矩阵的秩线性方程组可解的判别法

1、 上节介绍了用消元法解线性方程组: a11x1+ a12x2+ . + a1nxn = b1 , a21x1+ a22x2+ . + a2nxn = b2 , (1) . . . . . . am1x1+ am2x2+ . + amnxn = bm , 此法在实际解方程组时是比较方便的,下面再解决几个问题解决几个问题:(甲) 上节利用初等变换把的系数矩阵:111212122212.(2):.nnmmmnaaaaaaaaa简化为下列形式 可看到: 矩阵中出现的整数r有极重要的地位. 问题是: r与系数矩阵有何关系? 有唯一确定还是要依赖初等变换呢? 1,112,12,1100.0.010.0.(

2、3)000.1.0.0.0.0rnrnr rrncccccc 但是, 易见: 用不同的初等变换, 可将 形如但不同的矩阵. (乙) 方程组何时有解, 何时无解? 原因不清. (丙) 用方程组系数与常数项来表示解的公式还没有, 而解的公式在理论上有重要意义. 下面讨论上述几个问题, 行列式理论与“矩阵与秩”的概念将起基本作用. 先讨论 一个矩阵的元素构成的一系列行列式一个矩阵的元素构成的一系列行列式.化成 定义定义1 在一个s行t列矩阵中任取k行k列(ks,kt). 位于这些行列交点处的元素构成的k阶行列式称为该矩阵的一个k阶子式. 考察: 矩阵中出现的整数r与的子式之间有何关系? 先假定r0,

3、 则含有一个r阶子式: 但它不含阶数高于r的非零子式.10.001.00.00.1 在r=m或r=n时, 不含阶数高于r的子式; 在rm, rr, 分3种情形: (i) d不含第i行的元素, 则d也是a的一个s阶子式, 而sranka, d=0. (ii) d含第i行的元素, 也含第j行的元素, 由命题3.3.10得: 后一个行列式是矩阵a的一个s阶子式.11111.0.nssssitjtitjtititjtjtjtjtakaakaaadaaaa (iii) d含第i行的元素, 但不含第j行的元素, 则: 其中, d1是a的一个s阶子式, d2与a的 一 个 s 阶 子 式 最 多 差 一 符

4、 号 , 所 以d1=d2=0, 从而, d=0.1112.ssitjtitjtdakaakadd11.ssititjtjtaak aa 在矩阵b有阶数大于r的子式时, b的任何此类子式均为零, 而rankbr, 即任何情形都有: rankb ranka. 因为也可对矩阵b施行第3种行初等变换而得到a, 所以也有: ranka rankb. 从而有: rankb = ranka. 即: 第3种行初等变换不改变矩阵的秩. 对其他初等变换, 类似可证. 这已解决问题(甲), 实际上, th4.2.1告诉我们: 只需利用初等变换化a为4.1型矩阵后, 数数含有非零元素的行有几个便能求得a的秩, 并不

5、需要算其子式. (再考虑再考虑(乙乙) ) 定理定理4.2.2(线性方程组可解的判别法线性方程组可解的判别法) 线性方程组有解 (充分必要条件充分必要条件) 它的系数矩阵与增广矩阵的秩相等.证证: 以表示的增广矩阵, 即: 前n列所作矩阵即的系数矩阵a. 11121121222212.nnmmmnmaaabaaabaaaab用初等变换化 为: 若以b表示的前n列所作矩阵, 由定理4.2.1, 有: ranka=rankb=r, rank=rank.a1,1112,122,1110.0.01.0.00.1.0.0.0.0rnrnr rrnrrmccdccdbccddd 再设线性方程组有解, 则或r=m或rm, 且dr+1=.=dm=0, 这两种情形都有: rank=r. 由可得: ranka=rank. 反之, 设ranka=rank, 则由得: rank=r. r=m或rm且dr+1=.=dm=0, 从而方程组有解.综上所述, 定理得证. 最后把上节