“恒成立问题”解决的基本策略

1、1/ 10“恒成立问题”解决地基本策略一、 恒成立问题地基本类型在数学问题研究中经常碰到在给定条件下某些结论恒成立地命题函数在给定区间上某结论成立问题,其表现形式通常有：在给定区间上某关系恒成立。某函数 地定义域为全体实数 R。 某不等式地解为一切实数。某表达式地值恒大于 a 等等恒成立问题，涉及到一次函数、二次函数地性质、图象，渗透着换元、化归、数形结合、函数 与方程等思想方法，有利于考查学生地综合解题能力，在培养思维地灵活性、创造性等方面起到了 积极地作用因此也成为历年高考地一个热点 恒成立问题在解题过程中大致可分为以下几种类型：一次函数型；二次函数型；变量分离型；根据函数地奇偶性、周期性

2、等性质；直 接根据函数地图象二、 恒成立问题解决地基本策略一)两个基本思想解决“恒成立问题思路1、m _ f(x)在 X D 上恒成立 二 m_f(x)max思路 2、m地最大值或者最小值问题，我们可以通过习题地实际，采取合理有效地方法进行求解，通常可以考虑利用函数地单调性、函数地图像、二次函数地配方法、三角函数地有界性、均值定理、函数求导等等方法求函数 f、赋值型利用特殊值求解等式中地恒成立问题，常常用赋值法求解，特别是对解决填空题、选择题能很快求得 .例 1 .由等式 x4+ax3+a2x2+a3x+a4= (x+14+b(x+13+ b2(x+12+d(x+1+b4定义映射b1+b2+b

3、3+b4,则 f : (4,3,2,1(B.7C.-1D.0取 x=0,则 a4=l+bi+b2+b3+b4,又 a4=1,所以 bi+e+S+tn =0，故选 Dn如果函数 y=f(x=sin2x+acos2x地图象关于直线 x= _ 对称那么 a=f(- 一 ,即 a=-1,故选 B.44此法体现了数学中从一般到特殊地转化思想=ax+b(a 工 0,若 y=f(x在m,n内恒有 论等价于f(m) 0，十分简捷f(x0，则根据函数地图象2a+x 恒成立地 x 地取值范围x 及 a,关键在于该把哪个字母看成是一个变量，另一个作为常数显然可B . -1 C .2D -、.2 将 a 视作自变量，

4、则上述问题即可转化为在-2,2内关于 a 地一次函数大于 0 恒成立地问题 解：原不等式转化为(x-1a+x2-2X+10 在= (x-1a+x2-2X+1,贝 U f(a 在-2,2上恒大于 0,故有：一4x+0解得:/3或_1 0XA1 或 x c -1/ x3.即 x(a,-1U(3,+ s此类题本质上是利用了一次函数在区间m,n上地图象是一线段，故只需保证该线段两端点均在x 轴上方 或下方)即可.2、二次函数型涉及到二次函数地问题是复习地重点，同学们要加强学习、归纳、总结，提炼岀一些具体地方法，在今后地解题中自觉运用.大于 0 恒成立，则有a 0 且-00J(2)3/ 10a +1a2

5、-1 0,-1 =0 时，即当222 时,(a -1)2-4(a2-1)0a+1综上所述,f(x地定义域为 R 时，a 1,92例 4.已知函数f (x)二x ax a,在 R 上f(x)_ 0恒成立,求a地取值范围分析：y = f (x)地函数图像都在 X 轴及其上方，如右图所示：略解：，;=a2_4 3 _a l=a24a _12岂0 _ 6乞a岂2当a有a2a2149,-10a90,4/ 10变式 1：若x1-2,2时，f(x)_O恒成立，求a地取值范围分析：要使 2,2时，f(x) _ 0恒成立，只需f(x)地最小值g(a) 0即可.解：2_a3,令f (x)在1-2,2 上地最小值为

6、g(a).4a7当一2,即a 4时，g(a) =f (-2) =73a _0.a又:a 423.a不存在.2r a几a a当-22,即 一4 _a _4时，g(a)二f()a3_0.6_a_2又224：-4_a_4. -4_a_2a当2,即a：-4时,g (a)二f (2) = 7 a _ 0 . a _ -7又：a：-4. - 7 _ a：-4综上所述,一7 _a _2.变式 2:若xI-2,21 时,f (x)亠2恒成立，求a地取值范围.解法一：分析：题目中要证明f (x)兰2在2,2】上恒成立，若把 2 移到等号地左边，则把原题转化成左边二次函数在区间1-2,2时恒大于等于 o 地问题.

7、略解：f(x) =x2ax3 a - 2_0,即f (x) = x2ax 1 - a _ 0在1-2,21上成立.厶二 a24 1一a0 -2-220f (2) -0f(一2)二0一5兰a兰 一2冷2 2-a2或a-2.2 2综上所述,-5 _ a _2、2 - 2.解法二： 运用根地分布)当-a25:-2,即a 4时，g(a) = f (-2) =73a _2.a4,a不存在.3当一 2 _ -空岂22g(a) = f (-|)2-a 242 2 - 2 - a - 2 2 - 25/ 106/ 10.-4 _ a _ 2、2 - 2a当2,即a：4时,g(a) = f (2) = 7 a

8、_2,a _ -5 - 5 空 a：-4综上所述5 乞 a 乞 2. 2 2.此题属于含参数二次函数，求最值时，轴变区间定地情形，对轴与区间地位置进行分类讨论；还有与其相反地，轴动区间定，方法一样.对于二次函数在 R 上恒成立问题往往采用判别式法g(a恒成立，则 g(avf(xmin。若对于 x 取值范围内地任何一个数，都有 f(x恒成立，则 g(af(xmax.(其中 f(xmax和 f(xmin分别为 f(X地最大值和最小值例 5.已知三个不等式x2-4x 3：0，x2- 6x 8：0,2x2- 9x m：0.要使同时满足地所有 x 地值满足，求 m 地取值范围.略解：由得 2x是奇(偶函

9、数，则对一切定义域中地 x ,f(-x=-f(x(f(-x=f(x 恒成立；若函数 y=f(x地周期为 T,则对一切定义域中地 x,f(x=f(x+T 恒成立.5、直接根据图象判断若把等式或不等式进行合理地变形后，能非常容易地画岀等号或不等号两边函数地图象，则可以通过画图直接判断得岀结果.尤其对于选择题、填空题这种方法更显方便、快捷.例 7.对任意实数 X,不等式 x + 1 - X-2 a 恒成立，求实数 a地取值范围.分析：设 y=|x+1|-|x-2|,对任意实数 x,不等式 x+1-对任意实数x，不等式x+1+x-2a恒成立，求实数a,构造函数，画出图象，得 a3.利用数形结合解决恒成

10、立问题，应先构造函数，作岀符合已知条件地图形，再考虑在给定区间上函数与函数图象之间地关系，得岀答案或列岀条件，求岀参数地范围.三、在恒成立问题中，主要是求参数地取值范围问题，是一种热点题型，介绍一些基本地解题策略，在学习中学会把 问题分类、归类，熟练基本方法.39/ 1024(a1)2a(a 1)2x log22xlog2log220恒成立，求 a 地取值范围.aa +14a2a2a解：因为log2地值随着参数 a 地变化而变化，若设t =log2,a +1a +1则上述问题实质是当 t 为何值时，不等式(3 -1 )x2 2tx - 2t . 0恒成立”.这是我们较为熟悉地二次函数问题，它等

11、价于StnO2a求解关于 t 地不等式组：彳.解得tcO,即有log2上-0,易得苫=(2t)2+8t(3 t) c0a+10 : a：1.2、设点 Px,y )是圆x2 (y -1)2=4上任意一点，若不等式 x+y+c _ 0 恒成立，求实数 c 地取值范围.二)分离参数，化归为求值域问题3、若对于任意角 v 总有sin v - 2mcosv - 4m -1：0成立，求 m 地范围. 解：此式是可分离变量型，由原不等式得m(2cos?，4)：cos2二，cos2日又COST 20,则原不等式等价变形为2m恒成立.cosT +2因为f (R =cos二cos日+2(cos J 2)2-4(c

12、os2)4cos +24=cos v 24cos日+ 2_4 -4 =0三)变更主元，简化解题过程 4、若对于0乞m乞1,方程x2 mx - 2m -1二0都有实根，求实根地范围解：此题一般思路是先求岀方程含参数m 地根,再由 m 地范围来确定根 x 地范围，但这样会遇到很多麻烦，若以 m为主元,则m(x -2) = (1 -x)2,x=2,得m = “又0乞m乞1,即0乞x 2x 2根据边界原理知，2m必须小于f(r)co地最小值，这样问题化归为怎样求cos日+ 2cos2二地最小值.COST2即COST- 0时,有最小值为 0,故m：0.由原方程知10/ 101031+屮 3解之得x乞一1

13、或1 0恒成立，求x地取值范围时，不等式（x-122,y2=logax,则 y1地图象为右图所示地抛物线要使对一切 x 三（1,2,y11,并且必须也只需当 x=2 时y地函数值大于等于y地函数值. 故 loga21, .1-lg（2x-6a-4=0 有唯一解，求实数 a 地取值范围.解：令 y1=x2+4x=x+2）2-4,y2=2x-6a-4,y地图象为一个定抛物线屮地图象是 k=2,而截距不定地直线，要使y和屮在 x 轴上方有唯一交点，则直线必 须位于 I1和 I2之间. 包括 l1但不包括 l2）当直线为 l1时，直线过点 v-4,0 ）,此时纵截距为-8-6a-4=0,a=2。2 2

14、当直线为 l2时，直线过点=lg（2x-6a-4,从而得 x2+4x=2x-6a-40,注意到若将等号两边看成是二次函数 y= x2+4x及一次函数 y=2x-6a-4,则只需考虑这两个函数地图象在x 轴上方恒有唯一交点即可.五）合理联想，运用平几性质9、 不论 k 为何实数，直线y = kx 1与曲线x2 y2- 2ax a2- 2a - 4 = 0恒有交点，求 a 地范围.解：（x-a）2屮=4 - 2a,Ca,0）,当a-2时，联想到直线与圆地位置关系，则有点A0,1）必在圆上或圆内，即点A0,1）到圆心距离不大于半径，则有a2 1冬2a 4（a弐一2）,得-1乞a乞3分析：因为题设中有

15、两个参数，用解读几何中有交点地理论将二方程联立,用判别式来解题是比较困难地.若考虑到直线过定点 A0,1 ）,曲线为圆.是否为“接近函数”？如果是，请给出证明；如果不是，请 说明理由.解：因为|f (xj - f(X2)罔fmax- fmin|32函数 f (x) = x -x a(x -1,1, aR导数是 f (x) = 3x -1当 3x2-1 =0 时,即 x.33.3当 0：x：- 时，f (x) =3x2-1：0;当 x 二时,f (X)=3X2-1 0,33故 f(x)在0,1内的极小值是 f(仝)二 a-39同理,f (X)在-1,0内的极大值是 f -ya 2_3;因为 f

16、(1) = f (T)二 a,所以函数 f (x) = x3- x a(x 1,1, a R)的最大值是Q / QQ QA / Qa 9,最小值是 a -一 9,故 | f(X1) - f (X2) |：| fmax- fmin卜 一 9_：1999所以函数 f (x) =x3-X a(x -1,1, a R)是“接近函数”7、对于函数f (x) =ax (bT)x b - 2(a = 0),若存在实数x,使f (x) =x成立，则称x为f (x)地不动点.1 )当a=2,b= 2 时,求f (x)地不动点；2 )若对于任何实数 b,函数f(x)恒有两相异地不动点，求实数a地取值范围；3 )在=x3ax2bx c,在 x=1 与 x=-2 时，都取得极值1 )求 a、b 地值;1 1恒成立，求实数 c 地取值范围c 2解、1)a=3,b=-6. m得22 c 2或c 2 214/ 10y =kx2是线段 AB 地垂直平分线，求实数 b 地取值范围.2a2+1解f (x) ax2 (b 1)x b -2(a = 0),15/ 10V当a=2,b= -2时，f (x) = 2x2- x 4.设x为其不动点，即2x2_ x - 4 = X.则2x2_2x_4 =0. . %