线性代数与空间解析几何：1-3 行列式的性质

1、1.31.3 行列式的性质行列式的性质【性质【性质1 1】 互换行列式的两行互换行列式的两行, 行列式变号行列式变号, 绝对值不变绝对值不变.1. 1. 行列式的性质行列式的性质为了简明为了简明, 下面仅叙述行列式关于行的性下面仅叙述行列式关于行的性, 关于列也有关于列也有同样的性质同样的性质. 这些性质在行列式的计算和理论推导中非这些性质在行列式的计算和理论推导中非常重要常重要.【证证明明】为了简明为了简明, 不妨设第不妨设第1行与第行与第2行互换行互换. 21221112aaaa12122121.(.)( 1)nnnnnpppp ppAp ppaaa 21122 112.(.) 1( 1)

2、nnnnpnppp ppAp ppaaa 21211212(.).( 1)( 1)nnnnppnpp ppppApaaa 21211212(.).( 1)( 1)nnnnppnpp ppppApaaa 1221nnnnp ppAp ppA走走遍遍也也走走遍遍21112212(.).( 1)( 1)nnnnppnpp ppppApaaa 11122122( 1).aaaa 【推论【推论】 行列式有两行行列式有两行(列列)完全相同完全相同, 行列式为零行列式为零.【证证明明】D交交换换这这个个行行列列式式的的相相同同的的两两行行: :DD 0.D【性质性质2 2】 行列式中任意一行的公因子可提到行

3、列式的行列式中任意一行的公因子可提到行列式的 外面外面, 即用常数乘行列即用常数乘行列式相当于乘行列式的任式相当于乘行列式的任选一行选一行. 【证证明明】为了清晰为了清晰, 对第对第1行验证此性质行验证此性质: 22111212akaaak 112212(.1.)2.(1)(npp ppp pAkaa 122121(.)2.1. .( 1)npp ppp pAaak | .ij nak【推论推论】 若行列式中有两行对应成比例若行列式中有两行对应成比例, 则行列式的值则行列式的值 为零为零.【证证明明】 30!秒秒思思考考【性质性质3 3】 将行列式的任意一行的各元素乘一个常数后将行列式的任意一

4、行的各元素乘一个常数后, 对应地加到另一行上对应地加到另一行上, 行列式的值不变行列式的值不变( (行等值变换行等值变换).). 【证证明明】不失一般性不失一般性, 设第设第1行乘行乘 k 加到第加到第2行上行上. 111212122112aaaakaka 122121( 1)()npppnpaakaa 12121211( 1)( 1)()nnppppnpnpaaaakaa 11122122aaaa 11121112aakaka 11122122.aaaa 【性质性质4 4 】 行列式具有分行相加性行列式具有分行相加性( (行列式的加法原理行列式的加法原理) ), 即即( (以第以第1 1行为

5、例行为例) )21111222121212111nnnnnnnxyaaaaaayxxy212111222122212121121112.nnnnnnnnnnnnaaaaaaaaaaaxyyyaxx【证证明明】由行列式的定义和式容易证明由行列式的定义和式容易证明.利用行列式的性质可以大大地简化行列式的计算利用行列式的性质可以大大地简化行列式的计算! !2. 2. 行列式的计算举例行列式的计算举例.abbbabDbba 【例例1 1】 计计算算行行列列式式【解解】1n 将将后后列列逐逐一一第第加加到到第第1 1列列上上( (等等值值变变换换):):(1)(1)(1)anbbbanb abDanbb

6、a 11(1) 1bbabanbba11(1) 1bbabanbba121( 1)( 1)nrrrr 100(1) 00bbabanbab 1(1) ().nanb ab |, ( ,1, 2,).,0.ij nijjiDaaai jnnD 设设行行列列式式是是反反对对称称的的 即即求求证证 当当为为奇奇数数时时【例例2 2】【证证明明】 iiiiaa (1, 2,);in 0iia1213112232132331230000nnnnnnaaaaaaDaaaaaa 下下面面转转置置此此行行列列式式12131122321323312300( 1)00nnnnnnnaaaaaaaaaaaa 121

7、3112232132331230000nnnnnnaaaaaaDaaaaaa 1 每每行行 中中 提提出出一一个个 n为为奇奇数数D 0D3. 3. 行列式的下三角化行列式的下三角化111212221122000nnnnnnaaaaaa aaa 能能否否用用行行列列式式的的性性质质将将行行列列式式化化为为上上三三角角形形式式, ,从从而而计计【问问题题】算算其其值值? ?由行列式的定义计算行列式是困难由行列式的定义计算行列式是困难的的( (但但用定义容易编用定义容易编写计算机程序来计算行列式写计算机程序来计算行列式) ), 在在 上上 一节一节 的的 最两个例子最两个例子中中 我我 们们 看到

8、可以用行列式的性看到可以用行列式的性 质来简化行列式的计算质来简化行列式的计算. 我们再回顾上三角行列式的计算我们再回顾上三角行列式的计算:12 3 42 3 4 1.3 4 124 12 3【例例3 3】 计计算算行行列列式式【解解】12342341341241230127028100710131234 31 2340127( 1)0 28 100 7 10 13 122() rr133() rr144() rr0201271810071013234 0127020710130234811 0127028100710131234 1 23401270 0440 0)3(461 31 2340

9、127( 1)0 28 100 7 10 13 1 2 3401 27( 1)0 0 440 0 040 232() rr347() rr1 234012700 00(3)64441 1 23401270 0440 0)3(461 160 34rr【证证明明】仅在仅在 n = 3 时证明时证明, 读者不难给出一般的证明读者不难给出一般的证明. 首先首先, 我们证实经过若干行等值变换我们证实经过若干行等值变换, 行列式行列式111213212223313233aaaaaaaaa111213222332330.0bbbbbbb可可化化为为1121310:aaa 111213212223313233

10、aaaaaaaaa111213222332330;0aaabbbb (1).结结论论自自明明11210,0 :aa(2)可将第可将第 2 行加到第行加到第 1 行上行上.11310,0 :aa(3)可将第可将第 3 行加到第行加到第 1 行上行上.110.a 不不妨妨设设1111() rr (2,3):iiaai 在在之之下下22233233.bbbb对对做做同同样样的的处处理理即即可可(4)(5)下下面面的的等等【命命题题1 1】式式成成立立: :111111111111111111110000klklkkkkkllkkkllllllaaccaabbaaccbbaabbbb【证证明明】用行等

11、值变换将上式右边两个小行列式化为用行等值变换将上式右边两个小行列式化为:11*,0kkaaaa 11*;0llbbbb 4.4. 一种分块行列式的计算一种分块行列式的计算11000000lkbaba 11111111kkkkllllababaabb|;ij kak将将施施加加在在的的行行等等值值变变换换施施加加在在大大行行列列式式的的前前行行1111111111110000klkkkkklllllaaccaaccbbbb11() ()klbaba11000000klaabb |:ij lbl将将施施加加在在的的行行等等值值变变换换施施加加在在大大行行列列式式的的后后行行1 21 2 34 5 2 31.78 31 21 2 0 0 021 0 0 0D 【例例4 4计计算算】行行列列式式将第将第3列与第列与第2列、第列、第1列逐一交换到第列逐一交换到第1列列; 同样同样将第将第4列交换到第列交换到第2列列, 将第将第5列交换到第列交换到第3列列:【解解】2 31 241 2 32 3135( 1)780 0 01 21 20 0210D 12 32 3 1321212154 求证求证2222()() ()() abcdbadcacbdacbdcdabdcba【例例5 5】【证证明明】左边左边1324rrrrabcdbadccadba