微积分授课课件：12_3齐次方程

1、 哈尔滨工程大学哈尔滨工程大学 高高 等等 数数 学学微分方程 第十二章第十二章yxfy求已知, )( 积分问题积分问题 yy求及其若干阶导数的方程已知含, 微分方程问题微分方程问题 推广 哈尔滨工程大学哈尔滨工程大学 高高 等等 数数 学学齐次方程 第三节第三节一、齐次方程一、齐次方程*二、可化为齐次方程的方程二、可化为齐次方程的方程 第十二章第十二章 哈尔滨工程大学哈尔滨工程大学 高高 等等 数数 学学形如形如)(ddxyxy的方程叫做齐次方程的方程叫做齐次方程 .令令,xyu ,xuy 则代入原方程得代入原方程得,ddddxuxuxy)(dduxuxuxxuuud)(d两边积分两边积分,

2、 得得xxuuud)(d积分后再用积分后再用xy代替代替 u, 便得原方程的通解便得原方程的通解.解法解法:分离变量分离变量: 哈尔滨工程大学哈尔滨工程大学 高高 等等 数数 学学例例1. 解微分方程解微分方程.tanxyxyy解解:,xyu 令,uxuy则代入原方程得代入原方程得uuuxutan分离变量分离变量xxuuuddsincos两边积分两边积分xxuuuddsincos得得,lnlnsinlnCxuxCu sin即故原方程的通解为故原方程的通解为xCxysin( 当当 C = 0 时时, y = 0 也是方程的解也是方程的解)( C 为任意常数为任意常数 )0C此处此处 哈尔滨工程大

3、学哈尔滨工程大学 高高 等等 数数 学学例例2. 解微分方程解微分方程.0dd)2(22yxxyxy解解:,2dd2xyxyxy方程变形为,xyu 令则有则有22uuuxu分离变量分离变量xxuuudd2积分得积分得,lnln1lnCxuuxxuuudd111即代回原变量得通解代回原变量得通解即即Cuux )1(yCxyx)(说明说明: 显然显然 x = 0 , y = 0 , y = x 也是原方程的解也是原方程的解, 但在但在(C 为任意常数为任意常数)求解过程中丢失了求解过程中丢失了. 哈尔滨工程大学哈尔滨工程大学 高高 等等 数数 学学x由光的反射定律由光的反射定律:可得可得 OMA

4、= OAM = 例例3. 探照灯的聚光镜面是一张旋转曲面探照灯的聚光镜面是一张旋转曲面, 它的形状由它的形状由)0()(:yxfyL解解: 将光源所在点取作坐标原点将光源所在点取作坐标原点, 并设并设入射角入射角 = 反射角反射角xycotxyy22yxOMTMAPy能的要求能的要求, 在其旋转轴在其旋转轴 (x 轴轴)上一点上一点O处发出的一切光线，处发出的一切光线，从而从而 AO = OMOPAP xOy 坐标面上的一条曲线坐标面上的一条曲线 L 绕绕 x 轴旋转而成轴旋转而成 , 按聚光性按聚光性而而 AO 于是得微分方程于是得微分方程 : xyy22yx yO经它反射后都与旋转轴平行经

5、它反射后都与旋转轴平行. 求曲线求曲线 L 的方程的方程. 哈尔滨工程大学哈尔滨工程大学 高高 等等 数数 学学21ddyxyxyx, vyx 则,yxv 令21ddvyvyyvyvyxddddCyvvlnln)1(ln2积分得积分得故有故有1222CvyCy, xvy代入得得)2(22CxCy (抛物线抛物线)221)(vvCyCyvv21故反射镜面为旋转抛物面故反射镜面为旋转抛物面.于是方程化为于是方程化为(齐次方程齐次方程) 哈尔滨工程大学哈尔滨工程大学 高高 等等 数数 学学yxAO顶到底的距离为顶到底的距离为 h ,hdC82说明说明:)(222CxCy2,2dyhCx则将则将这时旋

6、转曲面方程为这时旋转曲面方程为hdxhdzy1642222hd若已知反射镜面的底面直径为若已知反射镜面的底面直径为 d ,代入通解表达式得代入通解表达式得)0,(2C 哈尔滨工程大学哈尔滨工程大学 高高 等等 数数 学学( h, k 为待为待 *二、可化为齐次方程的方程二、可化为齐次方程的方程111ddcybxacybxaxy)0(212cc,. 111时当bbaa作变换作变换kYyhXx,dd,ddYyXx则原方程化为原方程化为 YbXaYbXaXY11ddckbha111ckbha令令 0ckbha0111ckbha, 解出解出 h , k YbXaYbXaXY11dd(齐次方程齐次方程)

7、定常数定常数), 哈尔滨工程大学哈尔滨工程大学 高高 等等 数数 学学,代入将kyYhxX求出其解后求出其解后, 即得原方即得原方 程的解程的解.,. 211时当bbaa原方程可化为原方程可化为 1)(ddcybxacybxaxy令令, ybxavxybaxvdddd则1ddcvcvbaxv(可分离变量方程可分离变量方程)注注: 上述方法可适用于下述更一般的方程上述方法可适用于下述更一般的方程 111ddcybxacybxafxy)0(212cc 哈尔滨工程大学哈尔滨工程大学 高高 等等 数数 学学例例4. 求解求解64ddyxyxxy52xy解解:04 kh令令,5, 1YyXxYXYXXYdd得得再令再令 YX u , 得得令令06 kh1,5hk 得XXuuudd112积分得积分得uarctan)1(ln221uXCln代回原变量代回原变量, 得原方程的通解得原方程的通解: 哈尔滨工程大学哈尔滨工程大学 高高 等等 数数 学学15arctanxy2151