7年级寒假班05-邻补角、对顶角及垂直-教师版

1、七年级寒假班初一数学寒假班（教师版）教师日期学生课程编号05课型新课课题邻补角、对顶角及垂线教学目标1理解和掌握邻补角和对顶角的概念；2理解和掌握邻补角和对顶角的性质，并灵活运用于几何运算；3理解和掌握垂线（段）及点到直线的距离概念，并灵活运用.教学重点1邻补角及对顶角的性质及运用；2 垂线的性质及运用.教学安排版块时长1邻补角的意义和性质20mi n2对顶角的意义和性质15 min3垂直的意义和性质30 min4综合运用25 min5随堂练习30 min邻补角、对顶角及垂线对顶角的定义及性质邻补角、对顶角及垂线邻补角的定义及性质垂线殴的意义及性质模块一：邻补角的意义和性质知识精讲1平面上两条

2、不重合直线的位置关系 相交：两条直线有一个交点；平行：两条直线没有交点.2、邻补角的意义两个角有一条公共边， 它们的另一边互为反向延长线，具有这种关系的两个角叫做互为邻补角.3、邻补角的性质互为邻补角的两个角一定互补，但互补的两个角不一定互为邻补角.B【例2】判断：(1) 平面内两条直线的位置关系，不是相交就是平行；()(2) 平面内两条直线有交点，则这两条直线相交；()(3) 有一条边是公共边的两个角互为邻补角.()(4) 有两个角互为补角，并且有一条公共边，那么他们互为邻补角.()【难度】【答案】(1)( 2)( 3)( 4)都是错误的.【解析】(1)错误还有重合.(2) 错误.有一个交点

3、，则两直线相交；有无数个交点，则两直线重合.(3) 错两个角有一条公共边，它们的另一边互为反向延长线，这种关系的两个角叫做互为邻补角.(4) 错误另一边不一定是互为反向延长线.【总结】考察直线与直线的位置关系和邻补角的定义.七年级寒假班 . BOD =/AOB -ZAOD =2x _ x 28 ；=x _28/AOD=2 / BOD , x 28 =2 x 28, x =84即.AOC =84【总结】考察角度之间的关系计算可以用方程思想来解决这一类问题.【例5】 如图，直线a、b相交，/仁40°,求/ 2，/ 3，/ 4的度数.a【难度】【答案】.Z2 £4=140 , /

4、3=40 .b4【解析I： . 1与.2为邻补角，.1与.3为对顶角，.1与.4为邻补角，. 2140 , . 3=40 .【总结】考察邻补角、对顶角的定义及简单的计算.【例6】 如图所示，AB、CD相交于点 O, OE平分ZAOD , Z AOC=120°,求/ BOD,Z AOE的度数.C【难度】 【答案】Z BOD= 120 ° , Z AOE=30°.【解析I： /AOC和W BOD为对顶角，A JB.AOC和.AOD 为邻补角，. BOD=120 , AOD =60 E: OE 平分 ZAOD，/AOE =1 AOD =30 .D2【总结】考察邻补角、对

5、顶角、角平分线的定义及在角度计算中的运用.【总结】考察图形的画法，注意不同情况的分类讨论.4 / 18知识精讲模块二：对顶角的意义和性质1对顶角的意义两个角有公共顶点，并且一个角的两边分别是另一个角两边的反向延长线，具有这种关 系的两个角叫做互为对顶角.2、对顶角的性质对顶角相等.【例8】例题解析F列说法中，正确的是(有公共的顶点，且方向相反的两个角是对顶角有公共顶点，且又相等的两个角是对顶角C.由两条直线相交所成的角是对顶角角的两边互为反向延长线的两个角是对顶角【难度】【答案】D【解析】考察对顶角的定义【例9】 如图，三条直线 AB、CD、EF相交于一点问一共可以构成多少对对顶角，并把他们写

6、出来.【难度】【答案】6对，见解析.【解析】.AOE和.BOF , . DOE和.COF ,ZBOD 和 ZAOC，/AOD 和/BOC ,ZBOE 和 ZAOF，/FOD 和/EOC .【总结】考察对顶角的定义.B【例101判断:(1)有公共顶点，且度数相等的两个角是对顶角.(2)相等的两个角是对顶角.【难度】【答案】(1)( 2)都错误.【解析】(1)错误，(2)错误.5 18具有这种关两个角有公共顶点，并且一个角的两边分别是另一个角两边的反向延长线, 系两个角叫做互为对顶角.【总结】考察对顶角的定义.【例11】 若/ 1与/ 2是对顶角，/ 3与/ 2互余，且/ 3=60°,那

7、么/ 1=若/ 1与/ 2是对顶角，且/1与/ 2互余，则/ 1=，/ 2=【难度】【答案】(1) 30°( 2) 45°, 45° .【解析】(1)： N 1=N2 , N3+N2=90°，/ 3=60° ,1=30®(2) v2，乙 1 . 2 =90 , /1 乙2 =45 .【总结】考察对顶角的定义和互余的意义.AD【例12】 如图，直线 AB、CD交于点O,贝U(1) 若/ 1 + / 3=68 度，则/ 1=(2) 若/ 2:/ 3=4: 1,则/ 2=(3) 若/ 2- / 仁 100 度，则/ 3=【难度】【答案】(1

8、) 34°( 2) 144° ;( 3) 40°.【解析】(1)： . 1 =. 3, / 1 + / 3=68 度， . 1=34 ;(2) v 23 =180 , / 2:/ 3=4 : 1 , . 2 =144 ;(3) ： . 2 . 1 =180，/ 2- / 仁 100 度，. . 1 =40 , . 3=40 .【总结】考察邻补角、对顶角的性质及在角度计算中的运用.【例13】 如图(1)所示，两条直线 AB与CD相交成几对对顶角?(2)如图(2)所示，三条直线 AB、CD、EF相交呢？【难度】 【答案】见解析【解析】(1)两条直线AB与CD相交成2对

9、对顶角；(2) 三条直线 AB、CD、EF相交成6对对顶角；(3) 因为3条不同直线相交所成的对顶角有3X 2十2X 2=6对，4条不同直线相交所成的对顶角有4X 3 - 2 X 2=12对，则可找出规律得：n条直线相交会成n n -1 -：-2 2二n n -1对对顶角.七年级寒假班【总结】考察对顶角的定义及根据数据特征找出规律，综合性较强.模块二：垂线(段)的意义和性质知识精讲1垂线的意义如果两条直线的夹角为直角， 那么就说这两条直线互相垂直，其中一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足.2、垂直的符号记作：“丄”，读作：“垂直于”，如： AB _ CD，读作“ AB垂直于CD”.

10、注：垂直是特殊的相交.3、垂直公理：并且只能作一条.简在平面内，过直线上或直线外的一点作已知直线的垂线可以作一条，记为：过一点，有且仅有一条直线与已知直线垂直4、中垂线过线段中点且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线，简称中垂线.5、垂线段的性质联结直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短.6、点到直线的距离如果一个点在直线直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做这个点到直线的距离.l上，那么就说这个点到直线 l的距离为零.例题解析【例14判断：(1) 经过直线外一点只有一条直线与已知直线垂直.()(2) 两条直线的交点叫垂足.()(3) 线段和射线没有垂线.()(4) 两条直

11、线不是平行就是互相垂直.()(5) 直线外一点到这条直线的垂线段，叫做这个点到直线的距离.()【难度【答案(1)正确；(2)错误；(3)错误；(4)错误；(5)错误.【解析(1)正确；(2)错误，两条直线垂直时，交点叫垂足；(3)错误，任何的射线、线段、直线都有垂线；(4)错误，还有相交(角度不为90°) ； ( 5)错误，直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做这个点到直线的距离.【总结】考察各种概念，注意仔细辨析.【例15】如图，/ ACB=90 ° , CD丄AB,垂足为点 D，那么点B到线段CD的距离是线段的长度；线段 CD的长度是点 C到线段 到线段的距离.【难度

12、】【答案】BD; AB; A; CB.【解析】考察点到直线的距离的作法.【总结】可以利用直尺来解决距离问题.的距离；线段AC是点【例16】下列选项中，哪个是直线1的垂线（1【难度】【答案】C【解析】考察垂线的画法，注意垂线是一条直线.【例17】如图，AC_BC，垂足为C, AC=4,【难度】【答案】4【解析】点A与BC的距离为AC的长度.【总结】考察点到直线的距离.BC=3，那么点A与BC的距离为 【例18】如图，直线AB, CD交于点O, 0E丄AB,NC0E =.【难度】【答案】60°.【解析】 OE丄AB,. . A0E =90 , AOC COE =90EAOC:乙COE =

13、1: 2 , . COE =60AOC: COE =1:2，贝U【总结】考察垂直的定义和角度的计算.【例19】作图题:1、已知直线 AB和点C,过点C做AB的垂线;2、作线段MN的中垂线.【答案】虚线为所求.【解析】考察垂线和中垂线的画法，注意垂线和中垂线都是直线.【例20】A、B两厂在公路同侧，拟在公路边建一货场C,若由B厂独家兴建，并考虑 B厂的利益，则要求货物离 B厂最近，请在图10中作出此时货场 C的位置，并说出这样做 的道理.B【难度】A *【答案】过B作公路的垂线，垂足为 C;理由是垂线段最短八吹公路【解析】考察垂线的画法.【总结】注意总结距离最短的画法.【例21】如图，已知 OA

14、丄OB, OC丄OD , . BOC比.AOC大20，则.BOD的度数为.【难度】【答案】35°.【解析】 OA丄OB,. NAOB=90，即 ZAOC EBOC =90v ZBOC NAOC =20 ,乙COB =55/ OCX OD，即 ZCOB £BOD=90 ，/BOD =35 .【总结】考察垂直的定义和角度的计算.【例22】如图，一棵小树生长时与地面成80°角，它的主根深入泥土，如果主根和小树在同一条直线上，那么/2等于多少度？【难度】【答案】10°.【解析】v 180 丄90 ,1 二/2 ,2=10 .七年级寒假班【总结】考察垂直的定义和对

15、顶角的性质.【例23】如图，已知直线 AB、CD相交于点 O, 0E丄AB , OB平分/ D0F ,4/ C0F=4 / B0D .求/ AOC、/ E0D、/ C0E 的度数.7【难度】 【答案】70°, 20 ° , 160 ° .4【解析】 . A0B =180 , . A0C =. D0B，/ C0F = _ / B0D ,二 A0B 二 A0C C0F D0B工18 D0B =18077 . D0B=7O . E0D =90 -70 =20 ,. A0C =/D0B =70 ,.C0E =9070 =1 6 0.【总结】考察角平分线的定义、角的计算、对

16、顶角和邻补角的定义.【例24】如图，.A0C与.B0C是邻补角，0D、0E分别是.A0C与.B0C的平分线，试判断0D与0E的位置关系，并说明理由.【难度】 【答案】垂直，理由见解析.【解析I： A0C与.B0C是邻补角， ZA0C "0B=180/ 0D、0E分别是ZA0C与乙B0C的平分线, A0C =2 D0C , B0C =2. E0C 2 D0C 2 E0C =180 . D0C . E0C =90，即 0D _ 0E.【总结】考察邻补角和角平分线的定义、角度的计算，本题可总结为邻补角的角平分线互相A.互为邻补角的两个角的平分线所成的角为90 °B. 相等的两个角

17、是对顶角C. 两直线相交，若有一个交角为D. 同角的余角相等【难度】【答案】B90 °则这四个角中任取两个角都互为补角【解析】相等的两个角不一定是对顶角.【总结】考察邻补角、对顶角的定义.).EB【例26】如图，AB与CD为直线，图中共有对顶角（A. 1对B. 2对 C . 3对D . 4对【难度】【答案】B【解析】.AOC和.BOD ,. BOC和.AOD是对顶角.【总结】考察对顶角的定义.【例27】如图，运动会上，甲、乙两名同学测得小明的跳远成绩分别为DA=4.5米，DB=4.15BA米，则小明的跳远成绩应该为 米.【难度】【答案】4.15米.【解析】跳远成绩应用算垂直距离，所以

18、D到AB的距离为DB的长度.【总结】考察点到直线的距离在实际问题中的运用.【例28】如图所示，已知 AB、CD相交于0点，0E丄AB ,Z EOC=28°则Z AOD=.【难度】【答案】62°.【解析】 0E丄AB,；EOB=90 ，即/EOC EBOC=90Z EOC=28° NBOC=62&, ZAOD=62&【总结】考察垂直的定义、角度的计算.【例29】如图，直线 AD和BE相交于 O点，OC丄AD, Z COE=7O° 求Z AOB的度数.【难度】【答案】20°【解析】 OC 丄 AD , . COD =90，即 COE

19、 . EOD =90 Z COE=70° NBOC=20°, NAOB = 20*【总结】考察垂直的定义、角度的计算.【例30】如图，已知 AB、CD、EF相交于点 O, AB丄CD , OG平分Z AOE ,BZ FOD = 28° 求Z COE、Z AOE、Z AOG 的度数.【难度】【答案】28°, 118°, 59°.【解析】/ FOD = 28° . COE=/FOD=28 AB丄CD , . AOD =90，即 AOF DOF =90 /AOF =62 /AOE /AOF =180，三AOE =11813 / 1

20、8七年级寒假班0G 平分/ AOE,. . AOG 二1. AOE 二1 118 =59 .2 2【总结】考察垂直和角平分线的定义、角度的计算，计算时注意角度之间的关系.【例31】已知直线 AB、CD、EF相交于点 0,/ 1 : / 3=3 : 1, / 2=20°,求/ DOE的度数.F【难度】【答案】140 ° .【解析】 . 1. 2. 3 =180 , / 1:/ 3=3 : 1, / 2=20° , . 1 =120 , 3 =40DOE ZCOF Z1 £2=140【总结】考察邻补角、对顶角的定义和性质及在角度计算中的运用.【例32】如图，

21、直线 AB、CD相交于点 O, OE平分/ BOD，且/ AOC = / AOD 80°CE求/ AOE的度数.【难度】 【答案】155°.【解析I：/ AOC = / AOD 80° 乙AOC+NAOD=180° . AOD =130 , AOC =50 /AOC =50，乙DOB =501 OE 平分/ BOD , . DOEDOB =25 ZAOE ZAOD DOE =130 25 =1552【总结】考察角平分线、邻补角、对顶角的定义和角度的计算，本题综合性较强，计算时注 意观察角度之间的关系.15 / 18随堂检测随堂检测【习题1】下列语句中正确

22、的是（）A. 过直线AB的中点且和 AB垂直的直线叫做中垂线B. 过线段CD的中点且和 CD垂直的直线叫做 CD的中垂线C .和直线AB相交且过A点的直线是AB的中垂线D .和线段AB相交且成90度的直线是AB的中垂线【难度】【答案】B【解析】直线没有端点，更没有中点【总结】考察中垂线的定义.【习题2下列图中，/ 1与/ 2是对顶角的是（）七年级寒假班17 / 18【难度】【答案】B【解析】考察对顶角的定义【习题3】如图5,直线a, b相交，/ 1=40° ,则/ 2=【难度】【答案】140° 40° 140°【解析】考察邻补角、对顶角的定义.【总结】考

23、察角度的计算.,/ 3=, Z 4=【习题4】如图，直线 AB、CD、EF相交于点O,/ BOE的对顶角是，/ COF的邻补角是，若/ AOE=30°,那么/ BOE=【难度】【答案】 ZAOF , Z DOF 或乙 COE , 150 °, 30°.【解析】考察邻补角、对顶角的定义【总结】考察角度的计算./ BOF =【习题5】如图7 ,直线AB、CD相交于点 O, / COE=90° , / AOC=30° , / FOB=90° ,则/ EOF=.【难度】【答案】150°.【解析I：/ AOC=30° 乙BO

24、D EAOC=30/ COE=90°，/ DOE=90° , BOE = DOE - BOD =60/ FOB=90° , ZEOF ZEOB £ FOB =150【总结】考察邻补角、对顶角的定义，考察角度的计算.【习题6】 如图所示，AB、CD相交于点 O, OE平分/ AOD , / AOC=120° ,七年级寒假班求/ BOD，/ AOE的度数.【难度】B【答案】120°, 30°【解析I：/ AOC=120°, NAOC+NAOD=180* . AOD =60 , / BOD = / AOC=120

25、6; ,/ OE 平分/ AOD , . AOE J. AOD =302【总结】考察邻补角、对顶角、角平分线的定义，考察角度的计算.【习题7】如图所示，直线 a, b, c两两相交，/ 1=2 / 3,/ 2=65°求/ 4的度数.【难度】【答案】32.5°.【解析】 ZZ2 , / 2=65° / 1= 65°/ 1=2/ 3, / 3=32.5 ° . 4 二.3 =325 .【总结】考察对顶角性质、角度计算.【习题8如图，直线 AB、CD、EF相交于点 O, / AOE=40° , / BOC=2/ AOC ,求/ DOF .【

26、难度【答案20°.【解析I：/ BOC=2/ AOC , ZBOC £AOC=180 /AOC =60 :/ AOE=40° , / COE=20° , . DOF = COE =20【总结考察对顶角性质、角度计算.【习题9如图，已知/ 2与/ BOD是邻补角，OE平分/ BOD, OF平分/ COE ,/ 2 :/仁4 ： 1,求/ AOF的度数.【难度【答案135°.【解析设上1 =x ,则乙2 =4x：OE 平分/ BOD, . BOD =2 1 =2x:2 BOD =180 , 4x 2x =180 , x =30: DOE COE =

27、180 , - COE =1501:OF 平分/ COE , . COF =丄 COE =752 . AOC =/BOD =60 , . AOF =/AOC . COF =6075 =135【总结】考察对顶角性质、角平分线定义、角度计算，本题综合性较强，可以利用方程的思 想找到角度之间的等量关系.【习题10】 已知点O是直线AB上一点，OC, OD是两条射线，且/ AOC= / BOD，则/AOC与/ BOD是对顶角吗？为什么？【答案】见解析【解析】不一定.（1）如图1,当OC、OD在直线 AB的同侧时，/ AOC与/BOD不是对顶角;（2）如图2,当OC、OD在直线 AB的两侧时，/ AOC

28、与/BOD是对顶角.【总结】考察对顶角的性质、邻补角的定义，注意分类讨论.课后作业【作业1】判断:(1)两个角开口相反且有公共点，则他们是对顶角（(2)/ A与/ B互为邻补角，所以他们相等（(3)/ 1和/ 2相等，并且他们有一条边在同一直线上，那么/仁 / 2=90° (4)同一平面内，两条不相交的直线，一定不会垂直（(5)经过一点有且仅有一条直线与已知直线垂直（(6)同一平面内，点到直线的各条线段中，垂线段最短（(7)邻补角一定是补角，补角不一定是邻补角（【难度】【答案】（1）错误；（2）错误；（3）错误；（4）正确；（5）正确;（6）正确；（7）正确.【解析】要熟悉邻补角、对

29、顶角、垂直等概念【总结】考察邻补角的定义，对顶角的性质、垂直的定义.15 18【作业2】 如图所示AB , CD相交于点O, EO丄AB于O, FO丄CD于O,/ E0D与/ FOB的大小关系是()A. Z EOD 比/ FOB大B. / EOD 比/ FOB小C. / EOD与/ FOB 相等D . / EOD与/ FOB大小关系不确定【难度】【答案】C【解析】 EO丄AB于O,；EOB=9O ，即/EOD EBOD=9O/ FO 丄 CD 于 O, . DOF =90 ，即.FOB . BOD =90/ EOD= / FOB【总结】考察垂直的定义和角度计算.【作业3】如图，一辆汽车在直线形

30、的公路AB上由A向B行驶，C, D是分别位于公路 AB两侧的加油站设汽车行驶到公路 AB上点M的位置时，距离加油站 C最近；行驶到 点N的位置时，距离加油站 D最近，请在图中的公路上分别画出点M, N的位置并说明理由.【难度】【答案】 【解析】理由是垂线段最短【总结】考察垂线段的性质.【作业4】 如图，AOB为直线，/ AOD :/ DOB=3: 1, OD平分/ COB .(1)求/ AOC的度数；(2)判断AB与OC的位置关系.【难度】【答案】(1) 90°( 2)垂直.【解析】T/ AOD : / DOB=3: 1, AOD DOB =180 EAOD =135 ,乙DOB =45七年级寒假班0D 平分/ COB ,a COD = DOB =45 AOC =/AOD/COD =90，即 AB _OC【总结】考察邻补角的定义、角度计算.【作业5】若两个角互为邻补角，则它们的角平分线所夹的角为 度.【难度】【答案】90°A B【解析】如图，. AOC与.BO