度量空间分解

1、第七*衣量变同和歐范钱性空的第七章庚量空凤和赋范钱性佼同§1凌置空间的进一步例&§2凌置空间彳的級限、碉密集、可今空间§歹赋范钱徃空间和巴全肃空间泛鉤今斩：是20世纪发展起来的一门新的学科，德国数 学家希尔伯特，波兰数学家巴拿赫，匈牙利一美国数学家冯. 诺依曼，为此做出了主要贡献。泛鉤今斩斫究內客是鉤褻号褻之间的对盜关系'例血：虧稻今就是一个泛鉤。尊3,葛赦空同和鶴赦空间的对盜矣系。例血：徽今就是一个篇&。§/决蚤空间的进一步例3废蜃空间（雎馬空间丿: 把距离概念抽象化，对某些一般的集合引进点和点之间的距 离,使之成为距离空间，这

2、将是深入研究极限过程的一个有 效步骤。泛鉤今祈屮的决蜃空间（殖喬空间丿: 泛函分析中要处理的度量空间，是带有某些代热修构的度量空间，例如赋范线性空间，就是一种带有线性结构的度量空 间。人决董空间设x是一个集合，若对于中任意两个元素兀升都有唯一确 定的实数d(x,y)与之对应，而且这一对应关系满足下列条件： 1° d(x, y) > 0, d(x, y) = 0 的充要条件为 x = y2 d(x,y)< d(x,z) + d(y,z)对任意的 z 都成立,则称(兀y)是x之间的距离，称(x,)为决受空间或雎馬空o x中的元素称为点。up = pdp<3称为点p。的r

3、得域，人称为邻域的中心，"称为邻域的半径。次纟见的决蜃空间妙徭跌式茨蜃空间(2)南徽的及蜃空间 设x是任意的非空集合,（兀 y）=1,0,对x中的任意两点兀y w x ,令 ifxy ifx = y称(xm)为离散的度量空间。(3)序列空间s令s表示实数列(或复数列)的全体，对s中的任意两点x =(6，乡，乙，)y =(12，'八)，令 d(x,y) = £j_i 称(s,d)为序列空间。m 1+1$-口 丨a环釣叙空间&丿设工是一个给定的集合，令&沏表示“上有界实值（或复值）函数全体，对呂砂中任意两点兀v，定义d(x, y) = sup i x(t

4、) y(t) itea（5）可测鉤数空间m （x）设m（x）为x上实值（或复值）的勒贝格可测函数全体，m为勒贝格测度，若加（x）oo,对任意两个可测函数口）及g（0由于册冷】，所以这是x上的可积函数。令1/(0-g(pl dt口+丨/一g（r）l(6) ca,b空间令c°,b表示闭区间a,b上实值(或复值)连续函数全体, 对cs,b中任意两点x,y,定义d (x, y) = max i x(t) y(t) ia<t<b(6)lp空间卩=% = 无应球<g°k=设 x = xkelp, y = ykelp ,定义丄(兀y)二 £(%-勺)卩&quo

5、t;k=§w决量空间屮的級限.稠密集. 可今空间7、收效支列设£是(x,d)中点列，如果存在xwx，使 lim d (xn ,x) = 0ns则称点列£是(x,)中的收徴皮利，兀是点列£的极限。收效点列徃质:(1) 在度量空间中，任何一个点列最多只有一个极限，即收敛点列的极限是唯一的。(2) m是闭集的充要条件是m中任何收敛点列的极限都在m中。次收彼点列在具俸空间屮的噫丈(1)"條畝式空间屮;忌 wy),肿),心,2,.,为疋中的点列,lim d(xni,x) = 0 o 皐"> 纟，(m > oo) 1 < z &

6、lt; h？一>s即：£,按欧式距离收敛于x的充要条件是心依坐标收敛于x（2）為列空间s屮:% =（針），卵），磐）,）,协= 1,2,.,为s中的点列,lim d（兀”,x） = 0 ot & （m -> oo）,hits(s) cab空间设£及兀分别为ca,b中的点列及点9d(xn, x) = max i (t) - x(t) ia<t<blim d(xz? n) = 0 o £在% b上一致收敛于 x7?>o0可测岛赦空间m（x）设/及/分别为可测函数空间中的点列及点，lim 心 j) = 0 o fn(0 =>

7、f(°ns设m是度量空间（xm）中点集，定义沢m）=sup （“）x.yem为点集m的直栓，若5（m）voo ,贝|称m为（x，d）中的韦界集。纟用错d庚蜃空间屮的列是帝界止集。4、稠密集，可今空间(1)设x是度量空间，e和m是x中的两个子集， 表示m的闭包，如果eu厉，那么称集m在集e中禍埶如果e中任何一点x的任何邻域都含有集m中的点，就称 m在e中翻密。对任一xwe，有m中的点列占,使得xn -» xn -»go)(2)当e=x时，称集m为x的一个稱密&集。(3) 如果x有一个可就的嗣密&集时，称x为可今空的。1： （1）多项式全体所成的线性空

8、间p是度量空间cq,b 的子集，则p在ca,b中是稠密的。其中，以有理数为系数 的多项式全体是一个可数集，所以ca,b是可分空间。（2）n维欧式空间r”是可分空间，因为坐标为有理数的全 体是一个可数集，是疋中的稠密子集。（3）严为可分空间。（4）严为不可分空间。卩表示有界实（或复）数列全体，对卩中任意两点兀=（§1，冬，）y = （i，2,） 定义 （九y） = suplg-丨i则严按d（x, y）成为度量空间。回忆幽赦冏逐藏徃71、庚蜃空间屮的直偿悄设x=(x,)，y =(y,是两个度量空间，t是x到y中的映射,观訂,如果对于任意给定g>0,存在5>0,使对x中一切满足

9、dx,x<8的，成立加忑巩)< £则称t在无。虚钱。-5语言描述：t在兀。连续hjg®必有v(x0,5),使tv uuit彼徃的級限處丈设t是度量空间(x,d)到(y,砂中的映射，那么t在连续的丸要条件为当£tx°(ntc0)时，必有巩 txq (n -oo)如果映射t在x的每一点都连续，则称t是x上的虚辕腆射。称集合xxex,txem u y为集合m在映射1下的原像。5：度量空间x到y的映射t是x上的虚辕腆射的克要条件 为y中任意开集m的原像lm是x中的开集。§“柯而止列和宪备决蚤空间1、柯面支列设x=（x,d）是度量空间，

10、63;是x中点列，如果对任何事先给定的£0,存在正整数n = n（£）,使当弘加n时，必有d（xn,xm） < £则称£是x中的柯血支列或基痒点列。在实敍空间占屮，柯面支列一定是收效支列,，俚是在一 殿的废蜃空间当屮，柯筋支列耒一定收效，侄是每一个收效 支列一定是柯筋支列。2、完备的走蜃空间如果度量空间(x,d)中每一个柯西点列都在(x,d)中收敛, 则称(x,d)是宪备的决量空间o&空间完备彼定理完备度量空间x的&空厲m,是老备空间的克要条件是:是x中的闭子空间。®jg 1： /?(1<<00)及严是完备度量

11、空间®j® 2： n维欧几里的空间是完备度量空间0® 3: ca,b是完备度量空间著睢同构解射=j设（x，d），（滋獗 是两个度量空间，如果存在x到畝的保距映射:r,即鮒5）=如刃则称（x”），和（热冷著睢同枸，此时:r称为x到怒上的著睢同构踐射。§5巫循缺射原理及曳疹用设x是度量空间，t是x到x中的映射，如果存在一个数4 ,0<6z<b 使得对所有的 x.y gx 9 成立 d (tx, ty) < ad (x, y)则称t是爲籍膜财。甩何意乂：压缩映射就是使映射后距离缩短&倍的映射。设x为一个集合，t是x到x的一个映射，如熙

12、飞x ,使 tx=x，则称/为映射t的"1。设x是完备的度量空间，t是x上的压缩映射，那么t有且 只有一个不动点。完备庚蜃空间屮的压備唳射必帘曜一的耒刼支。注：定理中的度量空间的完备条件不能去掉。完备性是保证映射的不动点的存在，至于不动点的唯一性, 并不依赖于x的完备性。压缩映射具有连续性，即对任何收敛点列& t x0(n t 00)必有 txn t 巩(72 > 00)§了赋范钱槌空间和巴拿琳空间1、赋范钱住空间设x是实（或复）的线性空间，如果对于每个向量xwx , 有一个确定的实数，记为|卜|与之对应，并且满足：1° h>o且卜|=o等价于

13、x = o2° ih=11 w其中«为任意实（或复）数;3° |x+y|<|x| + |y|, ex则称倒为向量的范虬称x按范数成为赋范钱樽空间。类似于普通向量的长度次关于級限的定丈(傢范報收敛丿设£是x中一点列，如果存在xwx，使ll£7llt0(“t8) 则称£像范热收钱于i记为耳 t xn t oc)或 limx” = xn->oo歹、赋范钱钳空间的钳质1°赋范钱宿空间耒仅是钱槌空间，也是一个茨蜃空间。如果令d （兀,y） =11 x-yll, (x,y e x)可以验证(绘y是x上的距离。暫依范数收敛于x芋价扌£按距离收敛于兀 称(兀刃为由范数ii知导出的距离。茨董和钱钳猪构之间的伤调钳:d（x-y，o） = d（x, y） d ax. 0） =1 cd d （兀 0）2°范wxwx的连偿甜報。4、巴拿琳空间