1.3.2“杨辉三角”与二项式系数的性质

1、1# 普通高中课程数学选修2-3 1.3二项式定理1# 普通高中课程数学选修2-3 1.3二项式定理巩固练习:13 普通高中课程数学选修2-3 1.3二项式定理1若（2x + a/3）4 =aQ+a1x+a2x+a3x3 +a4x4 f 则（。0 +。2 +。4）2 -（勺 +。3）2 的值是 1 2求（1 +兀+兀2）（1兀）10展开式中含兀项的系数93.求(1+x) + d+x)2+e.+ (1+x) w展开式中兀啲系数 折：C；+U+U+C；+C；+C；+C；+C7o =330 49192除以100的余数 81 r5若(兀 + 1 ),z = x71 +.+ ax3 + bx2且a :

2、b=3 : 1 ,那么n =11 (95上海高考)49192除以100的余数是分析：9192 = （90 +1）92 =9092 + C2 9091 + +90 +由此可见，除后两项外均能被100整除C； 90 + C； = 8281 = 82x 100 + 81所以9192除以loo的余数是81注:整除性问题或余数问题，主要根据二项式定理的特 点，进行添项或减项飞成能整除的结构，这是解此 类问题的最常用技巧（余数要为正整数）乂5 若（兀 + 1）"=兀"+ ax3 + bx2 +;5.+l（n W2V*）, 且a : b=3 : 19那么/i二（95上海高考）解：由题意,

3、知：a = C b = C：又 a : ft = 3:1,C j : C =3:1. 解得孔= 11.4 普通高中课程数学选修23 1.3二项式定理5 普通高中课程数学选修23 1.3二项式定理°1.3.2二项式系“杨辉三角”与 - 二 一 一 一 4*6 普通高中课程数学选修23 1.3二项式定理13 普通高中课程数学选修23 1.3二项式定理新课引入二项定理：一般地，对于nW N*有(ab)nC 紂 +C0'b+C；af2 + + c>"7'+ C；0"二项展开式中的二项式系数指的是那些？共 有多少个？下面我们来研究二项式系数有些什么性质

4、？我 们先通过观察n为特殊值时，二项式系数有什么特 点？计算+方尸展开式的二项式系数并填入下表对称性仏+方)1 11仏+方)2121(a+b)31331(a+b)414641仏+方)515101051(a+b)6 1615201561议 议1）请看系数有没有明显的规律?!=2）上下两行有什么关系吗?3）根据这两条规律，大家能写出下面的系数吗?(a+bY (a+bY (a+b)3 (a+b)4 (a+b)5 (a+b)6 每行两端都是1 CJ= C/=l从第二行起，每行除1以外的每一个数都等 于它肩上的两个数的和cn+1m= cHm + g严普通高中课程数学选修23 1.3杨 辉详解九章算法中记

5、载的表普通高中课程数学选修23 1.3普通高中课程数学选修23 1.3)(二匸 1 (杨辉三角16 普通高中课程数学选修23 1.3二项式定理（°+川展开式的二项式 系数依次是WU，,C：2018-16-1412-10r 8-64-2；二顼式系数的性质从函数角度看,C；可看 成是以r为自变量的函数广（厂）, 其定义域是：0,1,2,/当n-6时，其图象是右 图中的7个孤立点.36917 普通高中课程数学选修23 1.3二项式定理6918 普通高中课程数学选修23 1.3二项式定理对称性二项式务数的性质与首末两端“等距离 的两个二项式系数相等.广”这一性质可直接由公式 C： = c;-

6、w 得到.图象的对称轴:W2018161412 、10 启642<On=269# 普通高中课程数学选修23 1.3二项式定理28 普通高中课程数学选修23 1.3二项式定理知识对接测查1在(a+b)6展开式中，与倒数第三项二 项式系数相等是(B )第3项C第4项D第5项A第2项2、若(a+b) 11的展开式中，第三项的二项 式系数与第七项的二项式系数相等，则n=8二项式茅数的性质增减性与最大值n k + 1 k 决定由于.Qk _ n(n - 2) (n A: + 1)%-1 k(k-iy.,l所以c湘对于cT的增减情况由由：k<疋2 '可知,”当£ < t

7、乜时,即二项式系数前半部分 是逐渐增大的，由啥称性可知它的后半部分是逐 渐减小的，且中间项取得最大值。n + 1二项式系数的性质增减性与最大值因此,当斤为偶数时，中间一项的二项式 系数g取得最大值；一”.?ti-l"+12丿为奇数时，中间两项的二项式系数|cj等，且同时取得最大值。知识对接测查2io .!- 611 V1-ffid+x)10的展开式中，二项式系数最大为车L 在(1议尸的展开式中，二项式系数最大为2指出(a+2b) 15的展开式中哪些项的二项式 系数最大,并求出其最大的二项式系数解：第8、9项的二项式系数与最大。即6435最大。严-Cf-462C：= 4623在二项式(

8、x1尸的展开式中，求系数最小的项 的系数。最大的系数呢？n的展开式中只有第10项系数最大,4r=3060x4变式:若将“只有第10项”改为“第10项” 呢？二顼式系数的性质各二项式系数的和在二项式定理中，令。=/? = 1,贝！I：n ji_ 一一- nC° +C1 +C2+ + CH =2"n ： 一 Unn这就是说，（Q+b）"的展开式的各二项式系- 数的和等于：2"同时由于c：=l,上式还可以写成：©+©+ C1这是组合总数公式.30 普通高中课程数学选修2-3 1.3二项式定理例证明在+方)展开式中，奇数项的二项式系 数的和等

9、于偶数项的二项式系数的和。证明：(a+by 二 cy + cy-lb + + Crnan-rbr + -cy在二项式定理中，令= 1,贝！I： 一 ' l. _(1-1)"二住-c；+c：-C” +赋值法 0二(住 + 4)-(*+)，厂Q ZQ+c：+©+巧才218 普通高中课程数学选修2-3 1.3二项式定理知识对接测查3孑1 Co +« + + C 為=2" 士 1023 ch + c + cf + c； = 210 =1（1242求证:c； + 2C； + 3C： + +S +1） C： = S + 2） 2"T证明： 2C：+

10、2C：+3C；+S + l）算=C； +2C： +3C： + + （+ l）C： + _ a + l）c+c；+2c迁+c； =S+2）（C + C：+U +C；）=（ + 2）2"倒序相加出.C：+2C；+3C；+S + l）C；=S + l）2 门33 普通高中课程数学选修23 1.3二项式定理37 普通高中课程数学选修23 1.3二项式定理小结”对称性i=i(1)二项式系数的三个性质增减性与最大值 各二项式系数的和(2) 数学思想：函数思想a单调性;b图象;:最值。问题探究：今星期五,那么7天后的这一天Jt星期几呢？（星期五）如果是15天后的这一天呢？（星期六）（3）如果是24

11、天后的这一天呢?（星期一）（4）如果是 乂"天后的这天呢?(4)今天星期五,那么 8100 天后 的这一天是星期几？8100 = (7 + 1)100_ pO *7100 | pl 口99 -1 pr *7100-r=SoM-亠土耳+5 00(11 p99 n 1 pl00-+ +5001500= 7(C爲799 + + C薦+1余数JStl, 所以是星期六 变式：若将8”°除以9,则得到的余数是多少？变式：若将8“°除以9,则傅到的余数是多少？8】°°= (91)1°°=c 爲捫-略。999 + +%9 叫(-1)， +C制+C；細。、才所以余数Jtl,摻思考：若将8除以9,则得到的余数还是1吗？8运用二项式定理可解决许多问题，下面我们来做几个思考:思考求9严除以20的余数注:整除性问题或余数问题，主要根据二项式定理的特 点，进行添项或减项，凑成能整除的结构，这是解此 类问题的最常用技巧（余数要为正整数）24 普週画中课程数学选修23 1.3 丁项式定理._ EJ6、已知加，已Z , 且2加+ = 0,女口果二 项式(ax m + bx11 )