第八章z变换离散时间系统的时域分析

1、求解差分方程的工具，类似于拉普拉斯变换；求解差分方程的工具，类似于拉普拉斯变换；z变换的历史可是追溯到变换的历史可是追溯到18世纪；世纪；20世纪世纪5060年代抽样数据控制系统和数字计算机的年代抽样数据控制系统和数字计算机的研究和实践，推动了研究和实践，推动了z变换的发展；变换的发展；70年代引入大学课程；年代引入大学课程；今后主要应用于今后主要应用于dsp分析与设计，如语音信号处理等分析与设计，如语音信号处理等问题。问题。本章主要讨论：本章主要讨论：拉氏变换的定义、收敛域、性质，与傅氏变换和拉氏拉氏变换的定义、收敛域、性质，与傅氏变换和拉氏变换的关系；利用变换的关系；利用z变换解差分方程；

2、变换解差分方程；利用利用z平面零极点的分布研究系统的特性平面零极点的分布研究系统的特性。一引言一引言二z变换的导出抽样信号的拉氏变换抽样信号的拉氏变换离散信号的离散信号的z变换变换)()()(sttxtxt 对对 取拉氏变换取拉氏变换)(stx nnttntxltxlsx)()()()(ss )(stxda/)(nxk数字滤波器)(ngkad/)(tg)(tp)(txot txstt2 nttntx on nx1 2nnnttntxntttx)()()()( nnsntntxnttlntxsxe)()()(s sj 其中其中为连续变量为连续变量，引入复变量引入复变量 e stz )()(| )

3、(eszxznxsxnnzst )(变换式为变换式为的（双边）的（双边）对任一信号对任一信号znx nnznxzx)()( nxntx表示为表示为，将，将 nnznxzx)()(的负幂的负幂的正幂的正幂znzznxzxzxzxzxzx )()2()1()0( )1()2(21012 的幂级数的幂级数是是1 zzx 的位置的位置指出指出中的中的幂幂 nxnn nx 级数的系数是级数的系数是三对z变换式的理解说明变换变换单边单边zznxzxnn,)()(0 列列的负幂级数构成右边序的负幂级数构成右边序zn 0 列列的正幂级数构成左边序的正幂级数构成左边序zn 1 若双边序列取单边若双边序列取单边z

4、变换，或对因果信号（有起因序变换，或对因果信号（有起因序列）列） 存在的序列取存在的序列取z z变换变换 0 n典型序列的z变换z变换的定义 变换变换双边双边变换变换单边单边nnnnznxzxzznxzxz)()()()(0 的的生生成成函函数数。为为某某些些文文献献中中也也称称数数）；的的幂幂级级数数（亦亦称称罗罗朗朗级级复复变变量量)(1nxzxz 一单位样值函数 0 001)(nnn 1)()( nnznzx 二单位阶跃序列 0001)(nnnu1 z1111)(1321 zzzzzzzxno)(n 1no)(nu112 3三斜变序列的z变换？， 0)()()(nnnzzxnnunx已知

5、已知 1 11)(10 zzznuznn求导求导两边，对两边，对式式对对11011 zzznn21011)1(1)( zznnn两边同时乘以两边同时乘以z-1 ，可得，可得 1 z 20)1( zzznnnuznn（用间接方法求）（用间接方法求）同理可得302211)()()( zzzznnunnn42033114)()()( zzzzznnunnn )(dd)()(11zxzznxnznxnmmm n是是离散离散变量，所以对变量，所以对n没有没有微积分运算；微积分运算；z是是连续连续变量，所以对变量，所以对z有有微积分运算。微积分运算。四指数序列)()(nuanxn az bbnzznuze

6、)(e 则则,e,ebbza 设设当当, 1,e0j za设设当当 00jje)( nzznuez 则则 0nnnzazxazzaz 1111 1右边序列右边序列 1 2 nuanxn左边序列左边序列.注意：注意：z 变换相同时，左边序列的定义。变换相同时，左边序列的定义。 azzzx 1 nanaz 五正弦与余弦序列 nun0cos 2eecos 00jj0nnn 因为因为 nnzznuz00jjee 1 z单边余弦序列单边余弦序列 1cos2cosee21cos 020jj000 zzzzzzzznunznn所以所以同理同理 1cos2sineej21sin 020jj000 zzzzzz

7、znunlnn一收敛域的定义收敛的所有收敛的所有z 值值之之集合集合为收敛域。为收敛域。 nnznxzx)()(）的的区区域域（即即满满足足roc )( nnznx对于任意给定的序列对于任意给定的序列x(n) ，能使，能使roc: region of convergence不同的不同的x(n)的的z变换，由于收敛域不同，可能对应于相变换，由于收敛域不同，可能对应于相同的同的z 变换，故在确定变换，故在确定 z 变换时，变换时，必须指明收敛域。必须指明收敛域。二两种判定法1 1比值判定法比值判定法 nna 1limaannn 令令若有一个正项级数，若有一个正项级数，则：则： 1：发散：发散 nn

8、nalim即令正项级数的一般项即令正项级数的一般项na的的n次根的极限等于次根的极限等于 ，则则 1：发散：发散2 2根值判定法根值判定法三讨论几种情况1有限长序列的收敛域21nnnnx ),(2右边序列的收敛3左边序列的收敛4双边序列的收敛 nnuanxn0)( 11)( nnuanxn 0 bnbnxn2右边序列的收敛 nuanxn )(zazazazazxnnnnnnn 11lim)(100时收敛时收敛，即，即当当azza 1 azzzazx 11az roc：3左边序列的收敛 azzzaaazzx 1111 11)( nnuanxn 1nnnzazx)(nm 令令 000011)(mm

9、mmmmmmmzazazazazx azazazmmmm11lim1110时收敛时收敛，即，即当当azaz 1roc: az 4双边序列的收敛 0 bnbnxn 11111 bzbzznubnubnn bzbzznubn n nbnx 10 b1n nbnx 1 b1bbb 110 若若bzb1:roc 则则 001 nnnnnubnubnx或或四总结x(n)的收敛域（的收敛域（roc）为）为 z 平面以原点为中心平面以原点为中心 的圆环；的圆环； roc内内不包含任何极点不包含任何极点（以极点为边界）；（以极点为边界）；有限长序列有限长序列的的roc为整个为整个 z 平面平面 （可能除去（可

10、能除去z = 0 和和z = ）；）；右右边序列的边序列的roc为为 的圆的圆外外；1rz 左左边序列的边序列的roc为为 的圆的圆内内；2rz 双双边序列的边序列的roc为为 的圆环。的圆环。21rzr 32)()()(21nnnnnnznxznxzx3221 nn,0321012)3()2()1( )0()1()2( zzzxzxzxzxzxzx常常数数所以，收敛域为所以，收敛域为 的的z平面。平面。 例8-3-1 z0例8-3-2变换的收敛域。变换的收敛域。的的求信号求信号znnnxn 0 00 31)( 32)3(1)3(1311zzz若该序列收敛，则要求若该序列收敛，则要求131 z

11、 0003131nnnnnnnzzznxzx)()(即收敛域为：即收敛域为： 31 z)re(z)im(jz031例8-3-3变换的收敛域。变换的收敛域。的的求信号求信号znnnxn 0 210 0)(2222321 zzzzznnnnnnnnnnzzzznxzx 111122121)()(收敛域为：收敛域为：12 z所以所以2 z)re(z)im(jz02例8-3-4 021031)(nnnxnnroc:231 z)re(z)im(jzo23 / 1一部分分式展开法 aznuaaznuaazzznn)1( )( 变换的基本形式变换的基本形式1z变换式的一般形式 zrz包括包括收敛域收敛域右边

12、序列右边序列因果序列因果序列,。即即必必须须满满足足于于分分母母多多项项式式的的阶阶次次的的阶阶次次不不能能大大处处收收敛敛，其其分分子子多多项项式式为为了了保保证证 , rkz kkkkrrrrzazazazaazbzbzbzbbzdznzx 112210112210)()()( stut 1e 拉氏变换的基本形式：拉氏变换的基本形式：2求逆z变换的步骤 为为真真分分式式zzx z提提出出一一个个 zzzx 查查反反变变换换表表 再再部部分分分分式式展展开开 3极点决定部分分式形式 nmmmzzzaazx10)(0,)()()()()( 22110 nzazazananxnnnnn 对一阶极

13、点对一阶极点nnnmmmzzazzazzazazzazazzx 2211010)(的的系系数数极极点点0 000 zaba的系数的系数极点极点mzzmmzzzzxzzam )()(nnzzzazzzazzzaazx 22110)( 所以所以 点点和和高高阶阶极极点点。的的极极点点也也可可分分为为一一阶阶极极 zx高阶极点（重根） sjjijzzzbzx1)()( 设设阶极点。阶极点。为为szzi izzsijsjsjzzxzzzjsb )()(dd)!(1 则则二幂级数展开法 2101221012zxzxzxzxzx)()()()()(kkkkrrrrzazazazaazbzbzbzbbzdz

14、nzx 112210112210)()()(z z变换式一般是变换式一般是z的的有理函数有理函数，可表示为：，可表示为： 直接用长除法进行逆变换直接用长除法进行逆变换 nnznxzx nx级数的系数就是序列级数的系数就是序列（是一个（是一个z z 的幂级数）的幂级数）1幂级数展开法2右边序列的逆z变换 的降幂排列的降幂排列以以将将zzx 2100)2()1()0()()(zxzxzxznxzxnn3左边序列的逆z变换 3211 )3()2()1()()(zxzxzxznxzxnn 的升幂排列的升幂排列以以将将zzx三围线积分法求z反变换1z逆变换的围线积分表示 1 0 nnznxzx变换变换已

15、知已知z得得 z 逆变换公式逆变换公式 3 dj21 1 cnzzzxnx所所以以用留数定理求围线积分。用留数定理求围线积分。推导 cmzzzxdj211 ，并并进进行行围围线线积积分分式式两两边边同同乘乘以以11 mz在在 的的收敛域收敛域内，选择一条内，选择一条包围坐标原点的包围坐标原点的逆时针逆时针方向的方向的围线围线c， 的全部极点都在的全部极点都在积分路线的内部。积分路线的内部。 zx 1 nzzx 1 0 nnznxzx cnmnzzznxdj2101积分与求和互换积分与求和互换 2 dj2110 cmnnzznx)re(z)im(jz0c推导zjre 令积分路径上的令积分路径上的

16、 0j)1j(1drejej21nnmnmrnx右右 0)j(de21nnmnmrnx。时积分为时积分为积分不为零，积分不为零，只有当只有当 2 mnmn dj2110 cmnnzznx cmzzzxdj211推导 2 时积分为时积分为积分不为零，积分不为零，只有当只有当mnmn mnmnnx0 )(右右 3 dj21 1 cnzzzxnx所以所以 3。逆变换的围线积分表示逆变换的围线积分表示式即为式即为z cmzzzxdj211 dj2110 cmnnzznx 0)j(de21nnmnmrnx应用柯西定理 4 0001dj211 kkzzck相相当当。式式右右边边积积分分中中时时，与与）式式

17、当当即即（mnk )(204式式和和比较比较)4()2( 。右边的结果为右边的结果为nx 式式。同同样样也也可可得得到到)3( 3 dj21 1 cnzzzxnx所以所以 2 dj2110 cmnnzznx cmzzzxdj2112用留数定理求围线积分 cnzzzxnxdj211 mzznmzzxsnx )(re)(1围线积分等于围线围线积分等于围线c内所有极点的留数之和内所有极点的留数之和 mmzznmzznzzxzzzzx )()(res11单阶极点单阶极点 mmzznkmkkzznzzxzzzkzzx 1111)(dd!11)(resk重极点重极点右边序列右边序列左边序列左边序列围线积分

18、等于围线围线积分等于围线c外所有极点的留数之和外所有极点的留数之和 mzznmzzxsnx )(re)(1例8-4-1 210)2()1( )0()( zxzxzxzx因为因为 , 4, 3, 2, 1, 0 nx所以所以 。，求，求已知已知nxzzzzzx1122 的降幂排列：的降幂排列：采用采用形式，形式，边序列，一定是边序列，一定是收敛域在圆外，故是右收敛域在圆外，故是右zzn 。，则，则因为长除结果无常数项因为长除结果无常数项 00 x例8-4-2 11, 2, 3, 4, nnx所以所以 1211222 zzzzzzzzxz221zz 4324 3 2 zzzz322 zzz 322

19、zz 432242zzz 432 3zz 543363zzz 5434zz 654484zzz 6545zz 例8-4-3221)( zzzzzx)()2(2)()(nununxn nun122 。求求，已知已知nxzzzzzx, 2:roc)2)(1()(2 zzx除以除以 展开为部分分式展开为部分分式将将zzx 21 zbzazzx2211)( zzzzx所以所以1)2)(1()1(1 zzzzza同理：同理：b2 z 部分分式乘以部分分式乘以)2)(1()( zzzzzx查表查表收敛域与原函数的对应221)( zzzzzx2 z右右右右)()2(2)()(nununxn 21 z右左右左

20、)1()2(2)()( nununxn1 z左左左左)1()2(2)1()( nununxno zre zimj12例8-4-4zbzbzbzzzzx32212)1(1)1(1)( 11111222 zzzzb 1 111dd)!12(11221 zzzzzb 111023 zzzzb1)1(1)( 2 zzzzzx所以所以)()()()(nnnununx 。求求nxzzzx, 1,)1(1)(2 2 , 1, 2 js这里这里izzsijsjsjzzxzzzjsb )()(dd)!(1例8-4-5 11res znzzx11 ddznzz )1()1( res 11 nunzzxzn所以所以

21、求其反变换。求其反变换。已知已知, 1,)1(1)(2 zzzx 11 n 1 2, 11 pzzxn有一个二阶极点有一个二阶极点 1122111dd!121 znzzzz 121 znzn 1 n(2)n=0 zzzzx21011 0211res zzz 1211res zzz 0110 x所以所以 11 nunnx0 , 1 12, 1 pp又多了一个单极点又多了一个单极点一个二阶极点一个二阶极点 mzzmzzxx10)(res)0( 0211 zzzz1 122111dd zzzzz121 zz1 (3)验证验证 nnununnx 00 x 11 nunnx所以所以前例用部分分式展开法得

22、到的结果前例用部分分式展开法得到的结果结果相同结果相同一线性a,b为任意常数。为任意常数。 212121 )()()()( )()( )()( rzrzbyzaxnbynaxzrzrzynyzrzrzxnxzyyxx 则则若若roc：一般情况下，取二者的一般情况下，取二者的重叠重叠部分部分),min(),max( 2211yxyxrrzrr 即即某些线性组合中某些某些线性组合中某些零点与极点相抵消零点与极点相抵消，则收敛域可能扩，则收敛域可能扩大。大。( (表现为叠加性和均匀性）表现为叠加性和均匀性）no)(nx4no)2( nx4no)2( nx411 211 211 2 原序列不变，只影响

23、在时间轴上的位置。原序列不变，只影响在时间轴上的位置。处处收收敛敛域域：只只会会影影响响 zz, 0 )()()()(zxzmnxzzzxnxzznxm 变换为变换为的的，则其右移位后，则其右移位后变换为变换为的双边的双边若序列若序列1双边z变换的位移性质 )()(zxzmnxzzm 变换为：变换为：同理，左移位后的同理，左移位后的2单边z变换的位移性质no nunx)(4n)()2(nunx 4n)()2(nunx 411 o11 o 11 ,的的长长度度有有所所增增减减。较较nunxnumnxnumnx 若若x(n)为双边序列，其为双边序列，其单单边边z变换为变换为 )()(nunxz(1

24、)左移位性质 )()()( zxnunxz 若若 10)()()()( mkkmzkxzxznumnxz则则为正整数为正整数其中其中m 01zxzzxnxz 10222zxxzzxznxz (2)右移位性质 )()()( zxnunxz 若若 1)()()()( mkkmzkxzxznumnxz则则为正整数为正整数其中其中m ，则，则时，时，注意：对于因果序列注意：对于因果序列00 nxn )()()(zxznumnxzm 而而左左移位序列的移位序列的单单边边z变换变换不变不变。 111 xzxznxz 21212 xxzzxznxz三序列线性加权 11ddd)(d)( )()( zzxzzz

25、xznnxzxnxz则则若若)(dd)( zxzznxnmm 推广推广 )(ddddddddddzxzzzzzzzzzzm表示表示共共求导求导m次次 1111d)(dd)d()d()(dd)(d zzxzzzzzxzzzxz因为因为四序列指数加权 为非零常数为非零常数则则若若arazrazxnxarzrzxnxzxxnxx )( )()( 2121 同理同理 21 )(xxnrazrazxnxa 21)(1xxnrzrzxnx azxaznxznxanxaznnnnnn00)()()(证明：证明：（z z域尺度变换）域尺度变换）五初值定理 )(lim)0( )(0zxxznxnxzzxnxzn

26、n 则则，为因果序列，已知为因果序列，已知若若0)1()1( nnxx因为因为 )0()()1(xzxznx 且且 )0()(lim)1( xzxzxz 所以所以推理推理 x(1)？理解理解 的初值联系起来。的初值联系起来。足够大时的动态特性与足够大时的动态特性与在在把把nxzzx 六终值定理 )()1(lim)(lim )( 10zxznxznxnxzzxnxzznn 则则为因果序列，已知为因果序列，已知若若。收敛，才可用终值定理收敛，才可用终值定理注意：当注意：当)(,nxn 2 zz2 z1 zz1 z1 zz1 z n2 n1 n1 n5 . 05 . 0 zz5 . 0 z nx n

27、终值终值 zxroc无无无无有，有，1有，有，0例题终值存在的条件 (1) x(z)的极点位于单位圆内，收敛半径小于的极点位于单位圆内，收敛半径小于1，有终值，有终值;例：例： ，终值为，终值为01),( anuan(2)若极点位于单位圆上，只能位于若极点位于单位圆上，只能位于 ，并且是一，并且是一阶极点。阶极点。 1 z注意：注意：和系统和系统稳定性稳定性条件区别，系统稳定性条件条件区别，系统稳定性条件只有第只有第一条一条。例：例：u(n)，终值为，终值为1七时域卷积定理 )()()(*)( )()( )()( 2121zhzxnhnxzrzrnhzzhrzrnxzzxhhxx 则则已知已知

28、),min(),max(2211hxhxrrzrr 收敛域：收敛域：一般情况下，取二者的重叠部分一般情况下，取二者的重叠部分即即描述：描述：两序列在两序列在时时域中的域中的卷积卷积的的z变换等效于在变换等效于在z域中域中两序列两序列z变换的变换的乘积乘积。注意：注意：如果在某些如果在某些线性组合线性组合中某些中某些零零点与极点相抵点与极点相抵消消，则收敛域，则收敛域可能扩大可能扩大。八z域卷积定理（自阅） 1d)(j21)()(1cvvvhvzxnhnxz 1dj21)()( 1cvvvzhvxnhnxz或或 ee jj则则若设若设 rzv rhxnhnxzdee21)()(jj 例8-5-1

29、 解：解： 00ee21cosh0nnn )(e21)(e21)(cosh 000nuznuznunznn 所以所以00e21e21zzzz 1cosh2cosh(020 zzzz 变换。变换。的的求求znun)(cosh0 azznuazn )(已知已知并且并且 00e,emax:rocnnz 同理同理同理 1ch2sh)()sinh(0200 zzznun 00e,emax:rocz )()(nuanxnaz )1()(nuanynaz nnynx)()(例8-5-2零极点相消，收敛域扩大为整个零极点相消，收敛域扩大为整个z平面。平面。azzzx )(azazy )(1)()( zyzx例

30、8-5-3 1121 ltis nxnxnyny的差分方程为的差分方程为 。，求，求， 21, 0121nyyxnunxn 112111 xzxzzxyzyzzy 0112111 zzxzyzzy方程两边取方程两边取z变换变换带入边界条件带入边界条件解：解：解续 nunynn 212123 所以所以整理为整理为 212123212123 211111121zzzzzzzzzzzzy例8-5-4 。变换变换的的求求zxznunan)( azazznuazn ,)( 因为因为 )()(dd)( 22azzaazzazzzazzznunazn 所以所以az 解：解：例8-5-5 1cos2sin)(

31、sin 0200 zzznunz已知已知 变换。变换。的的求求znunn)(sin0 20200200cos2sin1cos2sin )(sinzzzzzzzznunzn z ，即，即1 z收敛域：收敛域： 202020cos2cos )(coszzzzzznunzn 同理：同理： 解：解：例8-5-6另外，因为分子比分母另外，因为分子比分母低低一次，所以一次，所以x(0)=0。，求，求已知已知)1(),0(75 . 02)(232xxzzzzzzx 0)(lim)0( zxxz 17115 . 0121lim)0()(lim)1(32 zzzzxzxzxzz解：解：例8-5-7。求求，)()

32、()(,)()(),()(nhnxnynubnhnuanxnn azazzzx )( bzbzzzh )()()()()( 2bzazzzhzxzy 所以所以),max(baz 收敛域：收敛域：a bo zre zimj收敛域收敛域解：解：由由y(z)求求y(n) bzbzazazbazy1)( 因为因为 )()(1)( nubbnuaabanynn 所以所以 )(111nubabann 证明初值定理 00)(lim)(lim )()( nnzznnznxzxznxzx则则，已知已知 )0(210lim0 2xzxzxxzz 为为证明时域卷积定理 mmzhzmx因为因为 所以所以 )()()(

33、)(zhzxnhnxz nnznhnxnhnxz nnmzmnhmx mmnmnzzmnhmx根据双边根据双边z变换的定义可得变换的定义可得 nnzmnxmnxz )()(，则，则令令kmn )()()(zxzzkxzmnxzmkkm 证明双边z变换的位移性证明右移位性质根据根据单边单边z变换的定义，可得变换的定义，可得 0nnzmnxnumnxz 1mkkmzkxzxz 10 mkkkkmzkxzkxz 0nmnmzmnxz mnk 令令 mkkmzkxz 证明左移位性质根据根据单边单边z变换的定义，可得变换的定义，可得 10mkkmzkxzxz 0nnzmnxnumnxz 0nmnmzmn

34、xz mnk 令令 mkkmzkxz 100mkkkkmzkxzkxzstzsze , 关系关系tttz j )j(eee st tr2:e: 幅幅角角半半径径所所以以 代入代入比较比较一z平面与s平面的映射关系stzze 号号变换的定义时，引入符变换的定义时，引入符在引入在引入ssj)( ：直角坐标直角坐标 oj0j0 sj s平面平面 je)(rzz ：极坐标极坐标 jerz )re(z)im(jzoz平面平面0r0 s平面平面z平面平面几种情况（1 1）s s平面的原点平面的原点 ，z z平面平面 ，即，即 。 00 01r1 z0 0 0 :为常数为常数 1 r1 r1 r0:为常数为

35、常数r左半平面左半平面虚轴虚轴右半平面右半平面左向右移左向右移单位圆内单位圆内单位圆上单位圆上 单位圆外单位圆外半径扩大半径扩大（2 2）（3 3），正正实实轴轴平平面面：实实轴轴平平面面00 zs（4 4）zs映射不是单值的。映射不是单值的。2s 二z变换与拉式变换表达式之对应 ? ,zxsxzxnxzsxtxlnxtx写出写出能否借助能否借助，均匀抽样均匀抽样 10;210定义为定义为在点在点阶跃序列阶跃序列点定义为点定义为在在例如，阶跃信号例如，阶跃信号 nnuttu 成成项指数信号相加组合而项指数信号相加组合而由由若连续时间信号若连续时间信号ntx txtxtxtxn21 tuatxn

36、itpiniii 11e注意：注意：连续时间信号的突变点函数值与对应的序列样值有区别。连续时间信号的突变点函数值与对应的序列样值有区别。容易求得，它的拉式变换为容易求得，它的拉式变换为 niiipsatxl1 成成项指数序列相加组合而项指数序列相加组合而由由若序列若序列nntx ntxntxntxntxn 21 ntuantxnintpiniii 11e变换为变换为它的它的z nitpizantxzi11e1注意跳变值注意跳变值借助模拟滤波器借助模拟滤波器设计数字滤波器设计数字滤波器注意跳变值 0e020 0tatattxtpiiii 0e00 0tatatntxntpiiii即即点补足点补足

37、系时必须在系时必须在按抽样规律建立二者联按抽样规律建立二者联,20ia 020 nantttutxnntttutxnuntxiiii当当当当 变换。变换。的的，求抽样序列，求抽样序列的拉式变换为的拉式变换为已知指数函数已知指数函数zntuastuantat e1e tutxat e assx 1 变变换换为为的的，可可以以直直接接求求出出只只有有一一个个一一阶阶级级点点zntuassxant e atzzx e111解：解：例8-6-1 可以展成部分分式可以展成部分分式于是，于是，sx 变换。变换。的的序列序列，求抽样，求抽样的拉式变换为的拉式变换为已知正弦信号已知正弦信号zntuntstut

38、020200sinsin tuttx0sin 2020ssx 其留数分别为其留数分别为，的极点位于的极点位于显然显然,jj0201sssx 00j2jj2jsssx 解：解：已知已知2j2j21 aa及及例8-6-2 变换为变换为的的可以得到可以得到zntunt0sin ttzzzx00j1j1e12je12j 20101cos21sin ztztz8.7 用z变换解差分方程序言 描述离散时间系统的数学模型为差分方程。求解差分描述离散时间系统的数学模型为差分方程。求解差分方程是我们分析离散时间系统的一个重要途径。方程是我们分析离散时间系统的一个重要途径。 求解线性时不变离散系统的差分方程有两种

39、方法：求解线性时不变离散系统的差分方程有两种方法：时域方法时域方法第七章中介绍，烦琐第七章中介绍，烦琐z变换方法变换方法差分方程经差分方程经z变换变换代数方程；代数方程；可以将时域卷积可以将时域卷积频域（频域（z域）乘积；域）乘积；部分分式分解后将求解过程变为查表；部分分式分解后将求解过程变为查表；求解过程自动包含了初始状态（相当于求解过程自动包含了初始状态（相当于0 0- -的的条件）。条件）。一应用z变换求解差分方程步骤(1)对差分方程进行对差分方程进行单边单边z变换变换（移位性质移位性质）；(2)由由z变换方程求出响应变换方程求出响应y(z) ；(3) 求求y(z) 的反变换，得到的反变

40、换，得到y(n) 。一步骤二差分方程响应y(n)的起始点确定 2212 zzzzy全全响应响应y(n)根据根据输入输入信号信号加上加上的时刻定的时刻定对因果对因果系统系统y(n)不可能出现在不可能出现在x(n)之前之前观察观察y(z)分子分母分子分母的幂次的幂次分母分母高高于分子的于分子的次数次数是响应的是响应的起点起点 。有不为零的值有不为零的值开始开始从从 2nyn 三差分方程解的验证 解答是正确的解答是正确的两种迭代结果相同两种迭代结果相同解的表达式迭代出解的表达式迭代出原方程迭代出原方程迭代出,2,1,02,1,0yyyyyy例8-7-1(原教材例7-10(2)求系统的完全响应。求系统

41、的完全响应。若边界条件若边界条件达式为达式为已知系统的差分方程表已知系统的差分方程表, 1)1()(05. 0)1(9 . 0)( ynunyny 105. 019 . 01 zzyzyzzy 9 . 019 . 09 . 0105. 02 zzyzzzzy解：解：方程两端取方程两端取z变换变换 9 . 0121 zzazzazzy 9 . 0121 zzazzazzy45. 0 5 . 021 aa 9 . 045. 015 . 0 zzzzzzy 0 9 . 045. 05 . 0 nnyn例8-7-2解：解：已知系统框图已知系统框图列出系统的差分方程。列出系统的差分方程。求系统的响应求系

42、统的响应 y(n)。 （1） 列差分方程，从加法器入手列差分方程，从加法器入手 nynynynxnx 22131 12213 nxnxnynyny所以所以e1 nxe1e12 3 ny , 010,0002yynnnxn 452,211 yy 21213121 yyzzyzyzyzzy 1 01221 xzzzzz（3）差分方程两端取）差分方程两端取z变换，利用右移位性质变换，利用右移位性质（2） 由由方方程程迭迭代代出出用用变变换换求求解解需需要要用用0,1,2,1yyyyz a.由激励引起的零状态响应由激励引起的零状态响应 2123121zs zzzzzy 22zs2 zzzy零状态响应为

43、零状态响应为 nunnyzyn21zszs 即即b.由储能引起的零输入响应由储能引起的零输入响应都成立）都成立）（对（对2 n 221312231121zi yyyzzzzy 1223121zi zzzzzzzzzy 01223zizi nnyzynn即即零输入响应为零输入响应为c.整理（整理（1）式得全响应）式得全响应 22112221212 zbzbzazzzzy 222122dd!121221 zzzzzb 2222212 zzzzzy所以所以 2222212 zzzzzzzy 0 22212 nnnynnn2, 221 ba 2212 zzzzy注意由方程解由方程解y(n)表达式可以得

44、出表达式可以得出y(0)=0, y(1)=0，和已知条，和已知条件一致。件一致。2,)()(2 aazaznunan 11222 11 nnnynn故故 21242222 nunnynn或或验证8.8 离散系统的系统函数一单位样值响应与系统函数1.1.定义定义2.2. h(n)和和h(z)为一对为一对z z变换对变换对 nkkkmrrrzazbzxzyzh00 zhnhz mrrnkkrnxbknya001定义线性时不变离散系统由线性常系线性时不变离散系统由线性常系数差分方程描述，一般形式为数差分方程描述，一般形式为 mrrrnkkkzbzxzazy00 nkkkmrrrzazbzxzyzh0

45、0 所以所以 021 xx 021 yy激励为因果序列激励为因果序列系统处于零状态系统处于零状态上式两边取上式两边取z变换得变换得 只与系统的差分只与系统的差分方程的方程的系数、结构系数、结构有有关，描述了系统的关，描述了系统的特特性。性。 zh 数数。离离散散时时间间系系统统的的系系统统函函： zh2 h(n)和h(z)为一对z变换 1 zxnnx，则，则若若 zhnhz zxzhzynxnhny zs系统的零状态响应：系统的零状态响应： zhznhnhzh1: 求求由由系统系统)(n )(nh二系统函数的零极点分布对系统特性的影响1.1.由零极点分布确定单位样值响应由零极点分布确定单位样值

46、响应2.2.离散系统的稳定性离散系统的稳定性3.3.系统的因果性系统的因果性 的特性的特性确定单位样值响应确定单位样值响应的零极点分布情况，的零极点分布情况，所以可以从，所以可以从因为因为nhzhzhnh1由零极点分布确定单位样值响应 nkkmrrzpzzg111111 nkkkmrrrzazbzh00极点极点零点零点:krpz展成部分分式：（假设无重根）展成部分分式：（假设无重根） nkkknkkkpzzaapzzazh100 nkkkpzzaaznh101 所以所以 zhnh 因为因为 nknkknupana10 nknkknupananh10 的极点，可以是不同的实数或共轭复数，的极点，

47、可以是不同的实数或共轭复数，决定了决定了 的特性。其规律可能是指数衰减、上升，的特性。其规律可能是指数衰减、上升，或为减幅、增幅、等幅振荡。或为减幅、增幅、等幅振荡。 zhpk: nh:与与h(z)的零点、极点分布都有关。的零点、极点分布都有关。 kaa ,0由零极点分布确定单位样值响应(续)ozrezjim1 1 极点位置与h(n)形状的关系s平面平面z平面平面极点位置极点位置h(t)特点特点极点位置极点位置h(n)特点特点虚轴上虚轴上等幅等幅单位圆上单位圆上等幅等幅原点时原点时 左半平面左半平面衰减衰减单位圆内单位圆内减幅减幅右半平面右半平面增幅增幅单位圆外单位圆外增幅增幅 stu10 1

48、 zznu利用zs平面的映射关系1 z2离散系统的稳定性 nnh对于稳定系统，只要输入是有界的，输出必对于稳定系统，只要输入是有界的，输出必定是有界的（定是有界的（bibo)。(2)(2)稳定性判据稳定性判据(1)定义：定义：判据判据1 1：离散系统稳定的充要条件：单位样值响应绝对离散系统稳定的充要条件：单位样值响应绝对可和。可和。判据判据2 2：对于因果系统，其稳定的充要条件为：对于因果系统，其稳定的充要条件为： h(z)的全部极点应落在单位圆之内。即收敛域应包括单的全部极点应落在单位圆之内。即收敛域应包括单位圆在内位圆在内: 。 1 , aaz(3)连续系统和离散系统稳定性的比较 tthd

49、 nnh连续系统连续系统离散系统离散系统系统稳定的充要系统稳定的充要条件条件极点极点h(s)的极点的极点全部在左半平全部在左半平面面h(z)的极点全的极点全部在单位圆内部在单位圆内收敛域收敛域含虚轴的右半含虚轴的右半平面平面含单位圆的圆外含单位圆的圆外临界稳定的极点临界稳定的极点 沿虚轴沿虚轴3系统的因果性系统因果性的判断方法：系统因果性的判断方法：z域：域： 收敛域在圆外收敛域在圆外 输出不超前于输入输出不超前于输入 nunhnh ：时时域域三补充1两个加法器情况下，列差分方程两个加法器情况下，列差分方程2如何由如何由h(z)列系统的差分方程列系统的差分方程 )( )( 1 1 )4()(

50、1)( )3()( 1 1 )2()( )10( )1(02221二阶极点二阶极点nnuzzppnubbzzbbpnuzzpnuaazzaapnn 增幅振荡增幅振荡等幅振荡等幅振荡减幅振荡减幅振荡个样值个样值，一周期有，一周期有周期周期 )(4cos2 1)( e )3()(4cos2 e )2( )(4cos2 )10( e )1(888,44j4j4jssnunbbbpnunpnunaaaptnn )(2cos2 e444 ,24jssnunpt 个样值个样值，一周期有，一周期有周期周期增幅振荡增幅振荡等幅振荡等幅振荡减幅振荡减幅振荡 )(43cos2 1)( e )3()(43cos2

51、e )2( )(43cos2 )10( e )1(83 ,4343j43j43jssnunbbbpnunpnunaaaptnn )(12 )(cos2 1)( e )3()(1 )(cos2 1e )2()(12 )(cos2 )10( e )1()2, 2(2 ,jjjssnubnubbbbpnunupnuanuaaaaptnnnnnnn 增幅振荡增幅振荡等幅振荡等幅振荡减幅振荡减幅振荡个样值个样值每周期每周期周期周期例8-8-1 12213 nxnxnynyny， 121123 zzxzyzzyzzy则则 zxzyzh 解：解：求系统的零状态响应求系统的零状态响应在零状态条件下，对差分方程

52、两边取单边在零状态条件下，对差分方程两边取单边z变换变换已知离散系统的差分方程为：已知离散系统的差分方程为：激励激励 。及零状态响应及零状态响应求系统函数求系统函数nyzhnunxnzs ,2 x 2222 zzzzzzzxzhzy nunnyn21 zs 所以所以 22112311211 zzzzzzzzz例8-8-2 1224. 012 . 0 nxnxnynyny 1224. 012 . 0 nxnxnynyny下面方程所描述的系统是否为因果系统？下面方程所描述的系统是否为因果系统？ 解：解：输出未超前于输入，输出未超前于输入，所以是因果系统。所以是因果系统。例8-8-3解：解： 。，判

53、判断断因因果果性性，稳稳定定性性系系统统nunh lti nnh不稳定系统不稳定系统 0, 00, 1nnnunh从时域判断从时域判断因果系统因果系统 1 :roc 1 zzzzh，从从z域判断域判断极点在单位圆上，收敛域不包括单位圆极点在单位圆上，收敛域不包括单位圆不稳定（边不稳定（边界稳定）。界稳定）。 h(n)为右边序列，收敛域为圆外，为因果系统。为右边序列，收敛域为圆外，为因果系统。 例8-8-4ltilti系统，系统， ，判断因果性、稳定性。，判断因果性、稳定性。 nunhn 5 . 0注意：注意：对于因果系统，极点在单位圆内稳定。对于因果系统，极点在单位圆内稳定。 3215 . 0

54、5 . 05 . 0nh 325 . 015 . 015 . 01 112121225 . 0nnnnnzzzzzzzh从时域判断：从时域判断： nnh 所以所以不稳定不稳定从从z域判断：域判断：21 z21 z收敛域收敛域 ，极点在处，极点在处 ，是非因果系统，极点在单位圆内也不稳定。是非因果系统，极点在单位圆内也不稳定。从时域判断：从时域判断： 不是因果系统不是因果系统 0, 00, 1nnnu )()1(4)()()1(3 . 0)(nynwnwnwnwnx )()(4)()()(3 . 0)(11zyzwzzwzwzwzzx3 . 03373403 . 04)()()()()( zzz

55、zzxzwzwzyzh所以所以例8-8-5解：解：分别取分别取z变换变换系统框图如下，求系统框图如下，求h(z),h(n)。 1 z nx ny43 . 0 )1()3 . 0(337)()()3 . 0(337)(340)( nunnunnhnn方法：设中间序列方法：设中间序列w(n)列差分方程列差分方程 nw 1 nw例8-8-6)(4)()(3 . 0)( 11zxzzxzyzzy 所以所以)1(4)()1(3 . 0)( nxnxnyny。，列列出出系系统统的的差差分分方方程程已已知知3 . 04)( zzzh解：解： 分子分母同除以分子分母同除以z的最高次幂的最高次幂)()(3 .

56、0141)(11zxzyzzzh 画出系统的框图为画出系统的框图为：使用多个加法器使用多个加法器节省节省了延时单元。了延时单元。1 z 1 z3 . 04 nx ny一定义ott2t3tt ttxt o123n1 nx nnntntxnttntxfttxftje)()()()()(tnxntx ),()(令令dtft:discrete-time fourier transform为研究离散时间系统的频为研究离散时间系统的频率响应作准备，从抽样信率响应作准备，从抽样信号的傅里叶变换引出：号的傅里叶变换引出： nntxnxfnxttxfjjee)()()( 与z变换之关系 zzxxjeje nnz

57、nxzx变换变换即单位圆上的即单位圆上的令令zzz, 1,ej 2周期为周期为sresimjo)j( s虚轴虚轴zrezimjo 1 )e(j z单位圆单位圆逆变换 xxxzzzxnxnnnznzdee21djeeeej21edeeej21dj21jjjjjjjjjj111 xnxxnxxnxnnndee21eidtftdeedtftjjjjj 表示表示1三种变换的比较 tx 连续信号连续信号 ntx 离散信号离散信号jsj stze 变换名称变换名称傅里叶变傅里叶变换换拉普拉斯拉普拉斯变换变换z z变换变换信号类型信号类型变量变量二傅氏变换、拉氏变换、z变换的关系2频率的比较模拟角频率模拟角

58、频率 ，量纲：弧度，量纲：弧度/ /秒；秒；数字角频率数字角频率 ，量纲：弧度；，量纲：弧度； 是周期为是周期为 的周期函数的周期函数关系：关系： t je23s平面虚轴上的拉氏变换即为傅氏变换sj, 0 sshhjj 4.z平面单位圆上的z变换即为序列的傅氏变换（dtft）zzje, 1 zzxxjej 8.10 离散时间系统的 频率响应特性一离散系统频响特性的定义 nx nyzs zh离离散散系系统统稳稳定定的的因因果果 nxno 1sinna 1a nyzsno 2sinnb 2b正弦稳态（正弦序列作用下系统的稳态响应）正弦稳态（正弦序列作用下系统的稳态响应）系统对不同频率的输入，产生不

59、同的加权，这就是系系统对不同频率的输入，产生不同的加权，这就是系统的统的频率响应频率响应特性。特性。由系统函数得到频响特性输出对输入序列的相移输出对输入序列的相移 hzzhh jjjjeeee hej 离散时间系统在单位圆上的离散时间系统在单位圆上的z变换即为傅氏变换，即系变换即为傅氏变换，即系统的频率响应特性统的频率响应特性: :输出与输入序列的幅度之比输出与输入序列的幅度之比：幅频特性：幅频特性：相频特性：相频特性 dtft)(ej的的即即nhh 。为周期函数，其周期为为周期函数，其周期为为周期函数，所以为周期函数，所以2 e ejjh 通过本征函数透视系统的频响特性 nh nx ny 为

60、稳定的因果系统为稳定的因果系统nh mmnmhnxnhnyje ny 为本征函数为本征函数设输入设输入 nxn jen je hje mmmhjen je 为输入序列的加权，为输入序列的加权，体现了系统对信号的处理功能。体现了系统对信号的处理功能。 是是 在单位圆上的动态，在单位圆上的动态，取决于系统的特性。取决于系统的特性。 hje zh hje mzmhzh)( zzhhjeje 单位圆上单位圆上离散系统（数字滤波器）的分类os hje带带通通osc hje低低通通os hje高高通通os hje带带阻阻o2ss hje全全通通2s2s2s2s二频响特性的几何确定法 knkrmrpzzzz