弦振动分析王文璞

1、辽宁工程技术大学力学与工程学院振动力学综合训练（三）题 目 乐器弦振动问题分析 班 级 工力12级2班 姓 名李大为 刘怡 李凤飞 王文璞 王先明 指导教师 张智慧 成 绩 辽宁工程技术大学力学与工程学院制 目录第一章 综合训练要求1第二章 模型的建立及振动方程的求解2第三章 影响弦振动物理量分析63.1.弦的长度对其振动的影响63.2.弦的张力对其振动的影响73.3 弦的粗细对其振动的影响9第四章 结论与分析11参考文献 .12辽宁工程技术大学振动力学综合训练（三）第一章 综合训练要求进行以下规定内容的建模、计算与分析工作,具体思考如下问题:1. 为什么吉它上的六根弦在弦长一致的情况下所发出

2、的音调（声音的频率）不同？ 2. 在演奏时依靠什么来改变弦的音调？3.为什么仅通过调整弦的张力就能进行校音？教学过程：教师布置任务，学生课外查资料、计算、分析，形成材料，集中讨论、答辩、教师总结。成果形式：撰写计算分析报告并进行分组汇报。 吉他弦图片第二章 模型的建立与振动方程的求解 1.横波运动分析 由于弦乐器是靠弦的振动发声的，而弦振动产生的声波属于横波，因而，要了解弦振动规律应从横波模型的运动分析入手。设弦上有一向右传播的横波，如图1所示.现具体分析弦上各点的运动规律。当波沿工轴方向前进时，弦上各质点沿y轴上下振动，其位移可表示为 图1 横波及其质点的运动示意图其中A为振动的振幅,k为波

3、矢量，为圆频率,为初位相。弦上各质点振动的速度为 式表明,各质点上下振动的速度在随位置、时间不断变化。图1标出了部分质点振动的速度,其中A、C、E处质点振动的速度最大（A),而B、D处质点振动速度最小(0).显然,弦上各质点的振动方向并非波的传播方向。为得到波动沿弦传播时波速的表达式,现取波峰处一小段长度的弦作研究对象分析其受力情况,如图2所示.相对于弦内张力Tl,弦的重力可以忽略.此时,两个张力合力的方向竖直向下成为使弦回到平衡位置的回复力F,.由牛顿第二定律得 图2 波峰附近绳子的受力分析式中产为弦的线密度(即单位长度弦的质量),这段弦的加速度a,可由下式得到 由于波矢量 ,波速 ,所以故

4、这段弦在波峰D处对应的加速度为 进而由牛顿第二定律可得弦的回复力为 现从受力角度讨论弦的回复力 .因两张力竖直向下的分力合成弦的回复力,故 由于 ,角度应非常小.按照小角近似条件应有,代换(7)得,由于可表示弦在处的斜率,而这段弦的振动方程为,故按斜率公式可得 由于口很小,按照小角近似理论,，于是式变为，代入回复力的表达式即得 现比较、两式可得于是弦上传播的横波的波速表达式为 2.弦模型中的驻波以上讨论了正弦波的振动与传播规律.对于实际的弦乐器,因弦的两端固定,当弦被拨动时振动传播到弦两端会产生反射,而反射波和入射波在一定条件下叠加会形成驻波。驻波振动的位移,由两个振幅相等、圆频率相同的反向传

5、播正弦波叠加,则 考虑到驻波特点弦的两端(即)弦振动位移为零,因而上式必须满足，或，(n=1,2,3,.为波腹数)。所以 由于频率f与波长又以及波速v满足关系式,所以有 对于 其振动频率很低，叫做基频或基音,此时对应当时，频率表达式形如式,对应频率较高,叫做泛音,其对应的频率别为基频的n倍.基音与泛音统称谐音。上述结果表明,对于弦长、张力、线密度、材料性质一定的弦,两端固定时其自由振动频率不止一个,而是n个,并且仅与弦的固有力学参量有关,所以该频率也称为固有频率.每一个n对应于一种驻波,图3表示弦的三个驻波模式。 图3 一维横驻波中的基频与泛频第三章 影响弦振动物理量分析3.1.弦的长度对其振

6、动的影响 根据以上建立的力学振动模型，令弦的张力T0=40N，令弦为钢丝这一材料，故密度，分别取弦的直径为:d=0.30inch，弦的长度L=0.5m、0.6m、0.7m、0.8m、0.9m、1.0m，针对不同长度的弦振动，利用MATLAB求解，编写程序如下：format longL=0.5,0.6,0.7,0.8,0.9,1.0; % L表示弦长，单位mTo=input('To='); % To表示弦张力，单位Np=input('p='); % p表示钢丝的密度，单位Kg/m3d1=input('d1='); % d1表示弦的直径，单位inch

7、d=d1*2.54/100;for i=1:6w1(i)=3.14/(L(i)*sqrt(To/(p*3.14/4*d*d);w2(i)=2*3.14/(L(i)*sqrt(To/(p*3.14/4*d*d);w3(i)=3*3.14/(L(i)*sqrt(To/(p*3.14/4*d*d);endplot(L,w1,'o-')grid onxlabel('L弦的长度/m'),ylabel('第一阶固有频率/(rad/s)')title('不同弦长度时的第一阶固有频率')plot(L,w2,'o-')grid on

8、xlabel('L弦的长度/m'),ylabel('第二阶固有频率/(rad/s)')title('不同弦长度时的第二阶固有频率')plot(L,w3,'o-')grid onxlabel('L弦的长度/m'),ylabel('第三阶固有频率/(rad/s)')title('不同弦长度时的第三阶固有频率')输入以上程序得到不同长度时共振频率如下图所示： 图3-1 弦不同长度时共振频率3.2.弦的张力对其振动的影响 根据以上建立的力学振动模型，令弦为钢丝这一材料，故密度，分别取弦的直径

9、为:d=0.30inch，弦的长度L=0.6m，弦的张力To=10N、20N、30N、40N、50N、60N，针对不同张力的弦振动，利用MATLAB求解，编写程序如下：format longL=input('L='); % L表示弦长，单位md1=input('d1='); % d1表示弦的直径，单位inchd=d1*2.54/100;To=10,20,30,40,50,60; % To表示弦张力，单位Np=input('p='); % p表示钢丝的密度，单位Kg/m3for i=1:6w1(i)=3.14/(L)*sqrt(To(i)/(p*3

10、.14/4*d*d);w2(i)=2*3.14/(L)*sqrt(To(i)/(p*3.14/4*d*d);w3(i)=3*3.14/(L)*sqrt(To(i)/(p*3.14/4*d*d);endplot(To,w1,'o-')grid onxlabel('To弦的张力/N'),ylabel('第一阶固有频率/(rad/s)')title('不同弦张力时的第一阶固有频率')plot(To,w2,'o-')grid onxlabel('To弦的张力/N'),ylabel('第二阶固有频率/

11、(rad/s)')title('不同弦张力时的第二阶固有频率')plot(To,w3,'o-')grid onxlabel('To弦的张力/N'),ylabel('第三阶固有频率/(rad/s)')title('不同弦张力时的第三阶固有频率')输入以上程序得到不同张力时共振频率如下图所示： 图3-2 弦不同张力时共振频率3.3 弦的粗细对其振动的影响 根据以上建立的力学振动模型，令弦长L=0.6m，弦的张力F=40N，令弦为钢丝这一材料，故密度，分别取弦的直径为:d=0.10inch、0.14inch、0.

12、22inch、0.30inch、0.39inch、0.47inch，针对不同粗细的弦振动，利用MATLAB求解，编写程序如下：format longL=input('L='); % L表示弦长，单位mTo=input('To='); % To表示弦张力，单位Np=input('p='); % p表示钢丝的密度，单位Kg/m3d1=0.10,0.14,0.22,0.30,0.39,0.47; % d1表示弦的直径，单位inchd=d1*2.54/100;for i=1:6w1(i)=3.14/(L)*sqrt(To/(p*3.14/4*d(i)*d

13、(i);w2(i)=2*3.14/(L)*sqrt(To/(p*3.14/4*d(i)*d(i);w3(i)=3*3.14/(L)*sqrt(To/(p*3.14/4*d(i)*d(i);endplot(d1,w1,'o-')grid onxlabel('d1弦的直径/(inch)'),ylabel('第一阶固有频率/(rad/s)')title('不同弦直径时的第一阶固有频率')plot(d1,w2,'o-')grid onxlabel('d1弦的直径/(inch)'),ylabel('第

14、二阶固有频率/(rad/s)')title('不同弦直径时的第二阶固有频率')plot(d1,w3,'o-')grid onxlabel('d1弦的直径/(inch)'),ylabel('第三阶固有频率/(rad/s)')title('不同弦直径时的第三阶固有频率'）输入以上程序得到不同粗细时共振频率如下图所示： 图3-3 弦不同粗细时共振频率第四章 结论与分析 通过对弦乐器振动规律的理论推导和分析,可得到如下结论:1.弦上各质点的振动方向不等于波动的传播方向。2.增大弦振动的振幅只能增大弦上各质点的振动速度,并不改变波动的传播速度。也就是说,弦振动振幅的改变,改变不了乐曲的音调。3.决定弦振动频率的物理参量为L、To、,因而弦乐曲的音调就由这三个参量决定。亦即弦长越短(L小),弦绷得越紧(To大),弦的线密度越小（小),音调也就越高(f高)。4.在其他条件(如弦长,松紧程度)相同的情况下,使用不同性质、不同粗细的琴弦材料(即产不同),乐器音调也有差别。实际中的弦乐器,这些物理参数都能根据需要改变,特别是弦的紧张程度最容易改变。理论分析与实验证明:弦乐器的音调与弦的长短、粗细、松紧程度以及弦材料的结构性质有关。在相同条件下,弦长越短、弦越紧（弦张力越大