函数的单调性PPT

1、问题：问题：1.说出气说出气温在哪些温在哪些时间段内时间段内是升高的是升高的.2.怎样用怎样用数学语言数学语言刻画刻画“随着时随着时间的增大气温逐步提高间的增大气温逐步提高”这一特这一特征？征？学生活动学生活动f x oxy问题问题1：观察下列函数的图象，指出：观察下列函数的图象，指出图象变化的趋势图象变化的趋势. 在区间（在区间（，+ ）内，）内， 函数函数y2x+1图象在该区间图象在该区间内呈逐渐上升趋势内呈逐渐上升趋势问题问题1：观察下列函数的图象，指出：观察下列函数的图象，指出图象变化的趋势图象变化的趋势.在区间（在区间（，1 ）内，）内， 在区间（在区间（1 ，+ ）内，）内， 函数

2、函数y（x1）21 图象在该区间内呈逐图象在该区间内呈逐 渐下降趋势渐下降趋势.函数函数y（x1）21 图象在该区图象在该区间内呈逐间内呈逐 渐上升趋势渐上升趋势.问题问题1：观察下列函数的图象，指出：观察下列函数的图象，指出图象变化的趋势图象变化的趋势.在区间（在区间（0 ，+ ）内，）内， 函数函数y 图象在图象在该区间内呈逐该区间内呈逐 渐下降渐下降趋势趋势.x1函数函数y 图象在图象在该区间内呈逐该区间内呈逐 渐下降渐下降趋势趋势.x1函数的这种性质称为函数的这种性质称为函数的单调性函数的单调性.问题问题3：如何用数学语言来准确地描述：如何用数学语言来准确地描述函数的单调性呢？函数的单

3、调性呢？三、建构数学三、建构数学例如，在区间（例如，在区间（1， + ）上当）上当x的的值增大时，函数值增大时，函数y的值也增大的事实的值也增大的事实应当如何表述？应当如何表述？ 能不能由于能不能由于x=1时，时，y=3；x=2时，时，y=5，就说随着，就说随着x的增大，函数值的增大，函数值y也也随着增大？随着增大？xoyy=f(x)x1x2f(x2)f(x1)xoyx1x2f(x1)f(x2)y=f(x)（2 2）函数单调性是针对某个）函数单调性是针对某个区间区间而言的，是一个局部性质而言的，是一个局部性质; ;（1 1）如果函数）如果函数 y =f(x)在区间在区间i i是单调增函数或单调

4、减函数，那么是单调增函数或单调减函数，那么就说函数就说函数 y = =f( (x) )在区间在区间i i上具有单调性。上具有单调性。在单调区间上，在单调区间上，增函数的图象是增函数的图象是上升上升的，减函数的图象是的，减函数的图象是下降下降的。的。判断判断1 1：函数函数 f (x)= x2 在在 是单调增函数是单调增函数；, xyo2yx（2 2）函数单调性是针对某个）函数单调性是针对某个区间区间而言的，是一个局部性质而言的，是一个局部性质; ;（1 1）如果函数）如果函数 y =f(x)在区间在区间i i是单调增函数或单调减函数，那么是单调增函数或单调减函数，那么就说函数就说函数 y =

5、=f( (x) )在区间在区间i i上具有单调性。上具有单调性。在单调区间上，在单调区间上，增函数的图象是增函数的图象是上升上升的，减函数的图象是的，减函数的图象是下降下降的。的。判断判断2 2：定义在：定义在r上的函数上的函数 f ( (x) )满足满足 f (2) (2) f(1)(1)，则函数则函数 f ( (x) )在在r上是增函数；上是增函数；（3 3） x 1, x 2 取值的取值的任意任意性性yxo12f(1)f(2)例例：下图是定义在闭区间：下图是定义在闭区间-5，5上的函数上的函数y=f(xy=f(x) )的图象，根据图象说出的图象，根据图象说出y=f(xy=f(x) )的单

6、调区间，的单调区间，以及在每一个单调区间上，以及在每一个单调区间上， y=f(xy=f(x) )是增函数还是增函数还是减函数。是减函数。解：函数解：函数y=f(xy=f(x) ) 的单调的单调区间有区间有-5，-2)，-2，1)，1，3)，3，5，其中其中y=f(xy=f(x) )在区间在区间-5，-2)， 1，3)上是上是减函数，在区间减函数，在区间-2，1)， 3，5上是上是增函数。增函数。四、数学应用四、数学应用. 例例2 小明从家里出发，去学校取书，顺路将自行车送还王伟同学小明骑了30分钟自行车，到王伟家送还自行车后，又步行10分钟到学校取书，最后乘公交车经过20分钟回到家这段时间内，

7、小明离开家的距离与时间的关系如图所示指出这个函数的单调性 例例3.观察下列函数的图象，并指出它们是否为定义观察下列函数的图象，并指出它们是否为定义域上的增函数：域上的增函数： 能不能不通过观察函数的图象就能知道能不能不通过观察函数的图象就能知道函数的单调性呢？函数的单调性呢？ 在不太好画出函数的图象时如何判断在不太好画出函数的图象时如何判断函数的单调性呢？函数的单调性呢？ 函数函数y1/x2(x0)的是单调增函数，的是单调增函数，还是单调减函数呢？还是单调减函数呢？）上是增函数。，（在区间证明函数 xxf12)( 例例4 4内任意是区间设),(x,x 21)x2(x) 1x2() 1x2()x

8、( f)x( f2121210 x ,2121xxx0)x(f)x(f21)x(f)x(f21即),(1x2)x(f在区间则函数证明：证明：。两个实数，且 xx 21是增函数。 （条件）（条件）（论证结果）（论证结果）（结论）（结论）1. 在这个区间上任取两个自变在这个区间上任取两个自变 量量x1、x2, 且且x1 x2 .2.作差（作商）并将差作差（作商）并将差f(x1) f(x2) 化简化简变形变形成成最简最简形式形式.3.判断符号判断符号.4.得出结论得出结论.用函数单调性定义判定或证明函用函数单调性定义判定或证明函数单调性的数单调性的一般步骤一般步骤：. 分析分析 对于用解析式表示的函

9、数，其单调性可以通过定义来判断，也可以作出函数的图像，通过观察图像来判断无论采用哪种方法，都要首先确定函数的定义域例例5 判断函数y=4x-2的单调性 1 1请根据下图描述某装配线的生产效率请根据下图描述某装配线的生产效率与生产线上工人数量间的关系与生产线上工人数量间的关系生产效率生产效率工人数量工人数量o 2. 2.根据图象说出函数的的单调区间，以及根据图象说出函数的的单调区间，以及在每一单调区间上，函数是增函数还是减函在每一单调区间上，函数是增函数还是减函数数y1 2 3 4 5xy=（x）-1 o.3.3.已知函数已知函数图像如下图所示图像如下图所示（1）根据图像说出函数的单调区间以及函

10、数在）根据图像说出函数的单调区间以及函数在 各单调区间内的单调性；各单调区间内的单调性；（2）写出函数的定义域和值域）写出函数的定义域和值域 本节课主要学习了以下内容：本节课主要学习了以下内容： 2 2根据定义证明函数的单调性的主要步根据定义证明函数的单调性的主要步骤骤 1 1函数的单调性及单调区间的概念；函数的单调性及单调区间的概念；从上面的观察分析，能得出什么结论？从上面的观察分析，能得出什么结论？ 从上面的观察分析可以看出：不同的函数，从上面的观察分析可以看出：不同的函数，其图象的变化趋势不同，同一函数在不同区间上其图象的变化趋势不同，同一函数在不同区间上变化趋势也不同，函数图象的这种变

11、化规律就是变化趋势也不同，函数图象的这种变化规律就是函数性质的反映，这就是我们所要研究的函数的函数性质的反映，这就是我们所要研究的函数的一个重要性质一个重要性质如何用如何用x与与f(x)来描述上升的图象？来描述上升的图象？oxy如何用如何用x与与f(x)来描述上升的图象？来描述上升的图象？oxy如何用如何用x与与f(x)来描述上升的图象？来描述上升的图象？oxy如何用如何用x与与f(x)来描述上升的图象来描述上升的图象？x2x1oxyx1x2如何用如何用x与与f(x)来描述上升的图象？来描述上升的图象？x2x1oxyyf(x)x1x2如何用如何用x与与f(x)来描述上升的图象来描述上升的图象？

12、x2x1oxyyf(x)f(x1)f(x2)x1x2如何用如何用x与与f(x)来描述上升的图象？来描述上升的图象？x2x1oxyyf(x)f(x1)f(x2)x1x2如何用如何用x与与f(x)来描述上升的图象？来描述上升的图象？x2x1oxyyf(x)f(x1)f(x2)x1x2 f(x1)f(x2)如何用如何用x与与f(x)来描述上升的图象？来描述上升的图象？x2x1oxyyf(x)f(x1)f(x2)x1x2 f(x1)f(x2)如何用如何用x与与f(x)来描述上升的图象？来描述上升的图象？x2x1oxyyf(x)f(x1)f(x2)如何用如何用x与与f(x)来描述上升的图象？来描述上升的

13、图象？x2x1oxyyf(x)f(x1)f(x2)在给定区间上任取在给定区间上任取x1, x2x1x2 f(x1)f(x2)如何用如何用x与与f(x)来描述上升的图象？来描述上升的图象？x2x1oxyyf(x)f(x1)f(x2)在给定区间上任取在给定区间上任取x1, x2x1x2 f(x1)f(x2)如何用如何用x与与f(x)来描述上升的图象？来描述上升的图象？x2x1oxyyf(x)f(x1)f(x2)在给定区间上任取在给定区间上任取x1, x2函数函数f (x)在给定在给定区间上为增函数区间上为增函数.x1x2 f(x1)f(x2)如何用如何用x与与f(x)来描述上升的图象？来描述上升的

14、图象？x2x1oxyyf(x)f(x1)f(x2)在给定区间上任取在给定区间上任取x1, x2如何用如何用x与与f(x)来描述下降的图象？来描述下降的图象？x2x1oxyyf(x)f(x1)f(x2)函数函数f (x)在给定在给定区间上为增函数区间上为增函数.x1x2 f(x1)f(x2)如何用如何用x与与f(x)来描述上升的图象来描述上升的图象？x2x1oxyyf(x)f(x1)f(x2)在给定区间上任取在给定区间上任取x1, x2如何用如何用x与与f(x)来描述下降的图象？来描述下降的图象？x2x1oxyyf(x)f(x1)f(x2)函数函数f (x)在给定在给定区间上为增函数区间上为增函

15、数.x1x2 f(x1)f(x2)如何用如何用x与与f(x)来描述上升的图象？来描述上升的图象？x2x1oxyyf(x)f(x1)f(x2)在给定区间上任取在给定区间上任取x1, x2如何用如何用x与与f(x)来描述下降的图象？来描述下降的图象？x2x1oxyyf(x)f(x1)f(x2)函数函数f (x)在给定在给定区间上为增函数区间上为增函数.在给定区间上任取在给定区间上任取x1, x2x1x2 f(x1)f(x2)如何用如何用x与与f(x)来描述上升的图象来描述上升的图象？x2x1oxyyf(x)f(x1)f(x2)在给定区间上任取在给定区间上任取x1, x2如何用如何用x与与f(x)来

16、描述下降的图象？来描述下降的图象？x2x1oxyyf(x)f(x1)f(x2)函数函数f (x)在给定在给定区间上为增函数区间上为增函数.x1x2 f(x1)f(x2)在给定区间上任取在给定区间上任取x1, x2x1x2 f(x1)f(x2)如何用如何用x与与f(x)来描述上升的图象来描述上升的图象？x2x1oxyyf(x)f(x1)f(x2)在给定区间上任取在给定区间上任取x1, x2如何用如何用x与与f(x)来描述下降的图象来描述下降的图象？x2x1oxyyf(x)f(x1)f(x2)函数函数f (x)在给定在给定区间上为增函数区间上为增函数.函数函数f (x)在给定在给定区间上为减函数区

17、间上为减函数.x1x2 f(x1)f(x2)在给定区间上任取在给定区间上任取x1, x2一般地，设函数一般地，设函数f(x)的定义域为的定义域为i: 如果对于定义域如果对于定义域i i内某个区间内某个区间d d上的任意两个自变量上的任意两个自变量的值的值 ，当，当 时，都有时，都有 ，那么就说函，那么就说函数数 在区间在区间d d上是上是21xx )()(21xfxf)(xf21,xx一般地，设函数一般地，设函数f(x)的定义域为的定义域为i: 如果对于定义域如果对于定义域i i内某个区间内某个区间d d上的任意两个自变量上的任意两个自变量的值的值 ，当，当 时，都有时，都有 ，那么就说函，那

18、么就说函数数 在区间在区间d d上是上是21xx )()(21xfxf)(xf21,xx 如果函数如果函数yf（x），在区间），在区间d上是增函数或上是增函数或减函数，那么就说函数在这个区间上减函数，那么就说函数在这个区间上具有（严格）具有（严格）单调性单调性，区间，区间d叫做叫做yf（x）的）的单调区间单调区间 在单调区间上增函数的图象是上升的，减在单调区间上增函数的图象是上升的，减函数的图象是下降的函数的图象是下降的 证明函数单调性的证明函数单调性的一般步骤一般步骤： 取值取值：设：设x1 ，x2是给定区间内的两个任意是给定区间内的两个任意值，且值，且x1x 2）；）； 作差作差：作差：作差f(x1)f(x2)，并将此差式变形，并将此差式变形（要注意变形到能判断整个差式符号为止）；（要注意变形到能判断整个差式符号为止）； 定号定号：判断：判断f(x1)f(x2)的正负（要注意说的正负