多元复合函数求导法则

1、精品资料欢迎下载§4 多元复合函数的求导法则【目的要求】1、掌握多元复合函数及几种特殊复合函数的求导法则；2、理解全导数的概念；3、会利用多元函数的一阶全微分形式不变性求偏导数【重点难点】各类型复合函数求导公式及计算；各变量之间的复合关系【教学内容】在第二章中，我们学习了一元函数的复合函数求导， 现将一元复合函数的求导法则推广到多元复合函数的情形， 按照多元函数的不同复合情形， 分三种情形讨论 .一、复合函数的中间变量均为一元函数的情形.定理 4.1如果函数 u(t) 及 v(t ) 都在点 t 可导，uZt且函数zf (u , v) 在对应点 (u , v) 具有连续偏导数，则复合

2、函数 zf(t),(t) 在点 t 可导，且其导数为v图 4-25dzz duz dv 。dtu dtv dt证设 t 取得增量t , 这时 u(t) ， v(t ) 的对应增量为 u ,v , 函数z f (t),(t )相应地获得增量z . 由于函数 zf (u,v) 可微 , 所以有z 可以表示为zuzzv o( )uv其中(u) 2( v) 2 .将上式两端同除以t , 得精品资料欢迎下载zzuzv o()tutvtt由于 u( t) ,v(t )在点 t 可导 ,所以当t0 时 , u0 , v 0 ，从而0,并且有udu,vdv .于是tdttdt22lim0o()limo()li

3、mo()uv0 ,ttt0tt0tt所以limzz duz dv 。t0tu dtv dt这就证明了复合函数zf (t ),(t)在点 t 可导 , 且公式成立 .导数 dz 称为全导数dt同理，我们可以把定理推广到对于中间变量多于两个的复合函数情形。例如，若 zf (u,v, w) ， u(t) ， v(t) ， ww(t) 复合而的复合函数zf(t ),(t), w(t )满足定理条件，则有全导数公式dzz duz dvz dw 。dtu dtv dtw dt例 1设函数 ux y，而 xet， ysin t ，求全导数 du dt解duu dxu dyyx y 1etx yln x co

4、stet sin t (sin tt cost) dtx dtydt例 2设zarctan(xy)， xt， ytdze ，求 dt t 0 。解由dzz dxz dyy2 1xtdtx dty dt1xy2e ，1 xy以及当 t0 时， x0， y1，可得 dz1。dt t 0二、复合函数的中间变量均为多元函数的情形精品资料欢迎下载定理 4.2 若 u( x, y) 及 v( x, y) 在点 ( x, y) 具有对 x 、 y 的偏导数，而函数 zf (u,v) 在对应点 (u, v) 具有连续偏导数，则复合函数 z f ( x, y), ( x, y)在点 ( x, y) 两个偏导数存

5、在，且有zzuzv ；xuxvxzzuzv 。yuyvy例 3设函数 zu v ，而 uxy ， v x y ，求 z和z xy解zz uz vvuv 1y uv ln uxu xv xy( xy)( xy) xy 1( xy)x y ln( xy )zz uz vvuv 1x uv ln uyuyvyx(xy)( xy) xy 1( xy) x y ln( xy) 为了帮助记忆，我们按各变量间的复合关系画出复ux合关系图如下：Zvy首先从自变量 z 向中间变量 u, v 画两个分枝，然后图 4-26再分别从 u, v 向自变量 x, y 画分枝，并在每个分枝旁边写上对其的偏导数求z （ z

6、）时，我们只要把从 z 到 x （或 y ）的每条路径xy上的各偏导数相乘后，再将这些积相加即可得到zzuzv ，（zzuzv ）xuxvxyuyvy类似地，对于中间变量多于两个的复合函数情形，有同样的结论。例如，设函数 u( x, y) ， v( x, y) ， ww( x, y) 都在点 ( x, y) 有对 x 、 y 的偏导数，而函数 zf (u, v, w) 在对应点 (u,v, w) 偏导数连续，则复合函数zf( x, y),( x, y), w(x, y)精品资料欢迎下载在点 ( x, y) 的两个偏导数存在，且有zzuzvzw ；xuxvxwxzzuzvzw yuyvywy三、

7、复合函数的中间变量既有一元函数，又有多元函数的情形定理 4.3设函数 u(x, y) 具有偏导数，而函数 z f (u, x, y) 可微，则复合函数 zf ( x, y), x, y 在uxZxy点 (x, y) 偏导数存在，且有公式zfuf；yxuxxzzuf图 4-27yuyy特别要强调的是，z 与f有很多的区别：z 是把函数 f( x, y), x, y 中的xxxy 看成常数，对 x 求偏导， f是把 f (u, x, y) 中 u, y 看常数，对 x 求偏导前者是x复合后对 x 的偏导数，后者是复合前对x 的偏导数由此可见，多元复合函数微分法的关键在于区分清楚函数结构中哪些是中间

8、变量，哪些是自变量。对于抽象函数的复合函数的求偏导数问题，如函数zf (x sin y, exy ) ，z 是因变量， x, y 是自变量。若设中间变量ux sin y, vexy ，则在这个函数关系中，中间变量u, v 与自变量x, y 的函数关系f 没有具体给出，这就是“抽象”的意义。这样的函数求偏导数时， 要按复合函数求偏导数公式计算，但是最后结果中， 因变量 z 对中间变量 u 和 v 的偏导数只能以“抽象”的形式出现。例 3 设 zf (x sin y,exy ) , 其中 f 具有连续偏导数 , 求 u和 u .xy解 设 ux sin y , v exy , 则精品资料欢迎下载z

9、zuzvsin yfuyexy fvxuxvxzzuzvx cos yfuxexy fvyuyvy例 4设函数 uf (x, y, z)ex2y2z2，而 zx 2 sin y ，求 u 和 u xy解uffz2xex2y2z22zex2y2z22xsin yxxz x2x(12x2sin2y) ex2y2x4 sin 2 yuffz2ye x2y2 z 22zex 2y2z2x 2 cos yyyzy2( yx 4 sin y cos y)ex2y 2 x 4 sin 2y 若函数 zf (u, v) ， u( x, y) ， v( x, y) 二阶偏导数连续，则复合函数z f(x, y),

10、( x, y) 存在二阶偏导数记号 f112 z2 ， f 122 z ， f 212 z ， f 222 2z uu vv uv例 5设复合函数 zf (2x3 y, x ) ，其中 f (u, v) 对 u,v 具有二阶连续偏导y数，求2 z xy解设 u2x3y ， vxyzz uz v2 f11 f2xuxvxy2 zy(2 f 11 f 2 )2 f1( 1 f2 )x yyyyy2( f 11 3f 12 (x2 )12f21 ( f 2 3f 22 (x2 )yyyy6 f11x3 f223 y22x f 1212 f 2 yyy精品资料欢迎下载四、全微分形式不变形设函数 zf

11、(u, v) 具有连续偏导数，则全微分dzz duz dv，uv若函数 u( x, y) ， v(x, y) 有连续偏导数，则复合函数z f ( ( x, y),( x, y)的全微分为dzz dxz dyxy( z uz v)dx( z uz v )dyu xvxuyvyz ( u dxu dy)z (v dv d)uxyvxxyyz dz duuvv可见无论 z 是自变量 x, y 的函数或中间变量 u, v 的函数，它的全微分形式是一样的，这个性质叫全微分形式不变性例 6利用全微分形式不变性求微分dd(usin )，其中 uxyvxyzev解因为 dzd(u sin )u sindu cos dvevev u ev又因为 du d( xy)ydxxdy ， dvd( xy)dxdy ，所以 du sinv( dd)u cosv(dxdy)z ey