实数完备性基本定理之间的等价性

1、学号:20105031106学年论文（本科）学 院 数学与信息科学学院 专 业 数学与应用数学 年 级 2010 姓 名 陈方华 论文题目 实数完备性基本定理之间的等价性 指导教师 陶有德 职称 副教授 成 绩 2012 年 5 月18日目 录摘要2关键词2abstract.2key words.21. 引言22. 实数基本定理的陈述23. 定理1到定理6的循环证明34.举例分析5参考文献6实数完备性定理之间的等价性学生姓名:陈方华 学号:20105031106数学与信息科学学院 数学与应用数学专业指导教师:陶有德 职称:副教授 摘要:本文给出了实数理论的六个基本定理的循环证明 关键词:实数基

2、本定理;等价性;数列;极限;收敛abstract:in this paper, a cycle of six fundamental theorem of the theory of real numbers prove.key words:real number of the fundamental theorem; equivalence; series; limits; convergence.1. 引言实数基本定理以不同的形式刻划了实数的连续性和完备性,实数基本定理是建立与发展微积分学的基础.因此掌握这部分内容是十分必要的,本文主要给出实数理论的6个基本定理的循环证明.2. 实数基本定

3、理的陈述 定理1(确界原理) 非空有上(下)界数集,必有上(下)确界.定理2(单调有界原理) 任何单调有界数列必有极限.定理3(区间套定理) 若是一个区间套, 则存在唯一一点,使得.定理4(有限覆盖定理) 设是一个闭区间,为上的一个开覆盖,则在 中存在有限个开区间,它构成上的一个覆盖.定理5（聚点原理） 实轴上的有界无限点集至少有一个聚点.定理6(柯西收敛准则) 数列收敛对任给的正数,总存在某一个自然数,使得时,都有. 3. 定理1到定理6的循环证明 (1) 定理1定理2(确界原理单调有界原理) 证 不妨设为单增有上界数列,即,有. 记,则由确界原理知u有上确界,不妨记为,则 ,从而,使得成立

4、.因为是单调递增数列,所以,有 .故 . (2) 定理2定理3(单调有界定理区间套定理)证 因为,所以有从而可见数列单增有上界,数列单减有下界故由单调有界定理可知使得,使得.且有有,所以,于是成立 .又因为,所以.记,从而存在性得证.(3) 定理3定理4(区间套定理有限覆盖定理)证(反证法) 假设闭区间有一个开覆盖不能用它的任有限个开区间覆盖. 定义性质p:不能用中有限个开区间覆盖. step(1) 将等分为两个子区间,则至少有一个具有性质,不妨记该区间为,则; ;step(2) 将等分为两个子区间,则至少有一个具有性质,不妨记该区间为,则;step(n) 将等分为两个子区间,则至少有一个具有

5、性质,不妨记该区间为,则;由此可得一个区间套且满足利用二等分法容易构造出满足性质的区间套.故由区间套定理可知,存在唯一的,从而,有,这与具有性质矛盾.这就证明了有限复盖定理.(4) 定理4定理5(有限覆盖定理聚点原理)证(反证法) 假设原命题不成立,则由于是直线上的有界无限点集,即存在闭区间,使得, 所以只含中的有限多项.从而得的一个开覆盖记为.由有限覆盖定理可知存在的一个有限子覆盖记为.所以只含有中的有限多个点,这显然与是矛盾的,故可知假设错误,原命题成立.(5) 定理5定理6(聚点原理柯西收敛准则)证 不妨设是无穷基本列,即有,使得有.易证有界.由聚点原理可知至少有一个聚点必含有的无限多项

6、.从而, 任取中满足的某项,即可得到 .故(6) 定理6定理1(柯西收敛准则确界原理)证 设是一个有上界非空数集,则使得有,取构造区间.定义性质,区间中至少有一个数属于,且区间的右端点为的一个上界.仿(9)的证明,利用二等分法容易构造出满足性质的区间套则由 时,有.由于单调递增,中的每一个元素都为的上界.故,则有.故由柯西收敛准则可知收敛,记其极限为.由(3.1) 易证.因此, 有 .由于都为的上界,所以也为的上界.从而可知, .即,故为的上确界.4.举例分析 用数列的柯西收敛准则证明确界原理证:设为非空有上界数集,由实数的阿基米德性,对任何正数,存在整数,使得为的上界,而不是的上界,故存在不

7、是的上界,即存在 分别取,则对每一个正数n,存在相应的,使得为的上界,而不是的上界,故存在,使得 （6）又对正整数m,是的上界,故有,结合（6）式得;同理有,从而得于是,对任意的,存在,使得当时有由柯西收敛准则,数列收敛,记 （7）现证明就是的上确界,首先,对任何和正整数n有,由（7）式得,即的一个上界,其次.对任何,由及（7）式,对充分大的n同时有 .又因不是的一个上界,故存在,使得.结合上式得 .这说明为的上确界,同理可证:若为非空有下界数集,则必存在下确界.参考文献1 华东师范大学数学系.高等教育出版社, 数学分析教材第一册m.2 钱吉林 等主编 数学分析题解精粹m.3 张筑生.数学分析

8、新讲m .北京:北京大学出版社,1990.4 刘玉莲,傅沛仁. 数学分析讲义m. 北京:高等教育出版社,1996.5华东师范大学数学系.数学分析（上册）m.高等教育出版社,2001.6同济大学数学教研室编.高等数学m.2000.【唯美句子】 走累的时候，我就到升国旗哪里的一角台阶坐下，双手抚膝，再闭眼，让心灵受到阳光的洗涤。懒洋洋的幸福。顶 3 收藏 2【唯美句子】 一个人踮着脚尖，在窄窄的跑道白线上走，走到很远的地方又走回来。阳光很好，温暖，柔和。漫天的安静。顶 7 收藏 7【唯美句子】 清风飘然，秋水缓淌。一丝云起，一片叶落，剔透生命的空灵。轻轻用手触摸，就点碎了河面的脸。落叶舞步婀娜不肯

9、去，是眷恋，是装点？瞬间回眸，点亮了生命精彩。顶 11 收藏 9【唯美句子】 几只从南方归来的燕子，轻盈的飞来飞去，“几处早莺争暖树，谁家新燕啄春泥，”其乐融融的山林气息，与世无争的世外桃源，让人心旷神怡。顶 0 收藏 2【唯美句子】 流年清浅，岁月轮转，或许是冬天太过漫长，当一夜春风吹开万里柳时，心情也似乎开朗了许多，在一个风轻云淡的早晨，踏着初春的阳光，漫步在碧柳垂青的小河边，看小河的流水因为解开了冰冻而欢快的流淌， 清澈见底的的河水，可以数得清河底的鹅软石，偶尔掠过水面的水鸟，让小河荡起一层层的涟漪。河岸换上绿色的新装，刚刚睡醒的各种各样的花花草草，悄悄的露出了嫩芽，这儿一丛，那儿一簇，

10、好像是交头接耳的议论着些什么，又好象是在偷偷地说着悄悄话。顶 3 收藏 4【唯美句子】 喜欢海子写的面朝大海春暖花开，不仅仅是因为我喜欢看海，还喜欢诗人笔下的意境，每当夜深人静时，放一曲纯音乐，品一盏茶，在脑海中搜寻诗中的恬淡闲适。在春暖花开时，身着一身素衣，站在清风拂柳，蝶舞翩跹的百花丛中，轻吹一叶竖笛，放眼碧波万里，海鸥，沙滩，还有扬帆在落日下的古船，在心旷神怡中，做一帘红尘的幽梦。顶 0 收藏 2【唯美句子】 繁华如三千东流水，你只在乎闲云野鹤般的采菊东篱、身心自由，置身置灵魂于旷野，高声吟唱着属于自己的歌，悠悠然永远地成为一个真真正正的淡泊名利、鄙弃功名利禄的隐者。顶 1 收藏 3【唯

11、美句子】 世俗名利和青山绿水之间，你选择了淡泊明志，持竿垂钓碧泉绿潭；权力富贵和草舍茅庐之间，你选择了宁静致远，晓梦翩跹姹紫嫣红。顶 2 收藏 3【唯美句子】 那是一株清香的无名花，我看到了它在春风夏雨中风姿绰约的模样，可突如其来的秋雨，无情的打落了它美丽的花瓣，看着它在空谷中独自凋零，我莫名其妙的心痛，像针椎一样的痛。秋雨，你为何如此残忍，为何不懂得怜香惜玉，我伸出颤抖的双手，将散落在泥土里的花瓣捧在手心。顶 4 收藏 5【唯美句子】 滴答滴答，疏疏落落的秋雨，赶着时间的脚步，哗啦啦的下起来。听着雨水轻轻地敲击着微薄的玻璃窗，不知不觉，我像是被催眠了一样，渐渐的进入了梦乡。顶 3 收藏 5【

12、唯美句子】 在这极致的悲伤里，我看到了世间最美的爱，可谁又能明白，此刻的我是悲伤还是欢喜，也许只有那拨动我心弦的秋季，才知道潜藏在我心中的眼泪。顶 4 收藏 3【唯美句子】 看着此情此景，我细细地聆听。像是听到了落叶的呢喃，秋风的柔软，在这极短的瞬间，他们一起诉说着最美的爱恋，演绎着永恒的痴缠。当落叶安详的躺在大地，露出幸福的模样，你看，它多像一个进入梦乡的孩子。突然发现，秋风并非是想象中的刽子手，原来它只是在叶子生命的最后一刻，让它体会到爱的缠绵，飞翔的滋味。顶 1 收藏 1【唯美句子】 很感谢那些耐心回答我的人，公交上那个姐姐，还有那位大叔，我不知道他们是不是本地人，但我们遇到的一个交警协

13、管，一位头发花白的大姐，她是上海本地人，很和善，并不像有些人说的上海人很排外。事实上，什么都不是绝对的。顶 2 收藏 0【唯美句子】 我嗅到浓郁的香奈尔，却也被那种陌生呛了一鼻。也许，我却不知道，那时的感受了。那里没有那么美好，没有安全感，归属感。我想要的自由呢，不完全地体验到了。顶 2 收藏 1【唯美句子】 那些繁华的都市，车水马龙，灯红酒绿，流光溢彩，却充斥着一种悲哀，浮夸。我看到各种奢华，却也看到各种卑微，我看到友善亲和，也看到暴躁粗鲁，我看到金光熠【优美语句】 踏过一片海，用博识的学问激起片片微澜；采过一丛花，正在聪慧的碰碰外送来缕缕清喷鼻；无过一个梦，决定从那里启程。顶 0 收藏 0

14、【优美语句】 人生如一本书，应该多一些精彩的细节，少一些乏味的字眼；人生如一支歌，应该多一些昂扬的旋律，少一些忧伤的音符；人生如一幅画，应该多一些亮丽的色彩，少一些灰暗的色调。 顶 0 收藏 0【优美语句】 母爱是一滴甘露，亲吻干涸的泥土，它用细雨的温情，用钻石的坚毅，期待着闪着碎光的泥土的肥沃；母爱不是人生中的一个凝固点，而是一条流动的河，这条河造就了我们生命中美丽的情感之景。 顶 0 收藏 0【优美语句】 生活如海，宽容作舟，泛舟于海，方知海之宽阔；生活如山，宽容为径，循径登山，方知山之高大；生活如歌，宽容是曲，和曲而歌，方知歌之动听。 顶 0 收藏 0【优美语句】 母爱就是一幅山水画，洗去铅华雕饰，留下清新自然；母爱就象一首深情的歌，婉转悠扬，轻吟浅唱；母爱就是一阵和煦的风，吹去朔雪纷飞，带来春光无限。 顶 0 收藏 0【优美语句】 努力奋斗，天空依旧美丽，梦想仍然纯真，放飞自我，勇敢地飞翔于梦想的天空，相信自己一定做得更好。 顶 0 收藏 0【优美语句】 品味生活，完善人性。存在就是机会，思考才能提高。人需要不断打碎自己，更应该重新组装自己。顶 0 收藏 0【优美语句】 母爱是一缕阳光，让你的心灵即使在寒冷的冬天也能感到温暖如春；母爱是一泓清泉，让你的情感即使蒙上岁月的风尘依然纯洁明净。 顶 0 收藏 0【优美语句】 母爱是温暖心灵的