微积分授课课件：Stokes公式

1、2021-11-21第二十一讲第二十一讲 一、一、StokesStokes公式公式二、环流量与旋度二、环流量与旋度三、保守场、无源场、调和场三、保守场、无源场、调和场2021-11-22则则有有有有向向曲曲线线为为分分段段光光滑滑其其边边界界的的分分片片光光滑滑有有向向曲曲面面内内是是区区域域上上的的连连续续可可微微向向量量场场是是区区域域设设,),(),(),(SSkzyxZjzyxYizyxXv 一、斯托克斯公式一、斯托克斯公式(Stokes) SLdxdzxZzXdzdyzYyZZdzYdyXdx)()(dydxyXxY)( SSdSnvldv或或2021-11-23确确性性验验证证斯斯

2、托托克克斯斯公公式式的的正正从从而而曲曲线线积积分分应应用用三三种种方方法法计计算算下下列列例例,1 .,ABCA方方向向为为的的三三角角形形的的边边界界为为顶顶点点是是以以其其中中)1 ,0 ,0(),0 , 1 ,0(),0 ,0 , 1(CBALozyxACBL Lydzxdyzdx解解 (1) 应用斯托克斯公式应用斯托克斯公式SABC所所在在平平面面为为取取三三角角形形1: zyxS其其单单位位法法线线向向量量为为kjin313131 n2021-11-24到到于于是是由由斯斯托托克克斯斯公公式式得得 SLdxdzxyzzdzdyzxyyydzxdyzdx)()(dydxyzxx)(

3、Sdydxdxdzdzdy SdS)313131( SdS323 2021-11-25(2) 化为定积分计算化为定积分计算)10(0,1: yzyyyxAB)10(,1, 0: zzzzyxBC)10(1, 0,: xxzyxxCAozyxACBLn CABCABLydzxdyzdx AB323)1 (310 dyy2021-11-26(3) 化为平面曲线的二型曲线积分化为平面曲线的二型曲线积分 LLdydxyxdydxyxydzxdyzdx)()1 (上上的的投投影影曲曲线线面面在在为为xoyLL dyyxdxyxL )()21 ( xyDd ) 21 (23 ozyxACBLn2021-1

4、1-27利利用用斯斯托托克克斯斯公公式式计计算算例例 2 LyzdzxydydxzI2.,22222下下侧侧组组成成右右手手系系其其方方向向与与上上半半球球面面的的的的交交线线与与柱柱面面为为上上半半球球面面其其中中ayyxyxazL ozyxn解解柱柱面面截截下下的的部部分分为为上上半半球球面面被被取取S222:yxazS L2021-11-28 SdSyzz)coscos2cos( 由由斯斯托托克克斯斯公公式式得得到到 Sdyydxdxzdzdzzdy222222211cos1cos,1cosyxyxyyxxzzzzzzzz LyzdzxydydxzI22021-11-29ozyxnLxy

5、DdxdyzzdSyx221 故故 xyDyxdxdyyzzzzI)1(2,222yxaxzx 222yxayzy xyDyxaxyxaI2222222222222yxayyxa dxdyy 2021-11-210 xyDdxdyyxI)3( sin00)sin3cos(ardrrrd drasin0033)sin3(cos )sinsincos31(00433 dda )sin20(2043 da383a ozyxnLxyD2021-11-211 为为法法向向量量，作作平平面面以以过过点点为为单单位位向向量量为为空空间间一一定定点点设设nMnM,nM rL的的环环流流量量与与旋旋度度二二、向

6、向量量场场 Ll dv的的环环流流量量沿沿曲曲线线称称为为向向量量场场Lv第二型曲线积分第二型曲线积分2rrldvL 圆圆盘盘上上的的平平均均环环量量为为20limrldvrLr 环环量量面面密密度度2021-11-212kzyxZjzyxYizyxXv),(),(),( 应用应用stokes公式得到公式得到是连续可微向量场是连续可微向量场nvrl dvrLr 20lim 有有关关的的量量向向环环量量面面密密度度是是一一个个与与方方n的的方方向向环环量量面面密密度度最最大大沿沿着着vn 2021-11-213)(向向量量场场的的旋旋度度定定义义：设设有有向向量量场场.,面面密密度度的的最最大大

7、值值其其模模等等于于环环量量方方向向环环量量面面密密度度取取最最大大值值的的其其方方向向是是使使处处的的旋旋度度是是一一个个向向量量它它在在点点 MkzyxZjzyxYizyxXv),(),(),( vvrot 记记作作nvrotrldvrLr )(lim20 环环量量面面密密度度.,0为无旋场为无旋场称称时时当当vvrot 2021-11-214.,.的的旋旋度度求求线线速速度度场场每每一一点点具具有有线线速速度度刚刚体体上上轴轴旋旋转转绕绕刚刚体体以以角角速速度度例例vvzk 解解处处的的向向径径为为设设刚刚体体上上点点),(zyxMkzj yixr 点点的的线线速速度度为为Mjxiyzy

8、xkjirv 000 xyzyxkjivrot 2 .,角角速速度度的的两两倍倍等等于于刚刚体体旋旋转转速速度度场场的的旋旋度度2021-11-215)(保保守守场场定定义义：.,保保守守场场上上的的是是则则称称向向量量场场而而与与路路径径无无关关有有关关的的起起点点、终终点点只只与与如如果果曲曲线线积积分分上上的的连连续续向向量量场场是是若若 vLl dvkZjYiXvL )(无无源源场场定定义义：., 0上上为为无无源源场场在在区区域域则则称称向向量量场场处处处处有有上上在在区区域域若若向向量量场场 vvdivkZjYiXv 三、保守场、无源场、调和场三、保守场、无源场、调和场2021-1

9、1-216.1所在的点所在的点不是电荷不是电荷设点设点的散度的散度在点在点的电场强度的电场强度求点电荷求点电荷例例QMMEQ解解则则位位于于坐坐标标原原点点设设点点电电荷荷,Q为为电场强度电场强度ErrQkrrQkE302 kzj yixr 222zyxr )(3rrQkEEdiv )1(3rrkQ 2021-11-2173 rrrrr4331 )11(33rrrrkQEdiv )33(53rrrrkQ )33(523rrrkQ 0)33(33 rrkQ)11(33rrrrkQEdiv )0( r2021-11-218 在没有电荷的点在没有电荷的点,电场强度的散电场强度的散度总是等于度总是等于

10、0. 没有电荷的点没有电荷的点,既不发散电力线既不发散电力线,又不汇集电力线又不汇集电力线, 只是经过电力线只是经过电力线. 点电荷的电场除去电荷所在的点电荷的电场除去电荷所在的点就是无源场点就是无源场. 2021-11-219可可知知及及高高斯斯公公式式由由,0 vdiv0通通量量都都等等于于外外侧侧的的经经过过场场内内任任意意闭闭曲曲面面向向向向量量场场 v0321 SSSSdF03 SSdF 21SSSdFSdF1S3S2S无源场经过向量管任意断面的通量相等无源场经过向量管任意断面的通量相等2021-11-220.,)(:是调和场是调和场则称则称又是无源场又是无源场既是保守场既是保守场如

11、果向量场如果向量场调和场调和场定义定义vvuv 0)( u调和场的势函数满足下列方程调和场的势函数满足下列方程0222222 zuyuxu即即拉普拉斯方程拉普拉斯方程222222zyx 拉普拉斯算子拉普拉斯算子0 u 2021-11-221则则下下列列命命题题等等价价：上上的的连连续续向向量量场场是是中中的的区区域域是是设设定定理理,),(),(),(.:13 kzyxZjzyxYizyxXvR 有有内内任任意意一一条条封封闭闭曲曲线线对对,)2(L 0 Ll dv;)1(上上的的保保守守场场是是 v.)3(上上的的有有势势场场是是 v.),(vfzyxf 使使得得即即存存在在可可微微函函数数

12、2021-11-222则则下下列列命命题题等等价价上上的的连连续续可可微微向向量量场场是是单单连连通通域域曲曲面面中中的的是是设设定定理理.),(),(),(.)(:23DkzyxZjzyxYizyxXvR ;)1(上上的的保保守守场场是是 v.)2(上上的的无无旋旋场场是是 v),(0 zyxvrot即即2021-11-223SLL为为边边界界的的曲曲面面内内，以以含含在在都都能能“绷绷上上”一一个个包包任任意意封封闭闭曲曲线线：（曲曲面面）单单连连通通域域 , 曲面单连域曲面单连域2021-11-224证证明明偏偏导导数数的的区区域域上上具具有有二二阶阶连连续续在在包包含含闭闭区区域域和和设设函函数数例例,),(),(2 zyxvzyxu dVvudSnvudVvuS.),(,外外法法线线方方向向的的方方向向导导数数沿沿为为函函数数的的边边界界曲