第12章无穷级数

1、辽宁科技学院教案课题名称第一节 常数项级数的概念与性质课次第（ ）次课课时2课型理论（）；实验（）；实习（）；、实务（）；习题课（）；讨论（）；其他（）教学目标1.理解常数项级数收敛、发散及其收敛级数和的概念； 2.掌握级数的基本性质及收敛的必要条件； 3.掌握几何级数的收敛性及求和公式。重点、难点及解决方法重点：收敛和发散的定义难点：根据定义判定级数的敛散性；收敛的必要条件。教学基本内容与教学设计一、问题的提出引例：求圆的面积圆内接正六边形的面积圆内接正十二边形的面积圆内接正二十四边形的面积圆内接正边形的面积称和式为无穷级数。二、常数项级数的概念定义1 数列构成的和式称为常数项无穷级数，简称

2、级数，记为，称为一般项。定义2 由级数得：，称为级数的第n次部分和；无穷数列称为级数的部分和数列，记为。定义3 若，则称级数收敛，和为s，记为； 若不存在，则称级数发散。例1 判定几何级数为公比）的收敛性。解 时， 时， 时， 时，级数为 不存在故：时，几何级数发散；时，几何级数收敛，和。补例1 由几何级数判定下列级数的收敛性（1）（2）（3）解 （1）这是公比的几何级数，故收敛 （2）公比，故级数发散 （3）公比，故收敛。例3 判断级数的敛散性。解：sn=(1-)+(-)+(-)=1-，=1，则级数收敛于1。补例2 判断级数的敛散性。解：，则级数发散。三、无穷级数的性质性质1 若收敛于s，则

3、收敛于，即推论 与的收敛性相同。性质2 若，分别收敛于，则收敛于，即性质3 级数去掉、加上、改变有限项收敛性不变。性质4 收敛级数任意加 括号仍收敛，且和不变。推论 若加括号后发散，则必发散。四、级数收敛的必要条件若收敛，则证明 设 则注 只是收敛的必要条件，当时，不一定收敛，如调和级数。补例2证明：调和级数发散证明 即 故调和级数发散。推论 若，则发散。补例3 由性质判定下列级数的收敛性（1）（2）（3）（4）解 （1），故级数发散； （2）均收敛，故原级数收敛； （3）该级数是调和级数去掉前三项所得，故发散； （4）收敛，故原级数收敛。思考：若收敛，问（1）（2）（3）是否收敛？教学方法讲

4、授教学手段板书示教课外学习安排作业： 参考资料高等数学附册学习辅导与习题选解，同济大学数学系编，高等教育出版社，2007年第六版学习效果评测作业批改课外学习指导安排课后答疑教学后记辽宁科技学院教案课题名称第二节 常数项级数审敛法课次第（ ）次课课时2课型理论（）；实验（）；实习（）；、实务（）；习题课（）；讨论（）；其他（）教学目标1.了解正项级数收敛的充要条件； 2.会用正项级数的比较审敛法和根值审敛法； 3.掌握正项级数的比值审敛法； 4.掌握p级数的收敛性。重点、难点及解决方法重点：比值审敛法 难点：比较审敛法教学基本内容与教学设计定义 若则称为正项级数性质 （1）正项级数的部分和数列单

5、调递增，即 （2）正项级数收敛的充要条件是部分和数列有界证明 （1） （2）若收敛，则收敛，故有界； 若有界，又单调递增，故收敛，从而收敛。正项级数审敛法一、比较法定理1（比较审敛法）均为正项级，且若收敛，则收敛；若发散，则发散。证明 设级数收敛于和，则级数的部分和 即部分和数列有界，故级数收敛； 反之，设发散，若收敛，由上面已证明的结论将有收敛，与假设矛盾，故若发散，则发散。推论 均为正项级数，且若收敛，则收敛；若发散，则发散。例1 讨论级数的收敛性，其中常数解 设，则，调和级数发散，故由比较法知，当时，级数发散； 设，可证部分和 即数列有界，故当时，级数收敛。比较法的步骤：（1）选取参照级

6、数（2）推测收敛性（3）证明结论例2判定下列级数的收敛性（1） （2） （3） （4）解 （1），又收敛，故原级数收敛 （2），又发散，故原级数发散 （3），又收敛，故原级数收敛 （4），又发散，故原级数发散定理2 （比较法的极限形式）均为正项级，（1）若为正数，则的收敛性相同；（2）若，则当收敛时，必有收敛；（3）若，则当发散时，必有发散。例3 由比较法的极限形式，判定下列级数的收敛性（1） （2）解 （1） 又发散，故原级数发散 （2） 所以取参照级数为 因为，又级数收敛，故原级数收敛二、比值法定理3 为正项级数，（1）若，则收敛；（2）若，则发散；（3）若，则可能收敛可能发散。例4 由比

7、值法判定下列级数的收敛性（1） （2）解 （1），故级数发散 （2），故级数收敛例5 证明 证明 设，只须证正项级数收敛 因为 又 所以由比值法知收敛，故收敛 由收敛的必要条件可知三、根值法定理4 为正项级数，（1）若，则收敛；（2）若，则发散；（3）若，则可能收敛可能发散。例6 判定级数的收敛性解 ，故级数收敛教学方法讲授教学手段板书示教课外学习安排作业： 参考资料高等数学附册学习辅导与习题选解，同济大学数学系编，高等教育出版社，2007年第六版学习效果评测作业批改课外学习指导安排课后答疑教学后记辽宁科技学院教案课题名称第三节 幂级数课次第（ ）次课课时2课型理论（）；实验（）；实习（）；、

8、实务（）；习题课（）；讨论（）；其他（）教学目标了解函数项级数的收敛域及和函数的概念； 掌握幂级数的收敛半径、收敛域的求法； 了解幂级数在收敛区间内的基本性质，会求幂级数的和函数。重点、难点及解决方法幂级数的收敛半径、收敛域的求法教学基本内容与教学设计一、函数项级数的概念定义1.是定义在区间上的函数列，称和式为定义在区间上的（函数项）级数，记为定义2.若，常数项级数收敛，则称为函数项级数的收敛点； 若，常数项级数发散，则称为函数项级数的发散点； 的收敛点（发散点）的全体称为的收敛域（发散域）。定义3.在收敛域上，函数项级数的和是关于的函数，称之为和函数。即在收敛域上，例求函数项级数的收敛域及和

9、函数。二、幂级数及其收敛域定义4.函数项级数称为关于的幂级数，记为；（收敛）函数项级数称为关于的幂级数，记为。定理1.(Abell定理)如果幂级数当时收敛，则时，绝对收敛；如果当时发散，则时，发散。推论 如果幂级数不是仅在一点收敛，也不是在整个数轴上都收敛，则必有一个正数，使得当时，幂级数绝对收敛；当时，幂级数发散；当时，幂级数可能收敛可能发散。定义5.正数称为幂级数的收敛半径；区间称为幂级数的收敛区间。注：（1）若仅在一点收敛，则规定收敛半径，这时收敛域为点 （2）若在整个数轴上都收敛，则规定收敛半径，这时收敛域为区间； （3）若收敛半径，则收敛域为。收敛半径的求法：公式法、比值法定理2.

10、如果满足，则收敛半径例1、补例1、例5求下列级数的收敛域（1） （2） （3）解： 因=1，则R=1。当x=-1时级数发散；当x=1时级数收敛，故收敛区间为(-1, 1。=，当|x|<时级数收敛，当|x|>时级数发散，则R=。x=±时级数均发散，故收敛区间为(-,)。 设t=x-1，级数可改写为，因=，则R=2。当t=-2时级数收敛，当t=2时级数发散，故收敛区间为-1,3。例2求幂级数的收敛区间。三、幂级数的运算加减运算：的收敛半径分别为，则和函数的性质：性质1幂级数的和函数在其收敛域上连续。性质2幂级数的和函数在其收敛区间上可积，并有逐项积分公式 （收敛半径不变）性质

11、3幂级数的和函数在其收敛区间上可导，并且有逐项求导公式 （收敛半径不变）例6 求的和函数。解：设s(x)=，则有xs(x)=，逐项求导得：xs(x)'=(-1<x<1)，两端同时积分得：xs(x)=-ln(1-x)，显然s(0)=1，则s(x)=，由和函数的连续性知，s(x)在(-1, 1)内连续。补例2 求幂级数的和函数。解：设s(x)=，逐项积分得：=(-1<x<1)，两端同时求导得：s(x)=(-1<x<1)。教学方法讲授教学手段板书示教课外学习安排作业： 参考资料高等数学附册学习辅导与习题选解，同济大学数学系编，高等教育出版社，2007年第六

12、版学习效果评测作业批改课外学习指导安排课后答疑教学后记辽宁科技学院教案课题名称第四节 函数展开成幂级数课次第（ ）次课课时2课型理论（）；实验（）；实习（）；、实务（）；习题课（）；讨论（）；其他（）教学目标1了解函数展开成泰勒级数的充分必要条件； 2掌握的麦克劳林展开式； 3会用间接法将一些简单函数展开成幂级数。重点、难点及解决方法间接法将函数展开成幂级数教学基本内容与教学设计引言由上节知：即：函数在区间内可以展开成幂级数问题：（1）函数在什么条件下可以展开成幂级数； （2）如果能展开，展开式是否唯一？一、泰勒级数定义若在点的某邻域内任意阶可导，则称级数为的泰勒级数。当时，得，称该级数为的麦克劳林级数。定理1.设函数在点的某邻域内任意阶可导，则在该邻域内能展开成泰勒级数的充要条件是的泰勒公式中的余项满足： 证明推论设函数在点的某邻域内任意阶可导，则在该邻域内能展开成麦克劳林级数充要条件是：。定理2.若能展开成的幂级数，即，则（幂级数展开式是唯一的）二、直接法将函数展开成幂级数步骤：（1）求； （2）求； （3）写出麦克劳林级数，并求收敛域； （4）在收敛域内，求若，则例1将展开成的幂级数。解同理： 当时，有三、间接法将函数展开成幂级数根据幂级数展开式的唯