1)连接OE，如图， O是AC的中点，E是PC的中点， OE/AP.又 OE平面BDE，PA平面BDE， PA/平面BDE    &#

22、160;                                 (2) PO底面ABCD， POBD.又 ACBD，且ACPO=O， BD平面PAC         &#

23、160;                             BD平面BDE， 平面PAC平面BDE【答案】(1)证明：由x2+y22y4=0得 x2+y12=5，由mxy+1=m得 y=mxm+1，将代入得x2+mxm25=0，整理，得m2+1x22m2x+m25=0，因为=4m44m2+1m

24、25=44m2+5>0，所以直线l与圆C恒有两个不同的交点(2)解：由题意知|AB|=17，r=5，由垂径定理得圆心到直线l的距离为d=r2(|AB|2)2=5174=32 . 所以d=|1+1m|m2+1=32，解得m=±3. 【考点】直线与圆的位置关系点到直线的距离公式【解析】此题暂无解析【解答】(1)证明：由x2+y22y4=0得 x2+y12=5，由mxy+1=m得 y=mxm+1，将代入得x2+mxm25=0，整理，得m2+1x22m2x+m25=0，因为=4m44m2+1m25=44m2+5>0，所以直线l与圆

25、C恒有两个不同的交点(2)解：由题意知|AB|=17，r=5，由垂径定理得圆心到直线l的距离为d=r2(|AB|2)2=5174=32 . 所以d=|1+1m|m2+1=32，解得m=±3. 【答案】(1)解：因为函数fx=m3x1+3x是R上的奇函数，所以其图象必经过原点，所以f0=0，即m12=0，解得m=1(2)证明：由(1)知fx=13x1+3x，任取x1，x2R且x1<x2，则f(x1)f(x2)=13x11+3x113x21+3x2=(13x1)(1+3x2)(1+3x1)(13x2)(1+3x1)(1+3x2)=2(3x23x1)(1

26、+3x1)(1+3x2)，因为x1<x2，所以3x1<3x2，所以3x23x1>0，所以fx1fx2>0，即fx1>fx2，所以fx在R上单调递减(3)解：不等式ft2+2t+k+f2t2+2t5>0可化为ft2+2t+k>f2t2+2t5，因为fx是奇函数，所以ft2+2t+k>f2t22t+5 由(2)知fx在R上单调递减，所以t2+2t+k<2t22t+5，即k<t24t+5，所以对任意的t0,5，不等式k<t24t+5恒成立 . 设gt=t24t+5=t22+1，所以当t0,5时，1gt10所以当k&

27、lt;1时，不等式k<t24t+5恒成立【考点】函数奇偶性的性质函数单调性的判断与证明奇偶性与单调性的综合函数恒成立问题【解析】此题暂无解析【解答】(1)解：因为函数fx=m3x1+3x是R上的奇函数，所以其图象必经过原点，所以f0=0，即m12=0，解得m=1(2)证明：由(1)知fx=13x1+3x，任取x1，x2R且x1<x2，则f(x1)f(x2)=13x11+3x113x21+3x2=(13x1)(1+3x2)(1+3x1)(13x2)(1+3x1)(1+3x2)=2(3x23x1)(1+3x1)(1+3x2)，因为x1<x2，所以3x1<3x2，所以3x23

28、x1>0，所以fx1fx2>0，即fx1>fx2，所以fx在R上单调递减(3)解：不等式ft2+2t+k+f2t2+2t5>0可化为ft2+2t+k>f2t2+2t5，因为fx是奇函数，所以ft2+2t+k>f2t22t+5 由(2)知fx在R上单调递减，所以t2+2t+k<2t22t+5，即k<t24t+5，所以对任意的t0,5，不等式k<t24t+5恒成立 . 设gt=t24t+5=t22+1，所以当t0,5时，1gt10所以当k<1时，不等式k<t24t+5恒成立【答案】(1)证明： 平面A1CD平面B

29、CD，且平面A1CD平面BCD=CD，BC平面BCD，BCCD， BC平面A1CD A1D平面A1CD， BCA1D(2)证明： BCA1D，A1DA1B，BCA1B=B， A1D平面A1BC.又 A1D平面A1BD， 平面A1BC平面A1BD(3)解：过点A1作A1ODC交DC于点O，如图，设C到平面A1BD的距离为h， 平面A1CD平面BCD，交线为CD，A1O平面BCD，又 VCA1BD=VA1DBC， 13SA1BDh=13SDBCA1O在A1BC中，A1B=10，BC=6， A1C=8， A1O=6×810=245又 SA1BD=SDBC， h=245【考点】两条直线垂直的判定平面与平面垂直的判定点、线、面间的距离计算【解析】此题暂无解析【解答】(1)证明： 平面A1CD平面BCD，且平面A1CD平面BCD=CD，BC平面BCD，BCCD， BC平面A1CD A1D平面A1CD， BCA1D(2)证明： BCA1D，