第五章弯曲应力材料力学课件

1、15 5 引言引言1、弯曲构件横截面上的（内力）应力、弯曲构件横截面上的（内力）应力内力剪力q 剪应力t t弯矩m 正应力s s 某段梁的内力既有弯矩也有剪力时，该段梁的变形称为横力横力 弯曲弯曲。如ac、bd段。qxmx2、纯弯曲、纯弯曲(pure bending): 某段梁的内力只有弯矩没有剪力时，该段梁的变形称为纯弯曲纯弯曲。如ab段。、横力弯曲、横力弯曲:ppaaabdc2、研究方法、研究方法平面弯曲时横截面s 纯弯曲梁平面弯曲时横截面t 横力弯曲链接变形演示链接变形演示5 52 2 纯纯弯曲时梁横截面上的正应力弯曲时梁横截面上的正应力1.梁的纯弯曲实验 横向线(a b、c d）变形后

2、仍为直线，但有转动；纵向线变为曲线，且上缩下伸；横向线与纵向线变形后仍正交。一、变形几何关系：一、变形几何关系：中性层中性层纵向对称面纵向对称面中性轴中性轴bdacabcdmm横截面上只有正应力。平面假设：横截面变形后仍为平面，只是绕中性轴发生转动，距中性轴等高处，变形相等。（可由对称性及无限分割法证明）3.推论2.两个概念中性层：梁内一层纤维既不伸长也不缩短，因而纤维不受拉应力和压应力，此层纤维称中性层。中性轴：中性层与横截面的交线。a1b1o1o4. 几何关系：(1) . yx abcdabdq q xy11111oobaababbax) ) ) )oo1) )qqqyyddd)( 二、物

3、理关系：二、物理关系：假设：纵向纤维互不挤压。于是，任意一点均处于单项应 力状态。(2) . seyexxs sxs sx三、静力关系：三、静力关系：0dddszaaaxesayeaeyan 0zs结论：中性轴过截面形心结论：中性轴过截面形心0dd)d(syzaaayeiayzeaeyzzam（对称面）（对称面）meiayeaeyyamzaaazsdd)d(22zzeim1 (3)eiz 杆的抗弯刚度。杆的抗弯刚度。(4) . zxim y s s 轴惯性矩 d2azayi105 53 3 横力横力弯曲时梁横截面上的正应力弯曲时梁横截面上的正应力一、正应力近似公式：一、正应力近似公式：(4)

4、. zxim y s s二、横截面上最大正应力：二、横截面上最大正应力：zwmmaxs (5)maxyi wzz 抗弯截面模量。抗弯截面模量。11d64 4diz圆三、常见截面的三、常见截面的iz和和wz：dddda)1 (64 44adiz空心圆323maxdyiwzz)1 (32 43maxadyiwzzbbhh1212 33bhbhiz回字框三、常见截面的三、常见截面的iz和和wz：bh12 3bhiz矩形6 2maxbhyiwzz)1 (6 332maxbhbhbhyiwzz13四、轴惯性矩的平行移轴定理四、轴惯性矩的平行移轴定理：（与转动惯量的移轴定理类似）ccybyxax以形心为原

5、点，建立与原坐标轴平行的坐标轴如图0cxcyasabbsiabbyyabyayixcxccacacax222222 d)2( d)( dabiixcx2daxyyxabcxcyc注意注意: c点必须为形心点必须为形心aaiiycy2例例1 受均布载荷作用的简支梁如图所示，试求：（1）11截面上1、2两点的正应力；（2）此截面上的最大正应力；（3）全梁的最大正应力；（4）已知e=200gpa，求11截面的曲率半径。q=60kn/mab1m2m11+xm82qlm1mmax12120180zy解：画m图求截面弯矩knm60)22(121xqxqlxm30q=60kn/mab1m2m11m1mmax

6、12120zyknm5 .678/3608/22max qlm451233m10832. 5101218012012bhiz34m1048. 62/zziw压应力）( mpa7 .6110832. 56060 5121ziymss求应力18030+xm82qlmpa6 .921048. 66041max1zwmsm4 .1941060832. 520011meizmpa2 .1041048. 65 .674maxmaxzwms求曲率半径q=60kn/mab1m2m11m1mmax1212018030+xm82ql171 1、危险面与危险点分析：、危险面与危险点分析：一般截面，最大正应力发生在弯

7、矩绝对值最大的截面的上下边缘上。s ss ss sm五、梁的正应力强度条件五、梁的正应力强度条件2 2、正应力强度条件：、正应力强度条件： s ss s zwmmaxmax18、校核强度：校核强度：设计截面尺寸：设计载荷：maxssmaxsmwz)( ;maxmaxmfpwmzs3 3、强度条件应用：依此强度准则可进行三种强度计算：、强度条件应用：依此强度准则可进行三种强度计算：19y1y2ga1a2a3a4解：画弯矩图并求危面内力例例 t 字形截面的铸铁梁受力如图，铸铁的sl=30mpa，sy=60 mpa，其截面形心位于c点，y1=52mm， y2=88mm，iz=763cm4 ，试校核此

8、梁的强度。并说明t字梁怎样放置更合理？kn5 .10;kn5 . 2barr)(knm5 . 2下拉、上压cm（上拉、下压）knm4bm4画危面应力分布图，找危险点p1=9kn1m1m1mp2=4knabcdx2.5knm-4knmm20校核强度mpa2 .2810763885 . 2822zclaiymsmpa2 .2710763524813zblaiymsmpa2 .4610763884824zbyaiymsllmpass2 .28maxyympass2 .46maxt字头在上面合理。y1y2ga1a2y1y2ga3a4x2.5knm-4knmma3a4所以，梁的正应力强度足够。5 54

9、4 梁横截面上的剪应力梁横截面上的剪应力一、一、 矩形截面矩形截面梁横截面上的剪应力梁横截面上的剪应力1、两点假设： 剪应力与剪力平行；矩中性轴等距离处，剪应力 相等。2、研究方法：分离体平衡。0)(112dxbnnxtdxxq(x)+d q(x)m(x)ym(x)+d m(x)q(x)dxs sxyzs s1 1t t1 1t tb图图a图图b图图c 在微段上取一块如图c，平衡 在梁上取微段如图b；dxxq(x)+d q(x)m(x)ym(x)+d m(x)q(x)dxs sxyzs s1 1t t1 1t tb图图a图图b图图czzazaimsayimandd1szzismmn)d(2zz

10、zzbiqsbisxmdd1t由剪应力互等由剪应力互等zbiqsy1)(ttt)4(2)2(2222yhbyhbyhayscztt5 . 123maxaq)4(222yhiqz矩tqt t方向：与横截面上剪力方向相同；t t大小：沿截面宽度均匀分布，沿高度h分布为抛物线。最大剪应力为平均剪应力的1.5倍。24二、其它截面梁二、其它截面梁横截面上的剪应力横截面上的剪应力1、研究方法与矩形截面同;剪应力的计算公式亦为：zzbiqs1t其中q为截面剪力；sz 为y点以下的面积对中性轴之静矩；iz为整个截面对z轴之惯性矩；b 为y点处截面宽度。2、几种常见截面的最大弯曲剪应力 工字钢截面：工字钢截面：

11、maxtmint; maxa qt tf结论：结论： 翼缘部分tmax腹板上的tmax，只计算腹板上的tmax。 铅垂剪应力主要腹板承受（9597%），且tmax tmin 故工字钢最大剪应力af 腹板的面积。; maxa qt tf圆截面：tt3434maxaq 薄壁圆环：tt22maxaq1 1、危险面与危险点分析：、危险面与危险点分析：一般截面，最大剪应力发生在剪力绝对值最大的截面的中性轴处。qt tt t三、梁的剪应力强度条件三、梁的剪应力强度条件2 2、剪应力强度条件：、剪应力强度条件：带翼缘的薄壁截面，最大正应力与最大剪应力的情况与上述相同；还有一个可能危险的点，在q和m均很大的截

12、面的腹、翼相交处。 t tt t zzibsqmaxmaxmax3 3、强度条件应用：依此强度准则可进行三种强度计算：、强度条件应用：依此强度准则可进行三种强度计算：s smqt tt ts s4 4、需要校核剪应力的几种特殊情况：、需要校核剪应力的几种特殊情况：铆接或焊接的组合截面，其腹板的厚度与高度比小于型钢的相应比值时，要校核剪应力。梁的跨度较短或载荷靠近支座 ，m 较小，而q较大时，要校核剪应力。各向异性材料（如木材）的抗剪能力较差，要校核剪应力。、校核强度：校核强度：设计截面尺寸：设计载荷：maxtt解：画内力图求危面内力例例 矩形(bh=0.12m0.18m）截面木梁如图，s=7m

13、pa，t=0. 9 m pa，试求最大正应力和最大剪应力之比,并校核梁的强度。n54002336002maxqlqnm4050833600822maxqlmq=3.6kn/mxm+82qlabl=3mq2ql2ql+x求最大应力并校核强度应力之比7 .1632maxmaxmaxhlqawmztsq=3.6kn/mq2ql2ql+x7mpa6.25mpa 18. 012. 040506622maxmaxmaxssbhmwmz0.9mpa0.375mpa 18. 012. 054005 . 15 . 1maxmaxttaqxm+82ql所以，梁的正应力和剪应力强度足够。31一、合理布置外力（包括支

14、座），使一、合理布置外力（包括支座），使 m max 尽可能小。尽可能小。pl/2l/2mx+pl/4pl/43l/4mx3pl/165 55 5 提高提高梁的弯曲强度的措施梁的弯曲强度的措施32mx82qlqll/5ql/5402ql502ql mxp=qll/54l/5对称mxql2/10二、梁的合理截面二、梁的合理截面1 1、矩形木梁的合理高宽比、矩形木梁的合理高宽比r北宋李诫于1100年著营造法式 一书中指出:矩形木梁的合理高宽比 ( h/b = ) 1.5英(t.young)于1807年著自然哲学与机械技术讲义 一书中指出:矩形木梁的合理高宽比 为强强度度最最大大。时时, 2bhbh

15、aq3433. 1mmaxtt 3231dwz13221.18 6)(6zzwrbhwmmax5 . 1tt)2/( ;,41221 draad时当强度：正应力：剪应力：2 2、在面积相等的情况下，选择抗弯模量大的截面、在面积相等的情况下，选择抗弯模量大的截面 sszwm ttzzbiqs* 其它材料与其它截面形状梁的合理截面zdzaamtt2max143375. 2 )0.8-(132zzwdw1222167. 1,4)8 . 0(4 ddddd时当1121212,24 daad时当1312467. 1 646zzwabhwmtt5 . 1maxzd0.8da12a1z)(= 3 . 2mmaxfaqtt工字形截面与框形截面类似。1557. 4zzww1222222105. 1,6 . 18 . 024 daa