1-6能量不等式、波动方程解的唯一性和稳定性

1、2程解的唯一性和湛/rr值/题能唯 竿的 二/匕匕厶冃动与 牛一21.振动的动能和位能考察一维初边值问题:rCutt= 0 (Z > 0, 0 < x < Z)(1)v w(x,0) = <p(x), ut (x,0) = |/(x) (0 < x < Z) (2)w(0, t) = w(Z, 0 = 0(3)设比为问题,(2), (3)的解,用叫乘以的两端, 再从0到Z积分，得J： ututtdx - a1 J： u.udx = 0(4)f0叫张=0clJO:幕啊=2恥udx(4)(5)%心x = J： utdux = utux - f uxdut由边界条

2、件可知：ut(O,t) = ut(l,t) = OpzfZIt/2I utudx = -1 udut = 一 I uuAx I udx (6)Jo 1Jo x 1 Jo x xt2 力将(5)、(6)代入(4),得+ a2u)dx = 02 dt o记 E(t) = J：(%； + /尤皿贝U=0物理描述: 动能：ludx表示F时刻的动能。2 J。 位能(势能)：F叟表示张力在垂直方向的分力,ax四"勢为垂直分力线密度。T,dx)从而廉设长为厶的弦从!时刻到(+ &时 刻由原来位置u(x.t)发生了微小 改变8u,即u(xt + 80 = u(xt) + 8w(x)5上页I下

3、页I返回I这段时间反抗张力所作的功为：bW = (buTUxxdx从而 整条弦反抗张力所作的功为：W = -(SuTudx-TJ；(%)/ -(创hux心= -T(3u)ux +町；(弘)用于反抗张力所作的功，一部分能量通过弦的两端流 出，即-T8u)u 另一部分则使弦的位能得到增量 8K, BP8K = T(8u)xuxdxo当两端固定时，8w(0) = 8w(Z) = 0,因此从两端流出的能量-T(3u)ux=0o位能的增量57 =(3u)x uxdx(8m)xWx=|(8m)x +订-眾-飘;不计弘的高阶项，则(8w)xwx=|(8m)x + 订 - *冷比+(弘)上-詁.从f时刻到(+

4、 &时刻位能的增量8V =扣加+ (啦.f 时刻的位能为：V（/） = Tu.dx2 o注：在有外力情形，（加）卩+尸力，所以f时刻的位能为：叫0 = J；丄Tu： - Fu dxo 2总能量=£ l udx + udx2 Jo2 Jo称EC）为能量积分（相差一个非零常数因子）。9上页I下页I返回I弘” 一/(勺磁 + 比期)= 0, (X,J)G Q,Z>0, 弘(x,0) = 0(x,刃,ut(x.y.0)=久x,刃, u(x.y,t)= 0、7(x)e3Q(8)(9)#上页下页I返回I#上页下页I返回I可类似得到能量积分:(10)E =JJ 讶 + a2(u +

5、u)dxdyQ11上页下页I返回I#上页下页I返回I且有:#上页下页I返回I(11)(10)式的推导：式两端同乘以吗并在。内积分,得JJ吗知-，(均 +utuyy)dxdy = 0(11)(11)叫 + 叫 = (%+ (% J厂 %叫-UtyUy=V (均)一£(尤+必)代入(11)式,得utux)x +(utuy)ydxdy = 01 "E兀22 dt上页I下页I返回I由Green公式+（均知）丿必辺f = §均譽刃qao %由边界条件(9)知：在00上，均三0故 JJ(utux)x + (utuy)ydxdy = 0Q从而dE(t)dt=0#2.初边值问题解

6、的唯一性与稳定性 定理6.1波动方程初边值问题：utt -a2/i =仁(xj)e O 0(a) u(x. j,0) =(p(x. j), ut(x, j,0) =y)的解至多有一个。证明：由有关能量积分的推导可知，当/三0,卩三0时, 有 dE(f) _ ° 所以.疗(0 = JJ讶+讥疋+“；)血(yE(f) = E(0) = JJ 陀 +©；)上页I下页I返回I15设ux.y.t). u2(x.y,t)都 是问题(a)的解，令V = u,-u2.则7满足:Vtt - a2AK = 0, (x)e Oj > 0(b) <r(x,j,o)= o,r;(x,j,

7、o)= o所以，对任意(>o均有£2+«2(+)& = 0Qv a2 >0, 西三0,西三0,从而r(x,0 = C(常数) dt dxt V(x, 0) = 0, /. (7 = 0, i.e., V(x, t) = 0, Wj = u2能量不等式用能量积分法讨论波动方程初边值问题ruu - a2Au = f (xj) w 0(0,(c) M(x, j,0) =(p(x,y). ut(x,y,0) = %(x,刃,w(x,J,/)|(xj)e0Q=O解的连续依赖性。记 E(t) = jj« +a2(w -l-Uy)dxdyQ打)-2 jj u

8、 tf dxdy < jj udxdy + JJ f2dxdyQQQ< E(t) + jj f2dxdy上页I下页I返回IQn ?0为(切 < e a*qn E(t) < d £(0) + J#y JJ fdxdydTG丿当 0""时E(t) < Co E(o)+ J：JJ7 认如Q(其中c0=Z是仅与有关的正常数。)记 Eq (t) = IT u2dxdyQ亠"Eq ()_ 2jj Uutdxdy < JJu2dxdy + JJudxdy力GQQ<E0(t) + E(t)19atatFo (0) +£

9、 exE(T)dz当0G时 E.(t)< CEO) + E(t)cIt) (Ci =") J： E(r)dr 可:Co(E(0) + J： 口屛加如"血< C2(F(0) + J： jj屛也如)© = cj) . E 0(O < G 化(0) + E(0) + J： JJq fdxdydr :.E(t) + E，0(O<c| E(0) 4- E. (0) + J：几 fdxdydr上页I下页I返回21设分别为定义在G和(0,T)x Q内的函数，记IMl2(q)- (JJq2)2ll-IL2(0,r)xQ)由能量不等式) + E°

10、5 cE(0) + Eq(0) + JJQ f2dxdydT得制爲)+kXg)+|“£g)+ 阳爲l 制 |咖)+|0|乙2(沏 + |L2(Q) +IWL2(q)+II-IL2(o,t)xq)其C, = C/minL,a2L2(Q)定理& 2波动方程初边值问题（c）的解关于初始值 （q>,屮）与方程右端项/是稳定的，即：对Vs>0, 北=耳（£,巧>0,只要 h- ©Il咖卢帀恥", |知-霸| 加1 的|恥卢11/1- A|（o,r）xQ）5f妁之差在o<r<r±满足",An /tri<E,|-|£2(0)L2(Q) s,那么以屮1）为初值，7*1为右端项的解吗与以（q>2,屮2） 为初值，为右端项的网一对I®u2t3柯西问题解的唯一性与稳定性(d)叫-於(+知) = 0,«(x, J, 0) = ©(X,刃，均(x, ” 0) = y/(x.y)设氏是问题（d）的解23上页下页I返回I#上页下页I