一致收敛判别法

1、一致收敛判别法柯西一致收敛准则m判别法狄利克雷判别法阿贝尔判别法定理定理1函数项级数一致收敛一致收敛的的柯西准则柯西准则一致收敛在区间函数项级数i )(1nnxu. .,n,n, 0tsixpnnn.)()(xsxsnpn或. .,n, 0tsixnmnn.)()(xsxsmn函数项级数一致收敛的一致收敛的必要条件必要条件. 1p必要条件函数项级数收敛的一个的得在定理中令:推论一致收敛在区间函数项级数i )(1nnxu必要条件上在它的通项函数列i)(xun0一致收敛于.,:非常方便非一致收敛性判断函数项级数的这个必要条件常被用来注)(. ., 1,n, 01xutsixpnnnn非一致收敛的在

2、区间上非一致收敛于在逆否命题i )(0,i)(:1nnnxuxu5例. ), 0(ne :1nnx-一致收敛上非在函数项级数证明:证明0.)(0,)(上非一致收敛于在只需证明它的通项nxnnexu有即), 0(1, 01000nxnnnn. 1)1(10100000enennunnn. ), 0(ne ,1nnx-一致收敛上非在函数项级数于是定理定理2 (m判别法)(优级数判别法). )( , , )(111上一致收敛区间在级数则称函数项有的正项级数，若为收敛上区间定义在设有函数项级数ixuixnnaixunnnnnn,)(nnaxu注注:魏尔斯特拉斯魏尔斯特拉斯(weierstrass)判别

3、法判别法. )( )(,)(1):1111nnnnnnnnnnxuiaixuaaxu上优于区间在或称上的区间在称为函数项级数的数项级数满足不等式注优级数. ,m,m)2(绝对收敛此函数项级数一定是一致收敛的判别法判别函数项级数凡是能用别法判别法是绝对收敛的判例例6 讨论函数项级数讨论函数项级数的的一致收敛性一致收敛性7例定理定理12 狄利克雷判别法狄利克雷判别法.,11收敛则级数满足下列条件若级数nnnnnnbaba. 0lim(1)nnnaa 单调减少，且数列有界，的部分和数列级数)2(1nnnbbmbbbnnmnn21b, 0有即定理定理13 阿贝尔判别法阿贝尔判别法单调有界；数列) 1

4、(na.,11收敛则级数满足下列条件若级数nnnnnnbaba.)2(1收敛级数nnb引理引理(分部求和公式，分部求和公式，也称也称阿贝尔阿贝尔(abel)变换变换),), 1(是两组实数与设nibaii 成立：则有如下分部求和公式若令, 0), 1(0211 nkbbbbkikik.)()()()(112321211111nnnnnnnniiiiniiiaaaaaaaaaaba11111223112)()()()(niiiinnnnnnnaaaaaaaaaaxy4a3a2a5a1a2b1b3b4b5b5432151iiiba.,竖条矩形面积之和为高的所有以为底表示以iiab551511)(a

5、aaiiii推论推论(阿贝尔引理阿贝尔引理) 若若)(,)(212121nnnaaaaaaaaai 或是单调数组则有,),1 (, 0)(1mbnkkmiiikik )2(1111nniiinnaambababamax3iaama定理定理3 狄利克雷判别法狄利克雷判别法.)()(,)()(11在区间一致收敛则函数项级数满足下列两个条件若函数项级数xbxaxbxannnnnn0).)(0()(1)xaiixxann一致收敛于且在区间是单调的，对每一个函数列一致有界，在区间的部分和函数列函数项级数ixbxbnnn)()()2(166定理定理4 阿贝尔判别法阿贝尔判别法.)()(,)()(11在区间一致收敛则函数项级数满足下列两个条件若函数项级数xbxaxbxannnnnn.)(1)一致有界且在区间是单调的，对每一个函数列iixxan一致收敛，在区间函数项级数ixbnn1)()2(一致收敛，在区间函数项级数由ixbnn1)()2(. .,n,n, 0tsixpnnn即.)()(1xbxbpnn及阿贝尔引理可得一致有界是单调的，且在区间对每一个函数列由.)(1)iixxan.