天津市南开大附中2015-2016学年高一(上)期中数学试题(解析版)

1、2015-2016学年天津市南开大附中高一（上）期中数学试卷一、选择题（共10小题，每小题4分，满分40分）1已知全集U=xZ|1x10，A=1，3，5，6，9，10，B=1，2，5，6，7，9，10，则AUB=（）A1，5，6，9，10B1，2，3，4，5，6，9，10C7，8D32若集合A=6，7，8，则满足AB=A的集合B有（）A6个B7个C8个D9个3下列四组中的函数f（x）与g（x），是同一函数的是（）Af（x）=ln（1x）+ln（1+x），g（x）=ln（1x2）Bf（x）=lgx2，g（x）=2lgxCf（x）=，g（x）=Df（x）=，g（x）=x+14下列函数图象中，能用二

2、分法求零点的是（）ABCD5已知幂函数y=f（x）的图象经过点（2，），则f（4）的值为（）A16B2CD6设a=log3，b=（）0.2，c=2，则a，b，c的大小关系是（）AabcBbacCbcaDacb7函数f（x）=log（x24）的单调递增区间为（）A（0，+）B（，0）C（2，+）D（，2）8若x0是方程的解，则x0属于区间（）A（，1）B（，）C（，）D（0，）9设a0，则函数y=|x|（xa）的图象大致形状是（）ABCD10已知定义域为R的函数f（x），对于xR，满足ff（x）x2+x=f（x）x2+x，设有且仅有一个实数x0，使得f（x0）=x0，则实数x0的值为（）A.0B

3、.1C0或1D.无法确定二、填空题（共5小题，每小题4分，满分20分）11已知y=f（x）是定义在1，4）上的函数，则函数y=f（2x+1）的定义域为12已知f（x1）=2x+3，f（m）=6，则m=13已知（1.40.8）a（0.81.4）a，则实数a的取值范围是14已知函数f（x）=ax5bx3+cln（|x+|）3，f（3）=7，则f（3）的值为15已知函数f（x）=，则函数y=ff（x）+1的零点个数为三、解答题（共5小题，每小题8分满分40分）16设U=R，M=x|x2，N=x|1x4，求：（1）MN； （2）（UN）（MN）17解答下列问题（1）计算（）0+（）+的值；（2）已知2

4、a=5b=100，求 的值18已知函数f（x）=loga（x+1），g（x）=loga（1x）（其中a0，且a1）（1）求函数f（x）+g（x）的定义域；（2）判断函数f（x）g（x）的奇偶性，并予以证明；（3）求使f（x）+g（x）0成立的x的集合19已知f（x）是二次函数，若f（0）=0，且函数f（x+1）=f（x）+x+1（1）求f（x）的解析式；（2）求f（x）在x1，2时的值域（3）令g（x）=f（x），判断函数g（x）是否存在零点，若存在零点求出所有零点，若不存在说明理由20定义在D上的函数f（x），如果满足：对任意xD，存在常数M0，都有|f（x）|M成立，则称f（x）是D上的有

5、界函数，其中M称为函数f（x）的上界已知函数，g（x）=（）当a=1时，求函数f（x）在（，0）上的值域，并判断函数f（x）在（，0）上是否为有界函数，请说明理由；（）当m=1时，判断函数g（x）的奇偶性并证明，并判断g（x）是否有上界，并说明理由；（）若函数f（x）在0，+）上是以2为上界的有界函数，求实数a的取值范围；（ IV）若m0，函数g（x）在0，1上的上界是G，求G的取值范围2015-2016学年天津市南开大附中高一（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（共10小题，每小题4分，满分40分）1已知全集U=xZ|1x10，A=1，3，5，6，9，10，B=1，2，5，6，7，

6、9，10，则AUB=（）A1，5，6，9，10B1，2，3，4，5，6，9，10C7，8D3【考点】交集及其运算 【专题】集合【分析】根据补集的定义求出UB，再根据交集的定义求出AUB【解答】解：全集U=xZ|1x10，B=1，2，5，6，7，9，10，UB=3，4，8，A=1，3，5，6，9，10，AUB=3，故选：D【点评】本题考查了交、并、补集的混合运算，熟练掌握各自的定义是解本题的关键2若集合A=6，7，8，则满足AB=A的集合B有（）A6个B7个C8个D9个【考点】集合的包含关系判断及应用 【专题】计算题【分析】由AB=A得BA，所以只需求出A的子集的个数即可【解答】解：AB=A，B

7、A，又A的子集有：、6、7、8、6，7、6，8、7，8、6，7，8，符合条件的集合B有8个故选C【点评】本题考查集合的运算，对于AB=A得到BA的理解要到位，否则就会出错3下列四组中的函数f（x）与g（x），是同一函数的是（）Af（x）=ln（1x）+ln（1+x），g（x）=ln（1x2）Bf（x）=lgx2，g（x）=2lgxCf（x）=，g（x）=Df（x）=，g（x）=x+1【考点】判断两个函数是否为同一函数 【专题】函数的性质及应用【分析】根据两个函数的定义域相同，对应关系也相同，判断它们是否为同一函数即可【解答】解：对于A，f（x）=ln（1x）+ln（1+x）=ln（1x2）（1

8、x1），与g（x）=ln（1x2）（1x1）的定义域相同，对应关系也相同，是同一函数；对于B，f（x）=lgx2=2lg|x|（x0），与g（x）=2lgx（x0）的定义域不同，不是同一函数；对于C，f（x）=（x1），与g（x）=（x1或x1）的定义域不同，不是同一函数；对于D，f（x）=x+1（x1），与g（x）=x+1（xR）的定义域不同，不是同一函数故选：A【点评】本题考查了判断两个是否为同一函数的问题，解题时应判断它们的定义域是否相同，对应关系是否也相同，是基础题4下列函数图象中，能用二分法求零点的是（）ABCD【考点】函数的零点；函数的图象 【专题】函数的性质及应用【分析】根据函数

9、只有满足在零点两侧的函数值异号时，才可用二分法求函数f（x）的零点，结合所给的图象可得结论【解答】解：由函数图象可得，A中的函数没有零点，故不能用二分法求零点，故排除AB 和D中的函数有零点，但函数在零点附近两侧的符号相同，故不能用二分法求零点，故排除只有C中的函数存在零点且函数在零点附近两侧的符号相反，故能用二分法求函数的零点，故选C【点评】本题主要考查函数的零点的定义，用二分法求函数的零点的方法，属于基础题5已知幂函数y=f（x）的图象经过点（2，），则f（4）的值为（）A16B2CD【考点】幂函数的概念、解析式、定义域、值域 【专题】函数的性质及应用【分析】求出幂函数的解析式，然后求解函

10、数值即可【解答】解：设幂函数为y=x，幂函数y=f（x）的图象经过点（2，），=2，解得=y=xf（4）=故选：C【点评】本题考查幂函数的解析式的求法，基本知识的考查6设a=log3，b=（）0.2，c=2，则a，b，c的大小关系是（）AabcBbacCbcaDacb【考点】对数值大小的比较 【专题】函数的性质及应用【分析】利用对数的运算性质即可得出【解答】解：a=log30，0b=（）0.21，c=21，abc故选：A【点评】本题考查了对数的运算性质，属于基础题7函数f（x）=log（x24）的单调递增区间为（）A（0，+）B（，0）C（2，+）D（，2）【考点】复合函数的单调性 【专题】函

11、数的性质及应用【分析】令t=x240，求得函数f（x）的定义域为（，2）（2，+），且函数f（x）=g（t）=logt根据复合函数的单调性，本题即求函数t在（，2）（2，+） 上的减区间再利用二次函数的性质可得，函数t在（，2）（2，+） 上的减区间【解答】解：令t=x240，可得 x2，或 x2，故函数f（x）的定义域为（，2）（2，+），当x（，2）时，t随x的增大而减小，y=logt随t的减小而增大，所以y=log（x24）随x的增大而增大，即f（x）在（，2）上单调递增故选：D【点评】本题主要考查复合函数的单调性，二次函数的性质，体现了转化的数学思想，属于中档题8若x0是方程的解，则x

12、0属于区间（）A（，1）B（，）C（，）D（0，）【考点】函数的零点与方程根的关系 【专题】压轴题【分析】由题意x0是方程的解，根据指数函数和幂数函数的增减性进行做题【解答】解：，x0属于区间（，）故选C【点评】此题主要考查函数的零点与方程根的关系，利用指数函数的增减性来做题，是一道好题9设a0，则函数y=|x|（xa）的图象大致形状是（）ABCD【考点】函数的图象 【专题】函数的性质及应用【分析】确定分段函数的解析式，与x轴的交点坐标为（a，0），（0，0），及对称性即可得到结论【解答】解：函数y=|x|（xa）=a0，当x0，函数y=x（xa）的图象为开口向上的抛物线的一部分，与x轴的交点

13、坐标为（0，0），（a，0）当x0时，图象为y=x（xa）的图象为开口先向下的抛物线的一部分故选B【点评】本题考查分段函数，考查函数的化简，考查数形结合的数学思想，属于中档题10已知定义域为R的函数f（x），对于xR，满足ff（x）x2+x=f（x）x2+x，设有且仅有一个实数x0，使得f（x0）=x0，则实数x0的值为（）A.0B.1C0或1D.无法确定【考点】函数的零点 【专题】综合题；函数的性质及应用【分析】因为对任意xR，有f（f（x）x2+x）=f（x）x2+x又因为有且只有一个实数x0，使得f（x0）=x0，所以对任意xR，有f（x）x2+x=x0，因为f（x0）=x0，所以x0x

14、02=0，故x0=0或x0=1再验证，即可得出结论【解答】解：因为对任意xR，有f（f（x）x2+x）=f（x）x2+x又因为有且只有一个实数x0，使得f（x0）=x0所以对任意xR，有f（x）x2+x=x0在上式中令x=x0，有f（x0）x02+x0=x0又因为f（x0）=x0，所以x0x02=0，故x0=0或x0=1若x0=0，则f（x）x2+x=0，即f（x）=x2x但方程x2x=x有两个不相同实根，与题设条件矛盾故x00若x0=1，则有f（x）x2+x=1，即f（x）=x2x+1，此时f（x）=x有且仅有一个实数1，综上，x0=1故选：B【点评】本题考查函数的解析式的求法，考查函数的单

15、调性，考查运算能力和推理能力，属于中档题二、填空题（共5小题，每小题4分，满分20分）11已知y=f（x）是定义在1，4）上的函数，则函数y=f（2x+1）的定义域为0，）【考点】函数的定义域及其求法 【专题】函数的性质及应用【分析】根据函数y=f（x）的定义域，只要令2x+1在函数f（x）的定义域内，求出x的范围即可【解答】解：因为函数y=f（x）的定义域为1，4），令12x+14，解得0x，所以函数y=f（2x+1）的定义域为0，）故答案为：0，）【点评】本题考查了函数的定义域及其求法，根据函数f（x）的定义域为a，b，求函数fg（x）的定义域时，只要用g（x）a，b，即可求出x的范围12

16、已知f（x1）=2x+3，f（m）=6，则m=【考点】函数的值；函数解析式的求解及常用方法 【专题】计算题【分析】先用换元法，求得函数f（x）的解析式，再由f（m）=6求解【解答】解：令t=x1，x=2t+2f（t）=4t+7又f（m）=6即4m+7=6m=故答案为：【点评】本题主要考查用换元法求函数解析式已知函数值求参数的值13已知（1.40.8）a（0.81.4）a，则实数a的取值范围是（，0）【考点】指数函数的单调性与特殊点 【专题】函数的性质及应用【分析】根据指数函数的性质，1.40.81，00.81.41，由题意得到幂函数y=x为减函数，再由幂函数的性质得到a的范围【解答】解：1.4

17、0.81，00.81.41，且（1.40.8）a（0.81.4）a，y=x为减函数，a的取值范围是（，0），故答案为：（，0）【点评】本题考查了指数函数，幂函数的图象和性质，属于基础题14已知函数f（x）=ax5bx3+cln（|x+|）3，f（3）=7，则f（3）的值为13【考点】函数奇偶性的性质 【专题】函数的性质及应用【分析】利用函数的解析式，通过方程化简求解即可【解答】解：函数f（x）=ax5bx3+cln（|x+|）3，f（3）=a35+b33+cln（|3+2|）3=7，可得a35b33+cln（3+2）=10f（3）=a35b33cln（3+2）3=103=13故答案为：13【点

18、评】本题考查函数的奇偶性的应用，考查计算能力15已知函数f（x）=，则函数y=ff（x）+1的零点个数为4个【考点】函数零点的判定定理 【专题】函数的性质及应用【分析】分别讨论当1x0时，x1时，0x1时，x1时的情况，求出相对应的表达式，从而求出函数的解的个数【解答】解：当x0时，f（x）=x+1，当1x0时，f（x）=x+10y=ff（x）+1=log2（x+1）+1=0，x+1=，x=当x1时，f（x）=x+10，y=ff（x）+1=f（x）+1+1=x+3=0，x=3当x0时，f（x）=log2x，y=ff（x）+1=log2f（x）+1，当0x1时，f（x）=log2x0，y=ff（

19、x）+1=log2f（x）+1=log2（log2x+1）+1=0，log2x+1=，x=；当x1时，f（x）=log2x0，y=ff（x）+1=log2（log2x）+1=0，log2x=，x=综上所述，y=ff（x）+1的零点是x=3，或x=，或x=，或x=故答案为：4【点评】本题考查了函数的零点问题，考查复合函数的解析式的求解，考查分类讨论思想，是一道中档题三、解答题（共5小题，每小题8分满分40分）16设U=R，M=x|x2，N=x|1x4，求：（1）MN； （2）（UN）（MN）【考点】交、并、补集的混合运算 【专题】集合【分析】（1）根据交集的定义求出即可，（2）求出N的补集，再根

20、据并集的定义求出即可【解答】解：（1）U=R，M=x|x2，N=x|1x4，MN=x|2x4；（2）（UN）=x|x1，或x4，（UN）（MN）=x|x1，x2【点评】本题考查了交、并、补集的混合运算，熟练掌握各自的定义是解本题的关键17解答下列问题（1）计算（）0+（）+的值；（2）已知2a=5b=100，求 的值【考点】有理数指数幂的化简求值 【专题】函数的性质及应用【分析】（1）利用指数幂的运算性质即可得出；（2）利用指数幂与对数的运算性质即可得出【解答】解：（1）原式=1+3=（2）2a=5b=100，a=，b=，=【点评】本题考查了指数幂与对数的运算性质，考查了计算能力，属于基础题1

21、8已知函数f（x）=loga（x+1），g（x）=loga（1x）（其中a0，且a1）（1）求函数f（x）+g（x）的定义域；（2）判断函数f（x）g（x）的奇偶性，并予以证明；（3）求使f（x）+g（x）0成立的x的集合【考点】函数奇偶性的判断；函数的定义域及其求法；函数恒成立问题 【专题】计算题；函数的性质及应用【分析】（1）利用对数的真数大于0，可得函数的定义域；（2）利用函数奇偶性的定义，结合对数的运算性质，可得结论；（3）结合对数的运算性质，分类讨论，即可求得使f（x）+g（x）0成立的x的集合【解答】解：（1）由题意得：，1x1所求定义域为x|1x1，xR；（2）函数f（x）g（x

22、）为奇函数令H（x）=f（x）g（x），则H（x）=loga（x+1）loga（1x）=loga，H（x）=loga=loga=H（x），函数H（x）=f（x）g（x）为奇函数；（3）f（x）+g（x）=loga（x+1）+loga（1x）=loga（1x2）0=loga1当a1时，01x21，0x1或1x0；当0a1时，1x21，不等式无解综上：当a1时，使f（x）+g（x）0成立的x的集合为x|0x1或1x0【点评】本题考查函数的奇偶性，考查解不等式，正确运用对数的运算性质是关键19已知f（x）是二次函数，若f（0）=0，且函数f（x+1）=f（x）+x+1（1）求f（x）的解析式；（2）

23、求f（x）在x1，2时的值域（3）令g（x）=f（x），判断函数g（x）是否存在零点，若存在零点求出所有零点，若不存在说明理由【考点】函数的零点与方程根的关系；函数解析式的求解及常用方法；函数的零点 【专题】综合题；函数的性质及应用【分析】（1）先设出函数的表达式，由题意得方程组解出即可；（2）根据二次函数的性质，结合函数的单调性，从而求出函数的值域；（3）g（x）=f（x）=0，可得x2+x=0，解方程，可得函数g（x）的零点【解答】解：（1）设f（x）=ax2+bx+c，f（0）=0，则c=0，由题意得：f（x+1）=f（x）+x+1，ax2+（2a+b）x+a+b=ax2+（b+1）x+1，解得：a=b=，f（x）=x2+x；（2）f（x）=（x+）2，x1，2，最小值为f（）=，最大值为f（2）=3，值域是（3）g（x）=f（x）=0，可得x2+x=0，x3+x22=0（x1）（x2+2x+2）=0x=1，即函数g（x）的零点是1【点评】本题考查了二次函数的求解析式问题，考查了函数的值域问题，是一道中档题20定义在D上的函数f（x），如果满足：对任意xD，存在常数M0，都有|f（x）|M成立，则称f（x）