微积分授课课件：10-4第二型曲面积分

1、 哈尔滨工程大学 高高 等等 数数 学学 2000- 2000- 世界数学年世界数学年 数学是理解世界的数学是理解世界的一把主要钥匙一把主要钥匙. - -里约热内卢宣言里约热内卢宣言 哈尔滨工程大学 高高 等等 数数 学学第四节第四节 第二型曲面积分第二型曲面积分曲面分曲面分上上侧和侧和下下侧侧曲面分曲面分内内侧和侧和外外侧侧一般的曲面都有两侧一般的曲面都有两侧(如图如图), 那么那么, 如何来说明曲面的侧呢？如何来说明曲面的侧呢？(假设曲面是光滑的假设曲面是光滑的)曲面上曲面上法向量的指向法向量的指向决定了曲面的决定了曲面的侧侧.取定了法向量亦即选定了取定了法向量亦即选定了侧侧的曲面称为的曲

2、面称为有向曲面有向曲面.nnnn一、有向曲面一、有向曲面 哈尔滨工程大学 高高 等等 数数 学学二、第二型曲面积分的概念与性质二、第二型曲面积分的概念与性质实例：实例：流体流过有向曲面的流量流体流过有向曲面的流量.(1)Svn S)(为为单单位位法法向向量量设设n. , 的的流流量量时时间间内内流流体体流流过过求求在在单单位位、有有向向平平面面区区域域为为流流速速场场为为常常向向量量SSv cos| vS流量流量Snv)( 哈尔滨工程大学 高高 等等 数数 学学xyzO nvM (2)(2) 设稳定流动的不可压缩的流体设稳定流动的不可压缩的流体(假定密度为假定密度为1)在在.),( ),( 的

3、的流流量量过过求求在在单单位位时时间间内内流流体体流流处处的的稳稳定定流流速速为为上上的的任任意意点点有有向向光光滑滑曲曲面面MvzyxM)( dSdS 面面积积也也为为微微元元上上任任取取一一利利用用微微元元法法，在在 . dSnv 于是流量于是流量).),( zyxdSnvd)( ,)1(流量的微元流量的微元的流量的流量流过流过的结论知的结论知又又dS.,的的三三元元函函数数为为被被积积函函数数上上的的第第一一型型曲曲面面积积分分这这是是曲曲面面zyxnv dS, nM点处的单位法向量为点处的单位法向量为设设).(MvM点处的流速为点处的流速为 哈尔滨工程大学 高高 等等 数数 学学,),

4、(),(),( kzyxRjzyxQizyxPv 若若dSRQPdSnv )coscoscos( 则则, cos cos coskjin .coscoscos dSRdSQdSPdxdyyxzyxRdxdyzzzzyxzyxRdSzyxRznzyxDyxyxzzxyxyDyxDyxxy ),(,( 111),(,( cos),( , ),( , ),),( ),( :2222 则则轴的夹角为锐角轴的夹角为锐角与与处的单位法向处的单位法向即动点即动点方向为上侧方向为上侧为为若若注意注意 哈尔滨工程大学 高高 等等 数数 学学 .),(,( ),( ),(,( ),( ),( ),( ,cos),

5、(),( , ),(dxdyyxzyxRdxdyzyxRdxdyyxzyxRdxdyzyxRDyxyxzzzAdSzyxRdxdyzyxRyxAzyxRXYxyxyADDxy 下下上上，时时为为当当夹夹角角；轴轴正正向向的的侧侧动动点点处处的的单单位位法法向向与与为为曲曲面面这这里里的的曲曲面面积积分分侧侧对对坐坐标标的的在在曲曲面面型型第第二二型型曲曲面面积积分分： 哈尔滨工程大学 高高 等等 数数 学学 ),(,( ),( ),(,( ),( ),( ),( ,cos),(),( , ),( :dzdxzxzyxQdxdyzyxQdzdxzxzyxQdzdxzyxQDxzxzyyyAdSz

6、yxQdzdxzyxQxzAzyxQZXzxzxADDzx 左左右右，时时为为当当夹夹角角；轴轴正正向向的的侧侧动动点点处处的的单单位位法法向向与与为为曲曲面面这这里里的的曲曲面面积积分分侧侧对对坐坐标标的的在在曲曲面面型型第第二二型型曲曲面面积积分分 哈尔滨工程大学 高高 等等 数数 学学 .),),( ),( ),),( ),( ),( ),( ,cos),(),( , ),( :dydzzyzyxPdydzzyxPdydzzyzyxPdydzzyxPDzyzyxxxAdSzyxQdydzzyxPzyAzyxPYZyzyzADDyz 后后前前，时时，为为当当夹夹角角；轴轴正正向向的的侧侧动

7、动点点处处的的单单位位法法向向与与为为曲曲面面这这里里的的曲曲面面积积分分侧侧对对坐坐标标的的在在曲曲面面型型第第二二型型曲曲面面积积分分 我们再将上面的定义概括如下我们再将上面的定义概括如下: 哈尔滨工程大学 高高 等等 数数 学学.dSnF 向量形式的曲面积分向量形式的曲面积分一般形式的曲面积分一般形式的曲面积分RdxdyQdzdxPdydz dSRQP )coscoscos(第一、二型曲第一、二型曲面积分的关系面积分的关系RdxdyQdzdxPdydzRdxdyQdzdxPdydz ,cosdydzPdSP ,cosdxdyRdSR ,cosdzdxQdSQ 哈尔滨工程大学 高高 等等

8、数数 学学xyz2 1 例例1 1，其，其计算曲面积分计算曲面积分dxdyxyz .0, 01222的部分的部分的外侧在的外侧在是球面是球面中中 yxzyx 解解两部分两部分和和分成分成将将21 ;1:2211yxz ,1:2222yxz )()(12下下上上 xyzdxdyxyzdxdyxyzdxdy xyxyDDdxdyyxxydxdyyxxy)1(12222 xyDdxdyyxxy2212 2010221cossin2 drrrrd.152 哈尔滨工程大学 高高 等等 数数 学学例例2 2解解3 前前后后,2zdxdyydzdxdydzx 计算计算.0,0222）的表面外侧（的表面外侧（

9、是圆柱体是圆柱体其中其中 aayxbz , 21 下底面为下底面为令圆柱体上底面为令圆柱体上底面为.3 侧面为侧面为xOyzOxyOz , , 在在设设 .,321DDD面上的投影区域为面上的投影区域为yxozbaa1 1D2D2 3Ddydzxdydzx 322 dzdxydzdxy 3 dxdyzdxdyzdxdyzdxdyz 321 3Dbdxdy.2 ba .222 bazdxdyydzdxdydzx .2 ba . 0 哈尔滨工程大学 高高 等等 数数 学学3 前前后后yxozbaa1 1D2D2 3D. 0 dydzxdydzx )(2)(233后后后片后片前前前片前片dydzya

10、dydzyaDD 11)()(2222dydzx 2dydzxdydzxdydzx 321222 dydzx 32 哈尔滨工程大学 高高 等等 数数 学学3 前前后后yxozbaa1 1D2D2 3Ddzdxy dzdxydzdxy )()(33左左左片左片右右右片右片dzdxxadzdxxaDD 22)(2222dzdxxaD 2222dxxadzaab 2202 2212ab .2 ba dzdxydzdxydzdxy 321 dzdxy 3 哈尔滨工程大学 高高 等等 数数 学学例例3 3,)( 2 下下计算计算zdxdydydzxz).20( )( 2221 zyxz是抛物面是抛物面其中其中 nDxyzO解解. DxOy面上的投影区域为面上的投影区域为在在设设 .1 , ,11 ),()( 222221 yxyxnzyxyxz指向下侧的单位法向为指向下侧的单位法向为点处点处在在抛物面抛物面dSyxzxxzdSyxyxzxzzdxdydydzxz2222222