2022年中考数学一轮复习4.5《直角三角形与勾股定理》讲解（含答案）

1、第五节 直角三角形与勾股定理课标呈现 指引方向1了解直角三角形的概念，探索并掌握直角三角形的性质定理：直角三角形的两个锐角互余，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。掌握有两个角互余的三角形是直角三角形。2探索勾股定理及其逆定理，并能运用它们解决一些简单的实际问题。考点梳理 夯实基础1直角三角形的性质：（1）直角三角形的两个锐角 ；【答案】互余（2）勾股定理：若直角三角形的两条直角边分别为a，b，斜边为c，那么 ； 【答案】a2b2c2（3）直角三角形斜边上的中线等于 ； 【答案】斜边的一半（4）直角三角形中，30°角所对的直角边等于 【答案】斜边的一半2直角三角形的判定：（1）勾股

2、定理逆定理：如果三角形的三边a，b，c满足a2b2c2，那么这个三角形是直角三角形；（2）如果三角形一边上的中线等于这边的 ，那么这个三角形是直角三角形【答案】一半3勾股数：可以构成直角三角形三边的一组正整数常见的勾股数有：（3，4，5）、（5，12，13）、（7，24，25）、（8，15，17）以及（3n，4n，5n）、（5n，12n，13n）、（7n，24n，25n）、（8n，15n，17n）（n为正整数）考点精析 专项突破考点一 勾股定理和勾股定理的逆定理【例1】（1）（临沂）如图，将一矩形纸片ABCD折叠，使两个顶点A，C重合，折痕为FG若AB4，BC8，则ABF的面积为_【答案】6解

3、题点拨：本题考查矩形的性质，折叠的性质，勾股定理等，根据勾股定理列出方程是解题的关键先利用矩形的性质和折叠的性质得出B90°，AFFC；然后利用勾股定理列方程求出BF的长；再用三角形面积公式求出三角形的面积（2）（武汉）如图，在四边形ABCD中，ABC90°，AB3，BC4，CD10，DA，则BD的长为_ 【答案】解题点拨：连接AC，过点D作BC边上的高，交BC延长线于点H在RtABC中，AB3，BC4，AC5，又CD10，DA5，可知ACD为直角三角形，且ACD90°，易证ABCCHD则CH6，DH8，从而在RtBHD中易求BD考点二 性质“直角三角形斜边上的中

4、线等于斜边的一半”的运用【例3】如图，在四边形ABCD中，ADBC，DEBC，垂足为点E连接AC交DE于点F，点G为AF的中点ACD2ACB若DG3，EC1求DE的长解题点拨：综合考查了勾股定理、等腰三角形的判定与性质和直角三角形斜边上的中线，解题的关键是证明CDDG3鼹：ADBC，DEBC，DEAD，CADACB点G为AF的中点，DGAG，GADGDA，CGD2CAD，ACD2ACB，ACDCGD，CDDG3，在Rt CED中，DE2考点三 性质“直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半”的运用【例4】(西宁)如图，OP平分AOB，AOP15°，PCOA ，PDO

5、A于点D，PC4，则PD 【答案】2 解题点拨：作PEOB于E，根据角平分线的性质可得PEPD根据平行线的性质可得BCPAOB30°，由直角三角形中30°的角所对的直角边等于斜边的一半，可求得PE，即可求得PD 课堂训练 当堂检测1(南京)下列长度的三条线段能组成直角三角形的是 ( )A3，4，4 B3，4，5C3，4，6 D3，4，7【答案】B2(滨州)如图，在直角O的内部有一滑动杆AB，当端点A沿直线AO向下滑动时，端点B会随之自动地沿直线OB向左滑动，如果滑动杆从图中AB处滑动到处，那么滑动杆的中点C所经过的路径是 ( )A直线的一部分 B圆的一部分C双曲线的一部分

6、D抛物线的一部分第2题 【答案】B3(黄冈)如图，在矩形ABCD中，点E，F分别在边CD，BC上，且DC3DE3a，将矩形沿直线EF折叠，使点C恰好落在AD边上的点P处，则FP 【答案】2a第3题4(重庆A)如图1，在ABC中，ACB 90°，BAC60°，点E是BAC角平分线上一点，过点E作AE的垂线，过点A作AB的垂线，两垂线交于点D，连接DB，点F是BD的中点，DHAC，垂足为H，连接EF，HF (1)如图1，若点H是AC的中点，AC2，求AB，BD的长： (2)如图1，求证：HFEF； (3)如图2，连接CF，CE，猜想：CEF是否是等边三角形？若是，请证明；若不是

7、，请说明理由， 图1 图2第4题【答案】解：(1)在ABC中，ACB90°，BAC60°，AC2，AB4ADABDAH30°点H是AC的中点，AHAC在ADH中AD2在ADB中，根据勾股定理，得BD2(2)如答图1，连接AF，易证：DAEADH(AAS)，DHAEFDHFDAHDAFDA60°(90°FBA)60°30°FBA，EAFFDH又点F是BD的中点，即AF是RtABD斜边上的中线，AFDFDHFAEF(SAS)HFEF(3)CEF为等边三角形，证明如下：如答图2，取AB的中点M，连接CM、FM，在RtADE中，AD

8、2AE，FM是ABD的中位线AD 2FMFM AE易证ACM为等边三角形，ACCM，ACM60°CAECAB30°，CMFAMFAMC30°，CAECMFACEMCF(SAS)CE CF，ACEMCFECFECMMCFECMACE 60°CEF为等边三角形 图1 图2 第4题答案图中考达标模拟自测A组 基础训练一、选择题1(连云港)如图1，分别以直角三角形三边为边向外作等边三角形，面积分别为S1、S2、S3；如图2，分别以直角三角形三个顶点为圆心，三边长为半径向外作圆心角相等的扇形，面积分别为S4、S5、S6其中S116，S245 ，S511，S614，

9、则S3S4 ( )A8 B64 C54 D48 图1 图2第1题【答案】C2(海南)如图，AD是ABC的中线，ADC45°，把ADC沿着直线AD对折，点C落在点E的位置如果BC6，那么线段BE的长度为 ( )A6 B6 C2 D3第2题【答案】D3如图，在ABC中，ACB90°，AC6，BC8，AD是BAC的平分线，若P，Q分别是AD和AC上的动点，则PCPQ的最小值是 ( ) A B4 C D5第3题【答案】C4(泰安)如图，矩形ABCD中，E是AD的中点，将ABE沿直线BE折叠后得到GBE延长BG交CD于点F若AB6，BC4，则FD的长为 ( ) A2 B4 CB D2

10、 第4题【答案】B二、填空题5(随州)如图，在ABC中，ACB90°，M、N分别是AB、AC的中点，延长BC至点D，使CD BD，连接DM、DN、MN若AB6，则DN 第5题【答案】36(温州)七巧板是我们祖先的一项卓越创造，被誉为“东方魔板”，小明利用七巧板(如图1所示)中各板块的边长之间的关系拼成一个凸六边形(如图2所示)，则该凸六边形的周长是 cm 图1 图2第6题【答案】(3216)7(连云港)如图1，将正方形纸片ABCD对折，使AB与CD重合，折痕为EF如图2，展开后再折叠一次，使点C与点E重合，折痕为GH，点B的对应点为点MEM交AB于N若AD2则MN 图1 图2 第7题

11、【答案】三、解答题8已知，如图，在ABC中，ACB90°，点D为AB中点，连接CD点E为边AC上一点，过点E作EFAB，交CD于点F，连接EB，取EB的中点G，连接DG、FG(1)求证：EFCF；(2)求证：FGDG第8题【答案】证明：(1)在RACB中，D为AB中点DADCDBA1EFAB2A12CF EF(2)延长FG，交AB于点HEFABFEGGBHG为EB中点EGGB又FGEHGBEFGBHGFGGH，EFHBCFDCCFDBHB即DFDHDGFG第8题答案图9(黄石)在ABC中，AB AC，BAC2DAE 90° (1)如图1，若点D关于直线AE的对称点为F，求证

12、：DE2BD2CE2： (2)如图2，点E在BC的延长线上，则等式DE2BD2CE2还能成立吗？请说明理由 图1 图2 第9题【答案】解：(1)点D关于直线AE的对称点为F，EFDE，AFAD，BAC90°，BAD90°CAD，CAFDAEEAFCAD45°45°CAD90°CAD，BADCAF，在ABD和ACF中，ABDACF(SAS)，CFBD，ACFB，ABC是等腰直角三角形，BACB45°，ECFACBACF45°45°90°，在RtCEF中，由勾股定理得，EF2CF2 CE2，所以，DE2BD2

13、CE2；(2) DE2BD2CE2还能成立理由如下：作点D关于AE的对称点F，连接EF、CF，由轴对称的性质得，EFDE，AFAD，BAC90°，BAD90°CAD，CAFDAEEAFCAD45°45°CAD90°CAD，BADCAF，在ABD和ACF中， ABDACF(SAS)，CFBD，ACFB，ABC是等腰直角三角形，BACB45°，ECFACBACF45°45°90°，在RtCEF中，由勾股定理得，EF2 CF2CE2，所以，DE2BD2CE2第9题答案图B组 提高练习10(东营)在ABC中，AB

14、10，AC2，BC边上的高AD6，则另一边BC等于 ( ) A10 B8 C6或10 D8或10【答案】C(提示：在图中，由勾股定理，得BD8；CD2；BCBDCD8210在图中，由勾股定理，得BD8；CD2；BCBDCD826)2·1·c·n·j·y 图 图11(资阳)如图，在等腰直角ABC中，ACB90°，COAB于点O，点D、E分别在边AC、BC上，且AD CE，连结DE交CO于点P，给出以下结论： DOE是等腰直角三角形：CDECOE;若AC1，则四边形CEOD的面积为，其中所有正确结论的序号是 【答案】(提示：如图，ACB9

15、0°，ACBC，COAB，AOOBOC，ABACOBCO45°，ADOCEO，DO OE，AODCOE，AOC DOE90°，DOE是等腰直角三角形故正确DCEDOE180°，D、C、E、O四点共圆，CDECOE，故正确ACBC1，SABC×1×1，S四边形DCEO SDOC SCEO SCDO SADOSAOCSABC，故正确)12ABC中，BAC90°，ABAC，点D为直线BC上一动点(点D不与B，C重合)，以AD为边在AD右侧作正方形ADEF连接CF (1)观察猜想 如图1当点D在线段BC上时， BC与CF的位置关系为

16、： BC，CD，CF之间的数量关系为： ；(将结论直接写在横线上) (2)数学思考 如图2，当点D在线段CB的延长线上时，结论是否仍然成立？若成立，请给予证明；若不成立，请你写出正确结论再给予证明 (3)拓展延伸 如图3，当点D在线段BC的延长线上时，延长BA交CF于点G，连接GE若已知AB2，CDBC，请求出GE的长 图1 图2 图3 第12题【答案】解：(1)垂直，BCCDCF(2)不成立，BCCDCF正方形ADEF中，ADAF，BACDAF90°，BADCAF，ADAF，ABAC，DA BFAC，ABDACF ，CFBDACFACB90°，即CFBD;BCCDBD，BCCDCF(3)过A作AHBC于H，过E作EMBD于M，ENCF于N，BAC90