基变换与坐标变换

1、辽 东 学 院 教 案 纸课程：高等代数 第6.4.5页§4 基变换与坐标变换教学目的 通过教学，使学生理解基变换定理及可逆矩阵的同何意义，掌握坐标变换公式教学内容在数域f上的n维向量空间v中，若取定一个基，则v中每个向量在这个基下有唯一确定的坐标对于不同的基，同一个向量的坐标一般是不同的本节讨论基的变动，以及同一个向量的坐标是如何随其变化的4.1 基变换设与是v的两个基，则 (1)将(1)用矩阵表示，记作a，其中a=(aij)nnmn(f)(2)请注意，(2)的写法是“形式的”，因为在这里是以一般的向量空间v的元素构成有序元素组()，不是以数域f的元素构成有序数组，但是我们却赋予它

2、与数域f上的有序数组一样的运算性质对于具体的n维列(行)向量空间fn，由于都是n元有序数组，因此当为列向量时，有序元数组()表示以为列的矩阵，这时(2)正好是第一章讲的矩阵乘法形式设()与()是v的两个向量组，a=(aij)nn，b=(bij)mn(f)，则上述矩阵形式写法满足以下运算规则：()a)b=()(ab)，()a+()b=()(a+b)，()a+()a= ()a.因为上述矩阵形式写法的定义与矩阵乘法的定义在形式上一样，所以把矩阵乘法的有关运算法则的证明重复一遍，便得出上述三个规则因此，这里将其证明略述公式(2)中出现的矩阵a叫做由基到基的过渡矩阵命题6.4.1 在n维向量空间v中，基

3、到基 的过渡矩阵是可逆矩阵证 设()=()a,要证a可逆用反证法，假如a不可逆，则|a|=0于是齐次线性方程组ax=0有非零解,取一个非零解y=，有 =这表明线性相关，矛盾因此a可逆 命题6.4.2 设是v的一个基，Îv，且()=()a若a可逆，则是v的一个基证 只要证线性无关即可假设则因为是v的一个基，所以从上式得a于是，由a可逆知道故线性无关由命题6.4.1、6.4.2立得定理6.4.1 设是数域f上向量空间v的一个基，且()=()a， (3)其中a=(aij)nnmn(f)，则是v的一个基的充分且必要条件为a是可逆矩阵 这一个定理所刻画的也正是可逆矩阵的几何意义4.2 坐标变换

4、公式设v在基下的坐标是()，在基下的坐标是()，则， (4)= (5)把(3)代入(5)，得(6)因此，再注意到(4)，则由坐标的唯一性得到= (7)因此有定理6.4.2 设v是数域f上n(0)维向量空间，a是由v的基到基的过渡矩阵，则v中向量在基下的坐标()与在下的坐标()由等式(7)联系着 a例1 取v2的两个彼此正交的单位向量，作成v2的一个基令分别是由e1和e2旋转角q 所得的向量(图6-1)，则也是v2的一个基，且有图6-1，所以到的过渡矩阵是设v2的一个向量在下的坐标是(x1，x2)，在下的坐标是()，则由定理6.4.2得这正是平面解析几何里转轴的坐标变换公式例2 在f3中，设 , ， ，求基到基的过渡矩阵t，并且求分别在这两个基下的坐标解 设为的转置因为所以 于是，设a=()，b=(),则从() =()t得出，b=at为了求t，需要解这个矩阵方程，可按第一章的方法求解因为，所以，过渡矩阵设在基下