立体几何综合大题20道理

1、立体几何综合大题（理科）40道及答案1、四棱锥中,底面, .()求证:平面；()若侧棱上的点满足,求三棱锥的体积。【答案】()证明:因为bc=cd，即为等腰三角形，又,故.因为底面，所以,从而与平面内两条相交直线都垂直，故平面。()解：.由底面知. 由得三棱锥的高为,故：2、如图，四棱锥中，四边形为矩形，为等腰三角形，平面 平面，且，分别为和的中点（）证明：平面；（）证明：平面平面；（）求四棱锥的体积【答案】（）证明：如图，连结四边形为矩形且是的中点也是的中点 又是的中点， 平面，平面，所以平面； （）证明：平面 平面，平面 平面，所以平面 平面，又平面，所以 又，是相交直线，所以面 又平面，

2、平面平面； （）取中点为连结,为等腰直角三角形，所以，因为面面且面面，所以，面，即为四棱锥的高 由得又四棱锥的体积 考点：空间中线面的位置关系、空间几何体的体积.3、如图，在四棱锥中， ，.（）证明：；（）若求四棱锥的体积【答案】（）设，连接ef， 平分为中点，为中点，为的中位线. ，. ()底面四边形的面积记为; 考点：1.线面平行的证明；2.空间几何体的体积计算.4、如图，在四棱锥中，底面为菱形，其中，为的中点(1) 求证：；(2) 若平面平面,且为的中点，求四棱锥的体积【答案】 （1），为中点， 连，在中，为等边三角形，为的中点，, ,平面,平面 , 平面. （2）连接,作于. ,平面,

3、平面平面abcd,平面平面abcd， , , . , 又,. 在菱形中，, . 5、如图，是矩形中边上的点，为边的中点，现将沿边折至位置，且平面平面. 求证：平面平面； 求四棱锥的体积. 【答案】(1) 证明：由题可知，(2) ，则. 6、已知四棱锥中，是正方形，e是的中点，(1)若，求 pc与面ac所成的角(2) 求证：平面(3) 求证：平面pbc平面pcd【答案】平面，是直线在平面上的射影，是直线和平面所成的角。又，四边形是正方形，；直线和平面所成的角为（2）连接ac交bd与o,连接eo, e、o分别为pa、ac的中点eopc pc平面ebd,eo平面ebd pc平面ebd（3）pd平面a

4、bcd, bc平面abcd，pdbc，abcd为正方形 bccd，pdcd=d, pd，cd平面pcdbc平面pcd又 bc平面pbc平面pbc平面pcd7、在边长为的正方形中，分别为的中点，分别为的中点，现沿折叠，使三点重合，重合后的点记为，构成一个三棱锥（1）请判断与平面的位置关系，并给出证明；（2）证明平面；（3）求四棱锥的体积【答案】（1）平行平面 证明：由题意可知点在折叠前后都分别是的中点（折叠后两点重合）所以平行因为，所以平行平面.（2）证明：由题意可知的关系在折叠前后都没有改变.因为在折叠前，由于折叠后，点，所以 因为，所以平面.（3） .8、在如图所示的几何体中，四边形是正方形

5、，平面，、分别为、的中点，且.(1)求证：平面平面；(2)求三棱锥与四棱锥的体积之比【答案】(1)证明：平面，平面，又平面，为正方形，dc.，平面.在中，因为分别为、的中点，平面.又平面，平面平面.(2)不妨设，为正方形，又平面，所以.由于平面，且，所以即为点到平面的距离，三棱锥××2.所以.9、如图，在底面是直角梯形的四棱锥s-abcd中，(1)求四棱锥s-abcd的体积;(2)求证：(3)求sc与底面abcd所成角的正切值。【答案】（1）解： （2）证明：又 （3）解：连结ac,则就是sc与底面abcd所成的角。在三角形sca中，sa=1,ac=, 10.如图，四棱锥中

6、，底面为矩形，底面，点在侧棱上，。 （i）证明：是侧棱的中点；求二面角的大小。 【答案】分别以da、dc、ds为x、y、z轴如图建立空间直角坐标系dxyz，则。（）设，则又故，即，解得，所以是侧棱的中点。（）由（）得，又，设分别是平面、的法向量，则且，即且分别令得，即， 二面角的大小。 11、如图，直三棱柱abc-a1b1c1中，abac,d、e分别为aa1、b1c的中点，de平面bcc1（）证明：ab=ac （）设二面角a-bd-c为60°,求b1c与平面bcd所成的角的大小 【答案】（）以a为坐标原点，射线ab为x轴的正半轴，建立如图所示的直角坐标系axyz。设b（1，0，0），

7、c（0，b，0），d（0，0，c），则（1，0，2c）,e（，c）.于是=（，0），=（-1，b,0）.由de平面知debc， =0，求得b=1，所以 ab=ac。（）设平面bcd的法向量则又=（-1，1， 0），=（-1，0，c）,故 令x=1, 则y=1, z=,=(1,1, )。又平面的法向量=（0，1，0）由二面角为60°知，=60°，故 °，求得 于是 ， ， °所以与平面所成的角为30°12、如图，平面，分别为的中点（i）证明：平面；（ii）求与平面所成角的正弦值【答案】（）证明：连接， 在中，分别是的中点，所以， 又，所以，又平面

8、acd ，dc平面acd， 所以平面acd（）在中，所以 而dc平面abc，所以平面abc 而平面abe， 所以平面abe平面abc， 所以平面abe由（）知四边形dcqp是平行四边形，所以 所以平面abe， 所以直线ad在平面abe内的射影是ap， 所以直线ad与平面abe所成角是 在中， ，所以13、如图，四棱锥的底面是正方形，点e在棱pb上.（）求证：平面； （）当且e为pb的中点时，求ae与平面pdb所成的角的大小.【答案】（）四边形abcd是正方形，acbd，pdac，ac平面pdb，平面.（）设acbd=o，连接oe， 由（）知ac平面pdb于o， aeo为ae与平面pdb所的角，

9、 o，e分别为db、pb的中点， oe/pd，又， oe底面abcd，oeao， 在rtaoe中， ，即ae与平面pdb所成的角的大小为.14、如图，在四棱锥中，底面是矩形，平面，以的中点为球心、为直径的球面交于点（1）求证：平面平面；（2）求直线与平面所成的角；（3）求点到平面的距离【答案】（1）证：依题设，在以为直径的球面上，则.因为平面，则，又，所以平面，则，因此有平面，所以平面平面.（）设平面与交于点，因为，所以平面，则，由（1）知，平面，则mn是pn在平面abm上的射影，所以 就是与平面所成的角，且 所求角为（3）因为o是bd的中点，则o点到平面abm的距离等于d点到平面abm距离的

10、一半，由（1）知，平面于m，则|dm|就是d点到平面abm距离.因为在rtpad中，所以为中点，则o点到平面abm的距离等于。15、如图，正方形所在平面与平面四边形所在平面互相垂直，是等腰直角三角形，（i）求证：；（ii）设线段、的中点分别为、，求证： （iii）求二面角的大小。【答案】（i）因为平面abef平面abcd，bc平面abcd，bcab，平面abef平面abcd=ab，所以bc平面abef.所以bcef.因为abe为等腰直角三角形，ab=ae，所以aeb=45°，又因为aef=45,所以feb=90°，即efbe.因为bc平面abcd, be平面bce,bcbe

11、=b所以（ii）取be的中点n,连结cn,mn,则mnpc pmnc为平行四边形,所以pmcn. cn在平面bce内,pm不在平面bce内, pm平面bce. （iii）由eaab,平面abef平面abcd,易知ea平面abcd.作fgab,交ba的延长线于g,则fgea.从而fg平面abcd,作ghbd于h,连结fh,则由三垂线定理知bdfh. fhg为二面角f-bd-a的平面角. fa=fe,aef=45°,aef=90°, fag=45°.设ab=1,则ae=1,af=,则在rtbgh中, gbh=45°,bg=ab+ag=1+=, 在rtfgh中

12、, , 二面角的大小为16、如图，四棱锥s-abcd的底面是正方形，sd平面abcd,sdada,点e是sd上的点，且dea(0<1). ()求证：对任意的（0、1），都有acbe:()若二面角c-ae-d的大小为600c，求的值。【答案】（）证发1：连接bd，由底面是正方形可得acbd。 sd平面，bd是be在平面abcd上的射影，由三垂线定理得acbe.(ii)sd平面abcd，平面， sdcd. 又底面是正方形， dd，又ad=d，cd平面sad。过点d在平面sad内做dfae于f，连接cf，则cfae， 故cfd是二面角c-ae-d 的平面角，即cfd=60°在rtad

13、e中，ad=, de= ， ae= 。于是，df=在rtcdf中，由cot60°=得， 即=3 ， 解得=17、如图3，在正三棱柱中，ab=4, ,点d是bc的中点，点e在ac上，且dee.（）证明：平面平面; （）求直线ad和平面所成角的正弦值。【答案】（）如图所示，由正三棱柱的性质知平面.又de平面abc，所以de.而dee，,所以de平面.又de 平面，故平面平面. （） 过点a作af垂直于点,连接df.由（）知，平面平面，所以af平面,故是直线ad和平面所成的角。 因为de，所以deac.而abc是边长为4的正三角形，于是ad=，ae=4-ce=4-=3.又因为，所以e= =

14、 4, , .即直线ad和平面所成角的正弦值为 .18、如图，正方形所在平面与平面四边形所在平面互相垂直，是等腰直角三角形，（i）求证：；（ii）设线段、的中点分别为、，求证： （iii）求二面角的大小。【答案】（i）因为平面abef平面abcd，bc平面abcd，bcab，平面abef平面abcd=ab，所以bc平面abef.所以bcef.因为abe为等腰直角三角形，ab=ae，所以aeb=45°，又因为aef=45,所以feb=90°，即efbe.因为bc平面abcd, be平面bce,bcbe=b所以 （ii）取be的中点n,连结cn,mn,则mnpc pmnc为平行

15、四边形,所以pmcn. cn在平面bce内,pm不在平面bce内, pm平面bce. （iii）由eaab,平面abef平面abcd,易知ea平面abcd.作fgab,交ba的延长线于g,则fgea.从而fg平面abcd,作ghbd于h,连结fh,则由三垂线定理知bdfh. fhg为二面角f-bd-a的平面角. fa=fe,aef=45°,aef=90°, fag=45°.设ab=1,则ae=1,af=,则在rtbgh中, gbh=45°,bg=ab+ag=1+=, 在rtfgh中, , 二面角的大小为19、如题（18）图，在五面体中，四边形为平行四边形

16、，平面，求：（）直线到平面的距离；（）二面角的平面角的正切值【答案】（）平面, ab到面的距离等于点a到面的距离，过点a作于g，因，故；又平面，由三垂线定理可知，故，知，所以ag为所求直线ab到面的距离。在中，由平面，得ad，从而在中，。即直线到平面的距离为。（）由己知，平面，得ad，又由，知，故平面abfe，所以，为二面角的平面角，记为.在中, ,由得,从而在中, ,故所以二面角的平面角的正切值为.20、如图，四棱锥p­abcd中，底面abcd为平行四边形，dab60°，ab2ad，pd底面abcd(1)证明：pabd；(2) 设pdad，求二面角apbc的余弦值【答案】(1)因为da