两个重要极限 (3)ppt课件

1、1xxxsinlim0极限xxx)11 (lim极限1-42v预备知识预备知识1.有关三角函数的知识有关三角函数的知识00 sin sintancosxxx 2.有关对数函数的知识有关对数函数的知识lnlogexx 以以e为底的指数函数为底的指数函数y=ex的反函数的反函数 y = logex，叫做自然对数，在工程技术中经常被运用，常简叫做自然对数，在工程技术中经常被运用，常简记为记为 y = ln x. 数数 e 是一个无理数，它的前八位数是：是一个无理数，它的前八位数是： e = 2.718 281 8 cos0=1 |sin| 1 x |cos| 1 x 33.有关指数运算的知识有关指数

2、运算的知识()nnnaba b n mnmaa a mnmnaa 44.极限的运算法则极限的运算法则 limlimlim(1)( ()( )()( )fxg xfxg x2) lim( )( )lim ( ) lim ( )(f xg xf xg x ( )lim ( )lim( )lim ( ).f xf xg xg x lim ( )(3)0g x 若若， (4) lim( )lim( )cf xcf x (5) lim ( )lim( )kkf xf x 51. 1. 夹逼准则夹逼准则准则准则满足下列条件满足下列条件: :nnnyxznnn00(1)(N,),lim)2(aynn ,li

3、maznn nx.limaxnn 如果数列如果数列那么数列那么数列的极限存在的极限存在,且且,nnnzyx及及6x 1 0.5 0.1 0.01 0.001 . 0.84147 0.95885 0.99833 0.99998 0.99999981sinlim0 xxxxxsin0sinlim?xxxx 1 0.5 0.1 0.01 0.001 . 0.84147 0.95885 0.99833 0.99998 0.9999998xxsinv第一个重要极限第一个重要极限7OxBACD0sinlim1.xxx证明证证 sintanxxx即sin (sin0),xx 各式同除以因为得,cos1sin

4、1xxx . 1sincos xxx即即0sinlim1.xxx800tansin1limlim()cosxxxxxxx00sin1limlimcosxxxxx解解1 11 0sin1lim()cosxxxx这个结果可以作为公式使用这个结果可以作为公式使用1tanlim0 xxx0tanlimxxx例例 1求求9例例 2 5, 0 , 0 xtxt令当时 有0sin,5limttt所以 原式注：在运算熟练后可不必代换，直接计算：注：在运算熟练后可不必代换，直接计算：0sin5 limxxx求0sin5 limxxx解：05sin5lim5xxx0sin55lim5xxx0sin55lim5 1

5、55xxx 0sin5limxxx5 15 10 练习练习1. 求下列极限求下列极限:00sin3 1 limsin52 lim3xxxxxx（）（ ）00sin33sin3 limlim3xxxxxx解：0sin33lim3xxx3 13 00sin5sin55 limlim()( )353xxxxxx解：55133 110sin lim1 :xxx使用时须注意(1)类型：(2)推广形式:sinlim1某过程 lim0 某过程（）0 lim1si(3) nxxx等价形式：00型1221sin(1) lim1xxx求211sin(1)sin(1)limlim1(1)(1)xxxxxxx11li

6、m1) 1sin(lim11xxxxx211111 例例 3解解1 lim sinxxx求例例 41lim sinxxxxxx11sinlim1解解1sin(1)1lim11xxxx13xxxsinlim1sinlim0 xxx1limsinxxx10 |sin| 1 xxx 当 时且sin lim0 xxx故14练习练习3 3：下列等式正确的是（：下列等式正确的是（ ） sin. lim1;xxAx1. lim sin1;xBxx 01. lim sin1;xCxx1sin. lim1xxDx B练习练习4 4：下列等式：下列等式不不正确的是正确的是（ ） A; 1sinlim0 xxx B

7、; 1sinlim0 xxx C; 11sinlimxxx D11sinlim0 xxxD150. lim1xxAx0. lim1xxBx01. lim sin1xCxxsin. lim1xxDx练习练习5. 下列极限计算正确的是（下列极限计算正确的是（ ）B练习练习6. 已知已知1tan)(xxxf当（当（ ）时，）时，)(xf为无穷小量为无穷小量. 0Ax . 1Bx . Cx . Dx A16xxxfsin1)()(xf，当，当 时，时，为无穷小量为无穷小量 sinlim_xxxx0sinlim_xxxx练习练习7. 已知已知练习练习8.练习练习9.0 x 1017x1x2x3x1 nx

8、nx 2. 2. 单调有界准则单调有界准则准则准则 几何解释几何解释: :AM单调有界单调有界数列数列必有极限必有极限. .:nx对数列对数列单调有界单调有界有极限有极限有界有界18 x -10 -100 -1000 -10000 -100000 2.868 2.732 2.720 2.7183 2.71828)11 (xx x 10 100 1000 10000 100000 2.594 2.705 2.717 2.718 2.71827)11 (xxexxx )11(lim?)11 (limxxxv第二个重要极限第二个重要极限19exxx )11(lim,1xt 令令1lim(1)xxx

9、10lim(1)ttte)1 ()1 (10lim(1)ttte , 为某过程推中的无穷小量广1lim (1)e某过程201 lim(1) :xxex使用须注意1型(2)推广形式:1lim(1)e 某某过过程程10 lim(3)(1) ttte等价形式：(1)类型: lim0 某某过过程程（）21.11lim2xxx 计计算算解解因为因为， 1111212 xxxx，且e11limxxx所以，有所以，有21211lim11limxxxxxx.e11lim2121 xxx例例 122 .1lim20 xxx 计计算算例例 2 解解方法一方法一令令 u = - -x， 因为因为 x 0 时时 u

10、0， uuxxux2020)1(lim1lim 120lim(1) uuu 2e 所以所以120lim(1) uuu 23方法二方法二掌握熟练后可不设新变量掌握熟练后可不设新变量 12200lim 1lim(1)xxxxxx 120lim(1)xxx 2e 243311lim()lim(1)xxxxxxx 31lim()xxxx 例例331lim1)xxx（3e解解25.)21(lim10 xxx 计计算算练习练习1.1.解解221010)21(lim)21(lim xxxxxx.e2 26.)1(limxxxx求.e1)11 (lim1xxx练习练习2.xxxxxxx)11 (1lim)1(

11、lim解解27两个重要极限两个重要极限:; 1sinlim10 某过程某过程.)1(lim210e 某过程某过程,设为某过程中的无穷小量v小结小结28xxx3cotlim30、xxxsinlim10、xxx3sin2sinlim20、练练 习习 题题xxxsinlim0323sin322sinlim3sin2sinlim00 xxxxxxxx31313cos3sin3lim0 xxxx29_)1(lim62xxxx、._)11 (lim7xxx、2211limexxxe1._2sinlim4xxx、._)1 (lim510 xxx、0e3022lim3xxxx 计计 算算思考题思考题解解因为因

12、为.3113)1(332 xxxxx所以令所以令 u = x - - 3 ，当当 x 时时 u ，511lim32lim uuxxuxx. e1e1111lim5 uuuu因此因此31第一章第一章 作业作业232两个重要极限的证明两个重要极限的证明33OxRABC.1sinlim0 xxx证证明明证证 AOB 面积面积 扇形扇形AOB 面积面积 AOC 面积面积, 即即,tan22sin2222xRxRxR 得得各各式式同同除除以以正正值值,sin22xR,cos1sin1xxx . 1sincos xxx即即例例两个重要极限的证明34. 1coslim0 xx下下面面我我们们来来证证明明因为

13、因为, 11lim, 1coslim0)cos1(lim 000 xxxxx又又因因为为可可知知，推推得得所所以以由由定定理理且且6, 0lim0 xx 所以再次所以再次运用定理运用定理 6 即可得即可得.1sinlim0 xxx,2122sin2sin2xxxx 2sin2cos102xx 35重要极限1 . 1sinlim 0 xxx其中的两个等号只在x=0时成立.(7) |,tan|sin| ,2|:xxxx时当先证不等式证设圆心角 过点A作圆的切线与OB的延长线交于点C，又作,OABD , xAOB 则sin x =BD，tan x=AC，36,OACOABOABSSS扇形.tansi

14、n xxx即从而有有时而当,20 ,02xx),tan()sin(xxx.tansin xxx即. |tan|sin| 2|0 xxxx时，有即当,tan2121sin21 20 xxxx时，当37. |tan|sin| ,0 xxxx有时当这就证明了不等式(7).的各端，得除不等式时，用当|tan|sin|sin|2|0 xxxxx|,sintan|sin|1 xxxx,cos1sin1 xxx即(8) . 1sincosxxx从而有38, 11lim , 1)21 (lim 020 xxx因为. 1sin21 )8(2xxx式得由上式与,21)2(21sin21cos 222xxxx注意.

15、 1sinlim 0 xxx由夹逼准则，可得39. e)11 (limxxx重要极限2从而都以整数变量趋于和时，当,1xxx1)11 ()11 ()111 (xxxxxx. e1e )111 ()111 (lim)111 (lim11xxxxxxx，所以，都有因为对任何实数11xxxx证. e1e )11 ()11 (lim)11 (lim 1xxxxxxx又40. e)11 (lim xxx由夹逼准则知，于是时，则当设下面证txxtxxx. e)11 (limttxxtx)11 (lim)11 (limtttt)1(lime,1e)111 ()111 (lim1tttt41. e)11 (l

16、im e)11 (lime)11 (limxxxxxxxxx，得及由. e)1 (lim 0110zzzzxxz，从而有时，则当在上式中，令这是重要极限2常用的另一种形式.4257) 1(lim1233xxxx求极限例分析：此是一个和式的极限，显然第一项及第二项函数中分子、分析：此是一个和式的极限，显然第一项及第二项函数中分子、分母的极限均存在且分式函数中分母的极限不等于零，因此可以分母的极限均存在且分式函数中分母的极限不等于零，因此可以直接利用极限的运算法则求解。直接利用极限的运算法则求解。62485373) 13(57lim) 1(lim57) 1(lim232333233解：xxxxxx

17、xxx极限综合练习题极限综合练习题(一一)43. 01coslim1cos1cos1|1cos|00lim00 xxxxxxxxxxx是无穷小量，于是有知，是有界变量，由性质可，即又时的无穷小量。是，即解：因为01 lim cosxxx例2.44例例3 求下列极限：求下列极限：52312lim)2(3213lim) 1 (22232xxxxxxxxx32523112lim52312lim)2(01032113lim3213lim) 1 (222233232xxxxxxxxxxxxxxxxxxx解：45)(lim0011)(40 xfxxxxfx，求设例解：解： 当当x从从0的左侧趋于的左侧趋于

18、0时，时， 1) 1(lim)(lim00 xxfxx 当当x从从0的右侧趋于的右侧趋于0时时,11lim)(lim00 xxxf不存在。，所以因为)(0lim)(0lim)(0limxfxxfxxfx46例例5 求下列极限求下列极限11lim)2(965lim) 1 (220223xxxxxxx分析分析：本例中均是求分式的极限问题，且在各自的极限过程中，本例中均是求分式的极限问题，且在各自的极限过程中，分子、分母的分子、分母的 极限均为零，不能直接用极限商的运算法则。求极限均为零，不能直接用极限商的运算法则。求解此类极限的关键是找出分子、分母中共同的致零因式，把它解此类极限的关键是找出分子、

19、分母中共同的致零因式，把它们约去后再求解。们约去后再求解。寻找致零因式常用的方法为：寻找致零因式常用的方法为： 若是有理分式的极限，则需把分子分母、分别分解因式若是有理分式的极限，则需把分子分母、分别分解因式（一般采用：（一般采用：“十字相乘法十字相乘法”、公式法、或提取公因式法）；、公式法、或提取公因式法）； 若是无理分式的极限，则需要把分子、分母有理化。若是无理分式的极限，则需要把分子、分母有理化。47解：（解：（1）把分子分母分解因式，消去致零因式，再求极限。）把分子分母分解因式，消去致零因式，再求极限。61332332lim)3)(3()3)(2(lim965lim33223xxxxx

20、xxxxxxx再求极限。去致零因式，把分母有理化后，消分子、分母同乘以) 112()2(x2) 11(lim11) 11(lim11lim202220220 xxxxxxxxx48)(sinsinlim60均为常数，求极限例babxaxx两个函数乘积的极限，于是可把上极限化为解：因bxxxaxbxaxsinsinsinsin求解。又当x0时，ax0，bx0，于是有bababxbxbaxaxabxxxaxbxaxxxxxx1111sin1lim1sinlimsinlimsinlimsinsinlim00000txttsinlim7求极限例xxxtxtxtxttttxtxtt1)sin(limsi

21、nlim0是无穷小量，于是有，即时，是变量，当解：在极限过程中，49220sin11lim8xxx求极限例分析：分析：当当x0时，分子，分母的极限均为时，分子，分母的极限均为0，且分子是一个无理函，且分子是一个无理函数，分母是正弦函数，于是可先把分子有理化（分子，分母同乘数，分母是正弦函数，于是可先把分子有理化（分子，分母同乘以以 ，然后看是否可利用第，然后看是否可利用第1个重要极限。个重要极限。 ) 11(2 x21211111limsinlim) 11(sin11limsin11lim202202220220解：xxxxxxxxxxxx)()1 (lim9为常数求极限例knknn个重要极限

22、求解。，即可利用第量配成互为倒数的形式再把无穷小量与无穷大型，无穷小是无穷小量，符合“，即时，分析：当”）无穷大21 (0nknknkkknnnnenknk)1(lim)1 (lim解：50)()1 (lim1010为常数求极限例kkxxx极限求解。个重要”，即可利用第”的倒数“配成“”型，再把无穷小）“于是无穷大量，即极限属是无穷小量，时，分析：当无穷大2111 (10kxkxxxkxxkkkxxxxekxkx)1(lim)1 (lim1010解：3)5(lim11xxxx求极限例5355331)51(lim)51 (lim)51 (lim)5(limexxxxxxxxxxxx解：51nnn

23、n)13(lim12求极限例444141)11 (lim)11(lim)11 (lim)13(lim14114141141131eetttnntttttnntntntnnnnnn，于是有：时，且当，即故令因为：解法解法2：413133)11(lim)31(lim)11 (lim)31 (lim)1131(lim)13(limeeennnnnnnnnnnnnnnnnnnn52xxxx31) 3(1lim130求极限例形后再求极限。式，一般采用先通分变”型未定属“均趋于无穷大，此极限与时，分析：当xxxx3131091)3(31lim)3(3)3(3lim31)3(1lim000 xxxxxxxx

24、xx解：xxxxtancos1lim140求极限例分析分析：当当 x0时，分式中分子分母的极限均为时，分式中分子分母的极限均为0，不能直接使用极，不能直接使用极限的运算法则，但前面所介绍限的运算法则，但前面所介绍“分解因式分解因式”、“有理化有理化”的方法在的方法在此又不适用。能否利用第此又不适用。能否利用第1个重要极限呢？这就需要首先利用三角个重要极限呢？这就需要首先利用三角恒等式对函数进行适当的变形。恒等式对函数进行适当的变形。53xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxcos1cossin)cos1 (cossinsin)cos1 (tancos1)cos1 (tan)cos1)(co

25、s1 (tancos122解：21211cos1coslimsinlimtancos1lim000 xxxxxxxxxx所以，1sinlim152xxxx求极限例解：因当解：因当x时，时，sinx的极限不存在，故不能用极限的运算法则的极限不存在，故不能用极限的运算法则求解，考虑到求解，考虑到 54是无穷小量，即的性质，是有界变量，由无穷小，即是无穷小量，而时，即xxxxxxxxsin12sin1sin1201sinlim2xxxx0111lim1lim22xxxxxx55)4421(lim22xxx2224lim()(2)(2)4xxxxx22lim(2)(2)xxxx211lim(2)4xx

26、解1. 求极限求极限:)4421(lim22xxx极限综合练习题极限综合练习题(二二)561) 1sin(lim21xxx 解:利用第一重要极限和函数的连续性计算，即 ) 1)(1() 1sin(lim1) 1sin(lim121xxxxxxx11lim1) 1sin(lim11xxxxx2111112.求下列极限：求下列极限：57解:对分子进行有理化，然后消去零因子，再利用四则运算法则和第一重要极限计算，即xxx33sin9lim0 xxx33sin9lim0)33sin9()33sin9)(33sin9(lim0 xxxxx003sin31limlim39sin33xxxxx216133.

27、 求下列极限：求下列极限：5815510) 13()23() 12(lim4xxxx求极限例分析分析：此极限属于时有理分式的极限问题，且此极限属于时有理分式的极限问题，且m=n，可直接利用，可直接利用上述结论得出结果，也可用分子、分母同除以上述结论得出结果，也可用分子、分母同除以x15来计算。来计算。解：分子分母同除以解：分子分母同除以x15，有，有 101551015510151555101015510)32(332)13()23()12(lim)13()23()12(lim)13()23()12(limxxxxxxxxxxxxxxx59)cos112sin(lim0 xxxx0(1 1)sin2limcos0(1 1)(1 1)xxxxx 002sin2lim(1 1)lim12xxxxx =2 2 + 1 = 5 解)cos112sin(lim0 xx