剪切和扭转应力

1、剪切和扭转应力计算剪切和扭转应力计算 81 剪切概念与实例剪切概念与实例82 连接接头的强度计算连接接头的强度计算85 圆轴扭转时应力与变形圆轴扭转时应力与变形86 圆轴扭转时强度和刚度条件圆轴扭转时强度和刚度条件83 扭矩概念与实例扭矩概念与实例84 扭矩计算扭矩计算 扭矩图扭矩图1）受力特点）受力特点杆件两侧作用大小相等，方向相反，作用线相距很近的外力。杆件两侧作用大小相等，方向相反，作用线相距很近的外力。2）变形特点）变形特点 两外力作用线间截面发生错动，由矩形变为平行四边形。两外力作用线间截面发生错动，由矩形变为平行四边形。 构件在这两个平行面间的任一横截面只有剪力作用，产生剪构件在这

2、两个平行面间的任一横截面只有剪力作用，产生剪切变形。切变形。工程上的剪切件工程上的剪切件ff 1、 剪切实用计算剪切实用计算ffnnffff铆接件铆接件fnnfs剪切面剪切面nnfffffffssx, 0; 0fs为剪切面的内力，称为为剪切面的内力，称为。 fffs 设剪切面的剪力沿截面是均匀分布的，则有设剪切面的剪力沿截面是均匀分布的，则有ssaf 为为剪切面的剪应力，剪切面的剪应力，as为剪切面的面积。为剪切面的面积。为为 ssaf 为容许为容许切应力，由材料破坏时的极限剪应力除以安全系数。切应力，由材料破坏时的极限剪应力除以安全系数。2、 挤压实用计算挤压实用计算fbs=ff实际挤压面计

3、算挤压面挤压应力挤压应力bsbsbsaf fbs为挤压力，为挤压力，abs为计算挤压为计算挤压面的面积。面的面积。挤压强度条件挤压强度条件bsbsbsbsaf bs为容许为容许挤压应力，由挤压应力，由 极限挤压应力除以安全系数。极限挤压应力除以安全系数。f实际挤压面计算挤压面fb3、 连接板强度计算连接板强度计算拉压应力拉压应力njfa fn为轴力，为轴力，aj为截面面积。为截面面积。例例1 图示铆接件，图示铆接件，p=100kn，铆钉的直径铆钉的直径d=16mm，容许剪容许剪应力应力 =140mpa，容许挤压容许挤压应力应力 bs=200mpa；板的厚度板的厚度t=10mm ，b=100mm

4、，容许正容许正应力应力 =170mpa，试校核试校核铆铆接件的强度。接件的强度。ppdttppb 铆钉（或螺栓）连接件要安全工作，铆钉即要满足铆钉（或螺栓）连接件要安全工作，铆钉即要满足，又要满足，又要满足，同时板还要满足，同时板还要满足。ppdttfbf/4f/4f/4f/4f/43f/4f 上板受力图上板受力图上板轴力图上板轴力图f/4f/4铆钉受力图铆钉受力图 多铆钉连接件，为计算方便，各铆钉受力可视作相同。多铆钉连接件，为计算方便，各铆钉受力可视作相同。铆钉剪应力铆钉剪应力12416101004/4/232mpadfafssf/4f/4铆钉挤压应力铆钉挤压应力1561016410100

5、4/3bsbsbsbsmpadtfaf铆钉满足强度条件，安全。铆钉满足强度条件，安全。fbf/4f/4f/4f/4f/43f/4f 上板受力图上板受力图上板轴力图上板轴力图112233bbddd22截面截面33截面截面tmpatdbpafn11010681075)2(4/332222mpatdbpafn119108410100)(33333 33max板也满足拉压强度条件，铆接件安全。板也满足拉压强度条件，铆接件安全。例例2已知图示圆梯形杆已知图示圆梯形杆d=32mm，d=20mm，h=12mm，材材料的料的 =100mpa， bs=200mpa。受拉力受拉力f =50kn 作用，试作用，试校

6、核此杆的强度校核此杆的强度 。ddhff剪切面剪切面挤压面挤压面挤压面挤压面剪切面剪切面fdh解：解：fffjys剪切面面积：剪切面面积：dhas挤压面面积：挤压面面积：)(422ddabs mpadhpafss3 .66122010503bsbsbsbsmpaddpap102)2032(10504)(422322此杆安全。此杆安全。2.实验后：实验后：圆周线不变；圆周线不变；各纵向线长度不变，但均倾斜了同一微小角度各纵向线长度不变，但均倾斜了同一微小角度 。 纵向线变成螺旋线。纵向线变成螺旋线。3.结果：结果：圆筒表面各圆周线的形状、大小和间距均未改圆筒表面各圆周线的形状、大小和间距均未改

7、变，只是绕变，只是绕轴线作了相对转动。圆周线实际代表一个横截面，此结果表轴线作了相对转动。圆周线实际代表一个横截面，此结果表明横截面仍保持平面，且大小、形状不变，满足明横截面仍保持平面，且大小、形状不变，满足。所有矩形网格均歪斜成同样大小的平行四边形。所有矩形网格均歪斜成同样大小的平行四边形。一、实验：一、实验：1.实验前：实验前：绘纵向线，圆周线；绘纵向线，圆周线；两端施加一对外力偶两端施加一对外力偶 m。acddxb dy tz二、切应力互等定理：二、切应力互等定理： 0zmt dxdyt dxdy 这就是这就是：在单元体相互垂直的两个截面：在单元体相互垂直的两个截面上，切应力必然成对出现

8、，且数值相等，两者都垂直于两平上，切应力必然成对出现，且数值相等，两者都垂直于两平面的交线，其方向或共同指向交线，或共同背离交线。面的交线，其方向或共同指向交线，或共同背离交线。 单元体的四个侧面上只有切应力而无正应力作用，这单元体的四个侧面上只有切应力而无正应力作用，这种应力状态称为种应力状态称为。剪切虎克定律：剪切虎克定律： acddxb dy tz 单元体单元体ab 的倾角的倾角 称为称为，切应变是切应变是单元体直角的改变量。实单元体直角的改变量。实验表明，在弹性范围内，切应力与验表明，在弹性范围内，切应力与切应变成正比，即切应变成正比，即g这就是这就是，比例常数，比例常数g 称为称为。

9、 剪切弹性模量剪切弹性模量g 、与弹性模量与弹性模量e 和泊松比和泊松比 一样，都一样，都是是表征材料力学性质的材料常数。对于各向同性材料，这三表征材料力学性质的材料常数。对于各向同性材料，这三个材料常数并不是独立的，它们存在如下关系。个材料常数并不是独立的，它们存在如下关系。)1 (2eg四、等直圆杆扭转横截面上的切应力四、等直圆杆扭转横截面上的切应力rdxdx1o2o2o1oaabbcddcabdcbcccbd 变形的几何条件变形的几何条件横截面上横截面上b 点的切应变：点的切应变：dxddxbbdxd其中其中 为单位长度杆两端面相对扭转角，称为单位长度杆两端面相对扭转角，称b 物理条件物

10、理条件横截面上横截面上b 点的切应力：点的切应力：gg 静力条件静力条件paaaigagagatd d d22pgit o2dadabt其中其中 称为截面对圆心的称为截面对圆心的。apdai2pit于是得横截面上任一点的切应力为于是得横截面上任一点的切应力为ip截面对圆心的极惯性矩，纯几何量，无物理意截面对圆心的极惯性矩，纯几何量，无物理意义。义。式中：式中：t横截面上的扭矩，由截面法通过外力偶矩求得；横截面上的扭矩，由截面法通过外力偶矩求得； 求应力那点到圆心的距离；求应力那点到圆心的距离；dd环形截面：环形截面：)(3244ddip极惯性矩的单位极惯性矩的单位：m432 d2 d42022

11、daidapddo 极惯性矩极惯性矩 同一截面，扭矩同一截面，扭矩t ，极惯性矩极惯性矩ip 为常量，因此各点切应为常量，因此各点切应力力 的大小与该点到圆心的距离的大小与该点到圆心的距离 成正比，方向垂直于圆的成正比，方向垂直于圆的半径，且与扭矩的转向一致。半径，且与扭矩的转向一致。tt max max实心圆截面切应力分布图实心圆截面切应力分布图空心圆截面切应力分布图空心圆截面切应力分布图最大切应力在外圆处。最大切应力在外圆处。 最大切应力最大切应力maxmaxpit令：令：)1 (16164433ddddwt,maxptiw wt 称为称为，单位：，单位：m3twtmax实心圆截面实心圆截

12、面空心圆截面空心圆截面五、扭转时的变形五、扭转时的变形pgitx dd d 0lpxgit 当当t 、gip 为常量时，长为为常量时，长为l 一一段杆两端面相对扭转角为段杆两端面相对扭转角为pgitl其中其中gip 表示杆件抵抗扭转变形的能力，称为表示杆件抵抗扭转变形的能力，称为。例例6已知空心圆截面的扭矩已知空心圆截面的扭矩t =1kn.m，d =40mm，d=20mm，求最大、最小切应力。求最大、最小切应力。ddt max min解：解：mpadddtwtt9 .84)(1 4100016)1 (164213443maxmpadd45.42219 .84maxmin例例7 图示圆杆图示圆杆

13、bc 段为空心，已知段为空心，已知 d =50mm，d=25mm； a =250mm，b =150mm；g=80gpa；试求该杆的最大切应力试求该杆的最大切应力和自由端的扭转角和自由端的扭转角。abcaabb d d0.5kn.m0.3kn.m 0.8kn.m11223344解：本题应分解：本题应分4段考虑。段考虑。32421diipp)(324443ddiipp16321dwwtt)1 (1644343dddwwttabcaabb d d0.5kn.m0.3kn.m 0.8kn.m0.8kn.m0.5kn.m1kn.m11223344mpadtwtp74.40510001616331111m

14、padtwtp76.34)5 . 01 (580016)1 (1643434444mpa74.401maxabcaabb d d0.5kn.m0.3kn.m 0.8kn.m0.8kn.m0.5kn.m1kn.m1122334472. 00126. 0)(151632)1 (32)1 (32323242214444442424144332211radatbtbtatdgdgatdgbtdgbtdgatgiatgibtgibtgiatpppp一一.强度条件：强度条件：maxtwt其中容许切应力其中容许切应力 是由扭转时材料的极限是由扭转时材料的极限切应力除以安全系切应力除以安全系数得到。数得到。(

15、rad/m) dd pgitx 二、刚度条件二、刚度条件 (rad/m) maxpgit /m)( 180 maxpgit 称为称为。若。若单位扭转角给的是单位扭转角给的是 ，则上式改写为则上式改写为m/例例8图示圆轴，已知图示圆轴，已知ma =1kn.m， mb =3kn.m， mc =2kn.m；l1 =0.7m，l2 =0.3m； =60mpa， =0.3/m，g=80gpa；试选择该轴的直径试选择该轴的直径。abcmamb mc l1l22kn.m1kn.m 解：解： 按强度条件按强度条件 3maxmax16dmwtct mmmdc4 .55101060200016163363abcm

16、amb mc l1l22kn.m1kn.m 按刚度条件按刚度条件 /m)( 180 maxpgit 18032max4gtdip mmgtd5 .83103 . 0108018020003218032342942max该圆轴直径应选择：该圆轴直径应选择：d =83.5mm.例例9 图示圆轴，已知图示圆轴，已知ma =1.4kn.m， mb =0.6kn.m， mc =0.8kn.m；d1 =40mm，d2 =70mm； l1 =0.2m，l2 =0.4m； =60mpa， =1/m，g=80gpa；试校核该轴的强度和试校核该轴的强度和刚度，并计算两端面的相对扭转角刚度，并计算两端面的相对扭转角

17、。abcmamb mc l1l20.6kn.m0.8kn.m 解：解： 按强度按强度核该核该 mpadmwtbt7 .4746001616331111d1d2abcmamb mc l1l20.6kn.m0.8kn.m mpadmwtct9 .1178001616332222d1d2满足强度条件。满足强度条件。按刚度按刚度核该核该mgitp/71. 118010401080600321801249111mgitp/24. 018010701080800321801249222abcmamb mc l1l20.6kn.m0.8kn.m d1d2 m/71. 11max此轴不满足刚度条件。此轴不满足刚度条件。)(324111422211122212dltdltggiltgiltppcb245. 0180101)402 . 0600704 . 0800(10803212449cb例例10 长为长为 l =2m 的圆杆受均布力偶的圆杆受均布力偶 m=20nm/m 的作用，如的作用，如图，若杆的内外径之比为图，若杆的内外径之比为 =0.8 ，g=80gpa ，许用切应许用切应力力 =30mpa，试设计杆的外径；试设计杆的外径； =2/m ，试校核此杆试校核此杆的刚度，并求右