量子力学习题课2016-1-6

1、1 量子力学量子力学2016.1.6一一. .黑体辐射黑体辐射1212( )( ).( , )()()MTMTITTT ，1.基尔霍夫定律基尔霍夫定律(1).斯特藩斯特藩-玻耳兹曼定律玻耳兹曼定律(2).维恩位移定律维恩位移定律40)()(TdTMTM2.普朗克公式普朗克公式mTb32.897756 10bm KmC T或或105.880 10/CHz K12)(32kThechTM112)(52kThcehcTM)()(2TMcTM42810670. 5KmW二二. .光电效应光电效应1.光电效应的实验规律光电效应的实验规律a.存在饱和电流存在饱和电流b.存在截止电压存在截止电压c.存在截止

2、频率存在截止频率d.具有瞬时性具有瞬时性2.爱因斯坦的光子理论爱因斯坦的光子理论a.光量子假设光量子假设b.光电效应方程光电效应方程三三. .康普顿散射康普顿散射散射规律散射规律Wmh221)2(sin2)cos1 (200cmhcmh四四. .氢原子的玻尔理论氢原子的玻尔理论1.玻尔的三条假设玻尔的三条假设(1).原子有一系列具有一定能量的稳定状态，简称定态原子有一系列具有一定能量的稳定状态，简称定态(2).在定态上，电子绕核公转的角动量必须满足量子条件在定态上，电子绕核公转的角动量必须满足量子条件2hnnL (3).原子从高能量的定态跃迁到低能量的定态时，要发射一原子从高能量的定态跃迁到低

3、能量的定态时，要发射一个光子，其能量为个光子，其能量为)(fifiEEEEh2.跃迁辐射公式跃迁辐射公式)()11(81223204fiifnnnnchme六六. .不确定关系不确定关系1.2.物理意义物理意义A.不确定关系说明经典描述手段对微观粒子不适用不确定关系说明经典描述手段对微观粒子不适用B.不确定关系说明微观粒子不可能静止，不确定关系说明微观粒子不可能静止，即存在零点能即存在零点能 C.不确定关系给出了宏观物理和微观物理的分界线不确定关系给出了宏观物理和微观物理的分界线五五. .德布罗意物质波假设德布罗意物质波假设hphE2xpx2tE布拉格公式布拉格公式kdsin2掠射角掠射角 解

4、解: 由维恩位移定律由维恩位移定律 3,2.898 10mTb bm k（1） 太阳的表面温度太阳的表面温度115 6 8 2 ()mbTk太阳的辐射出射度（即总辐射本领）太阳的辐射出射度（即总辐射本领）472011()5.9110 ()MTTW m（2） 北极星表面温度北极星表面温度3228.2810 ( )mbTk北极星的辐射出射度北极星的辐射出射度482022()2.6710 ()MTTWm例例1. 如果将星球看成绝对黑体，利用维恩位移定律，通过测如果将星球看成绝对黑体，利用维恩位移定律，通过测量量m ，便可估计其表面温度。现测得太阳和北极星的便可估计其表面温度。现测得太阳和北极星的 m

5、 分分别为别为 510nm 和和 350nm, 试求它们的表面温度和黑体辐射出试求它们的表面温度和黑体辐射出射度。射度。例例2. 有一空腔辐射体，在壁上钻有直径为有一空腔辐射体，在壁上钻有直径为 50 m的小圆孔，腔的小圆孔，腔内温度为内温度为7500K 。试求。试求500nm到到501nm的范围内单位时间从小的范围内单位时间从小孔辐射出来的光子数。孔辐射出来的光子数。解：解：设从小孔面上逃出的波长在设从小孔面上逃出的波长在 500nm 到到501nm范围内的范围内的 光子数为光子数为n，则有：，则有：151.3 10n 112)(52kThcehcTMATMhn)(hAehcnkThc112

6、52其中：其中：nmrA5 .5002105 . 242192ckTxh33230132(1)30(1)xxxdMC k Texx edxhe330 xxexe2.82144mx hxkT105.880 10 Hz / KmkxChmmkxTC Th例例3. 利用普朗克公式利用普朗克公式推导维恩位移定律的频率与温度的关系式推导维恩位移定律的频率与温度的关系式解：解：302/21hkThMcemC T mmhxkT例例4：已知每平方米黑体在球面度内每微米波长间隔发出：已知每平方米黑体在球面度内每微米波长间隔发出的光子数为的光子数为1124kThcecn试求：温度为试求：温度为 6000 K 时辐

7、射光子数最多的波长和辐射时辐射光子数最多的波长和辐射能量最大的波长。能量最大的波长。解：解：在一定温度下，波长不同，辐射的光子数不同，有：在一定温度下，波长不同，辐射的光子数不同，有：2625) 1(2118kThckThckThceekThcecddn当 dn / d =0 时有极值：41kThckThceekThc令：令：N= h c / k T ,有：有：921. 3044NNeeNN3487236.63 103 106.13 103.921 1.38 106000hcmNkT 由维恩位移定律得出辐射能量最大的波长：由维恩位移定律得出辐射能量最大的波长：在同一温度下辐射能量最大的波长与辐

8、射光子数最多的波长在同一温度下辐射能量最大的波长与辐射光子数最多的波长并不相同。并不相同。372.897 104.83 106000bmT例例5：已知金属钨的逸出功是：已知金属钨的逸出功是 7.2 10-19 J ,分别用频率为分别用频率为 7 1014 Hz的紫光和频率为的紫光和频率为 5 1015 Hz的紫外光照射金属钨的表面，试的紫外光照射金属钨的表面，试求能否产生光电效应？求能否产生光电效应？解：解：由爱因斯坦光电效应方程：由爱因斯坦光电效应方程：能使金属钨产生光电效应的截止频率为：能使金属钨产生光电效应的截止频率为：Hzh 11063. 6102 . 7紫光

9、频率小于此值，不能产生光电效应；紫外光频率紫光频率小于此值，不能产生光电效应；紫外光频率大于此值，可以产生光电效应。大于此值，可以产生光电效应。Wmh221例例6. 在光电效应实验中，测得某金属的截止电压在光电效应实验中，测得某金属的截止电压Uc和入射光频和入射光频率的对应数据如下：率的对应数据如下：6.5016.3036.0985.8885.6640.8780.8000.7140.6370.541VcUHz1410 试用作图法求：试用作图法求：(1)该金属光电效应的红限频率；该金属光电效应的红限频率；(2)普朗克常量。普朗克常量。图 Uc和 的关系曲线4.05.06.00.00.51.0Uc

10、V1014Hz解：以频率为横轴,以截止电压Uc为纵轴，画出曲线如图所示( 注意: )。0 cU(1) 曲线与横轴的交点就是该金属的红限频率，由图上读出的红限频率Hz10274140 . (2)由图求得直线的斜率为sV1091315 .KAhvmvm 221对比上式与sJ1026634 .eKh有sJ1063634 .h精确值为 0221eUeKveUmvcm图 Uc和 的关系曲线4.05.06.00.00.51.0UcV1014Hz例例7. 波长为波长为 的单色光照射某金属的单色光照射某金属M表面发生光电效应，发射的表面发生光电效应，发射的光电子光电子(电量绝对值为电量绝对值为e，质量为，质量

11、为m)经狭缝经狭缝S后垂直进入磁感应强后垂直进入磁感应强度为度为 的均匀磁场的均匀磁场(如图示如图示)，今已测出电子在该磁场中作圆运动，今已测出电子在该磁场中作圆运动的最大半径为的最大半径为R。求：。求：(1)金属材料的逸出功；金属材料的逸出功； (2)遏止电势差。遏止电势差。Be,m BM 解：（解：（1）eBmRmmRBemm2212222由光电效应方程：由光电效应方程：221mmWhmRBechW2222（2）221mcmeUmRBeUc222 解：解： （1） 0000khchcEhhhc （2） 由碰撞前后动量守恒由碰撞前后动量守恒vm00hkhk00,hhkm vk由图中三角形关系

12、由图中三角形关系2220()()hhmv） （例例8. 设设o和和分别为康普顿散射中入射与散射光子的波长，分别为康普顿散射中入射与散射光子的波长， Ek为反冲电子动能，为反冲电子动能，为反冲电子与入射光子运动方向夹角，为反冲电子与入射光子运动方向夹角，为为散射光子与入射光子运动方向夹角，试证明：散射光子与入射光子运动方向夹角，试证明：00(1)kEhc0022020cos()()1arccos1()hhmvhh201(2)arccos21()时例例9. 戴维孙戴维孙-革末实验装置如图，自热阴极革末实验装置如图，自热阴极K发出的电子束经发出的电子束经U=500伏的电势差加速后投射到某晶体上，在掠

13、射角伏的电势差加速后投射到某晶体上，在掠射角 =20时，时，测得电流强度出现第二次极大值，试计算电子射线的德布罗意测得电流强度出现第二次极大值，试计算电子射线的德布罗意波长及晶体的晶格常数波长及晶体的晶格常数(电子质量电子质量9.1110-31kg)。U =h/p=h/mv v =h/(2meU)1/2=0.54910-10m (2) 晶体的布拉格衍射公式为晶体的布拉格衍射公式为: 2dsin =k 电流第二次出现极大值电流第二次出现极大值 k=2=0.54910-10/sin20=1.6110-10m d=k /2sin20 =2 /2sin20解解: (1) 由由 可得：eUm22121)

14、2(meUK例例10: 如果钠原子所发出的黄色谱线如果钠原子所发出的黄色谱线( =589nm)的自然宽度的自然宽度为为8106 . 1试问钠原子相应的激发态的平均寿命约为多少试问钠原子相应的激发态的平均寿命约为多少?解解:光子能量光子能量已知自然宽度已知自然宽度光子能量不确定性光子能量不确定性,即为钠原即为钠原子激发态能级能量的不确定量子激发态能级能量的不确定量hchE8106 .12hcE 由不确定关系由不确定关系2tE激发态的平均寿命约为激发态的平均寿命约为: schcEt9108 . 9422例例11：证明：一个质量：证明：一个质量m的粒子在边长为的粒子在边长为a的正立方盒子内运的正立方

15、盒子内运动时，它的最小可能能量（零点能）为动时，它的最小可能能量（零点能）为2min238Ema解：利用不确定关系解：利用不确定关系2xxp 2xpamin2xpa2222xyzpppp22PEm2232pa2min238Ema例例12：用干涉仪确定一个宏观物体的位置精确度为：用干涉仪确定一个宏观物体的位置精确度为10-12。如果我们以此精度测得一质量为如果我们以此精度测得一质量为0.50kg的物体的位置，根据不的物体的位置，根据不确定性关系，它的速度的不确定量多大？确定性关系，它的速度的不确定量多大？2xxp 解：解：2xpxmpxmpx2212341005. 11050. 0214. 32

16、1062. 62xm例例13：一个被冷却到几乎静止的氢原子从：一个被冷却到几乎静止的氢原子从n=5的状态跃迁到的状态跃迁到基态时发出的光子的波长多大？氢原子反冲的速率多大？基态时发出的光子的波长多大？氢原子反冲的速率多大？解：解：对整个发射过程，氢原子辐射的光子光子能量为：对整个发射过程，氢原子辐射的光子光子能量为：51hvEEhvpc271.67 10,Hmkg113.6EeV 以以p表示氢原子的反冲动量，由动量守恒得：表示氢原子的反冲动量，由动量守恒得：83419513 106.63 101113.6 1.6 1025cchvEE 70.952 1095.2mnm22Hhpm342776.

17、63 104.171.67 100.952 10msHhm而氢原子的反冲速率为23例例14： 粒子在磁感应强度为粒子在磁感应强度为B=0.025T的均匀磁场中沿半径为的均匀磁场中沿半径为R=0.83cm的圆形轨道运动，的圆形轨道运动，1）试计算其德布罗意波长。）试计算其德布罗意波长。2）若使质量若使质量m=0.1g的小球以与粒子相同的速率运动，则其波长的小球以与粒子相同的速率运动，则其波长为多少？为多少？ 粒子的质量为粒子的质量为ma=6.64 10-27kg，普朗克常数为，普朗克常数为h=6.63 10-34J/s,基本电荷基本电荷e=1.60 10-19C。解：2am vqvBRam vq

18、RBahm v111.00 10hmqRBaqRBvm346.64 10aamhhhmqRBmvqRB mmm例例15. 一维无限深势阱中的粒子的定态物质波相当于两端固定的一维无限深势阱中的粒子的定态物质波相当于两端固定的弦中的驻波，因而势阱宽度弦中的驻波，因而势阱宽度a必须等于德布罗意波的半波长的整必须等于德布罗意波的半波长的整数倍。数倍。(1) 试由此求出粒子能量的本征值为：试由此求出粒子能量的本征值为：22222nmaEn (2) 在核在核(线度线度1.010-14m)内的质子和中子可以当成是处于无内的质子和中子可以当成是处于无限深的势阱中而不能逸出，它们在核中的运动是自由的。按一限深的势阱中而不能逸出，它们在核中的运动是自由的。按一维