数理统计之大数定理

1、 上页 下页 返回 结束 数学科学与技术学院一、问题的引入一、问题的引入二、大数定律二、大数定律三、中心极限定理三、中心极限定理四、小结四、小结 上页 下页 返回 结束 数学科学与技术学院 上页 下页 返回 结束 数学科学与技术学院 研究大量的随机现象，常常采用极限研究大量的随机现象，常常采用极限形式，由此导致对极限定理进行研究形式，由此导致对极限定理进行研究. . 极限定理的内容很广泛，其中最重要极限定理的内容很广泛，其中最重要的有两种的有两种: : 上页 下页 返回 结束 数学科学与技术学院22()P X 切比雪夫不等式切比雪夫不等式2 22()1P X 上页 下页 返回 结束 数学科学与

2、技术学院1111lim |1nniiniiPXnn2i i 上页 下页 返回 结束 数学科学与技术学院证明证明111111()=nnniiiiiiEXE Xnnn 222111111M()=nnniiiiiiDXD Xnnnn 21222111111,ninniiiiiMPXnnnn ，在在上上式式中中令令 n1111lim |1nniiniiPXnn 上页 下页 返回 结束 数学科学与技术学院关于定理一的说明: 上页 下页 返回 结束 数学科学与技术学院. 0lim1lim , 0 , , pnnPpnnPApAnnAnAnA或或有有则对于任意正数则对于任意正数率率在每次试验中发生的概在每次

3、试验中发生的概是事件是事件的次数的次数发生发生次独立重复试验中事件次独立重复试验中事件是是设设证明证明引入随机变量引入随机变量 ., 2, 1, 1, 0kAkAkXk发发生生次次试试验验中中若若在在第第不不发发生生次次试试验验中中若若在在第第 上页 下页 返回 结束 数学科学与技术学院,21nAXXXn 显然显然是是相相互互独独立立的的，因因为为, 21nXXX , )10( 分布分布为参数的为参数的服从以服从以且且 pXk., 2, 1),1()(,)( kppXDpXEkk所所以以根据定理一有根据定理一有, 1)(1lim21 pXXXnPnn.1lim pnnPAn即即 上页 下页 返

4、回 结束 数学科学与技术学院 上页 下页 返回 结束 数学科学与技术学院), 2 , 1( )( , , , , 21 kXEXXXkn 且且具具有有数数学学期期望望服服从从同同一一分分布布相相互互独独立立设设随随机机变变量量. 11lim,1 nkknXnP有有则则对对于于任任意意正正数数 上页 下页 返回 结束 数学科学与技术学院有有意意正正数数证证明明对对任任且且独独立立同同分分布布设设随随机机变变量量 , 2 , 1,)(, 0)(,221 kXDXEXXXkkn解解. 11lim212 nkknXnP是是相相互互独独立立的的，因因为为, 21nXXX也是相互独立的，也是相互独立的，所

5、以所以, 22221nXXX, 0)( kXE由由22 )()()( kkkXEXDXE 得得,2 由由辛钦定理辛钦定理知知,有有对于任意正数对于任意正数 , . 11lim212 nkknXnP 上页 下页 返回 结束 数学科学与技术学院 上页 下页 返回 结束 数学科学与技术学院 上页 下页 返回 结束 数学科学与技术学院 上页 下页 返回 结束 数学科学与技术学院 上页 下页 返回 结束 数学科学与技术学院111()()nnkkkknnkkXEXZDX 上页 下页 返回 结束 数学科学与技术学院 上页 下页 返回 结束 数学科学与技术学院定理四（独立同分布的中心极限定理）1limniin

6、XnPxn 2-t2-1edt2xx 2 上页 下页 返回 结束 数学科学与技术学院1limniinXnPxn x 1(0,1)niiXnNn 近近似似地地211( ,/ )niiXNnn 近近似似地地 上页 下页 返回 结束 数学科学与技术学院211( ,/ )niiXNnn 近近似似地地 上页 下页 返回 结束 数学科学与技术学院定理五（李雅普诺夫定理）, 0|1,), 2 , 1(0)(,)(,122122221 nkkknnkknkkkknXEBnBkXDXEXXX 时时使得当使得当若存在正数若存在正数记记和方差：和方差：们具有数学期望们具有数学期望它它相互独立相互独立设随机变量设随机

7、变量 上页 下页 返回 结束 数学科学与技术学院则则 xBXPxFnnkknkknnn11lim)(lim xtxt).(de2122 上页 下页 返回 结束 数学科学与技术学院 xtnnnxtxpnpnpPxppnn).(de21)1(lim,)10(,), 2 , 1(22 恒恒有有对对于于任任意意则则的的二二项项分分布布服服从从参参数数为为设设随随机机变变量量 上页 下页 返回 结束 数学科学与技术学院证明证明1,nnkkX 分分布布律律为为分分布布的的随随机机变变量量一一是是相相互互独独立立的的、服服从从同同其其中中,)10(,21nXXX. 1, 0,)1(1 ippiXPiik,)

8、(pXEk ), 2 , 1()1()(nkppXDk 根据定理四得根据定理四得 xpnpnpPnn)1(lim xpnpnpXPnkkn)1(lim1( ).x 上页 下页 返回 结束 数学科学与技术学院例3解解010()5,2kE V 2(100)25()(1,2,20).123kD Vk 由定理四由定理四, , 知：知：(1,2,20)kVk (0,10)201kkVV 105P V 上页 下页 返回 结束 数学科学与技术学院20120525203kkVZ 205(0,1)25203VN 近近似似105P V2051052052525202033VP 2050.38725203VP 上页

9、 下页 返回 结束 数学科学与技术学院105P V10010.38725203VP )387. 0(1 .348. 0 上页 下页 返回 结束 数学科学与技术学院例4 一船舶在某海区航行一船舶在某海区航行, , 已知每遭受一次海浪已知每遭受一次海浪的冲击的冲击, , 纵摇角大于纵摇角大于 3 3 的概率为的概率为1/3, 1/3, 若船舶若船舶遭受了遭受了90 00090 000次海浪冲击次海浪冲击, , 问其中有问其中有29 50029 50030 50030 500次纵摇角大于次纵摇角大于 3 3 的概率是多少？的概率是多少？1 (90000,).3Xb且且 上页 下页 返回 结束 数学科

10、学与技术学院所求概率为所求概率为2950030500PX 9000030500295019000012.33kkkk P Xk 900009000012,33kkk 1,90000.k 上页 下页 返回 结束 数学科学与技术学院2950030500PX 2950030500(1)(1)(1)npXnpnpPnppnppnpp 3050029500(1)(1)npnpnppnpp ,31,90000 pn5 25 222 0.9995. 上页 下页 返回 结束 数学科学与技术学院解解设设 X 为一年中投保老人的死亡数为一年中投保老人的死亡数, ,),(pnBX则则,017. 0,10000 pn其中其中由由棣莫佛拉普拉斯定理棣莫佛拉普拉斯定理知知, , 上页 下页 返回 结束 数学科学与技术学院1000010000200PX 200P X 200(1)(1)XnpnpPnppnpp2.321(1)XnpPnpp 1(2.3