点、线对称问题

1、点、线对称问题对称问题对称问题中心对称问题中心对称问题点点关关于点的对称于点的对称线线关关于点的对称于点的对称轴对称问题轴对称问题点点关关于线的对称于线的对称线线关关于线的对称于线的对称例例1. 已知点已知点A(5,8) ，B(4 ，1) ，试求，试求A点点 关于关于B点的对称点点的对称点C的坐标。的坐标。一、点关于点对称一、点关于点对称解题要点：解题要点：中点公式的运用中点公式的运用A(x0,y0)一般地，点一般地，点 A(x0,y0)关关于点于点 练1：点A(6,-3)关于点P(1,-2)的对称点A/的坐标是( )-4,-1练2：过点P(1,3)与两坐标轴交成的线段以P为中点的直线方程_分

2、析：用中点坐标公式可求直线在坐标轴的截距分别为2和6用截距式写出方程为 ，即3x+y-6=0162 yx例例2.求直线求直线l 1 : 3x-y-4=0关于点关于点P(2,-1)对称的对称的直线直线l 2的方程。的方程。二、直线关于点对称二、直线关于点对称 法一：法一：在在 l 1上上找两个特殊找两个特殊点点，求出各点关，求出各点关于于P的对称点的对称点，再求出，再求出l 2方程方程 l2MN 法法二二： l 2上的任意一点的对称点在上的任意一点的对称点在l 1上上 f (x,y)=0M(x,y)法法三三： l 1 / l 2且且P到两直线等距。到两直线等距。l2d2对称的直线方程。），（关于

3、点、求直线练习1-10632:3Pyxl0832 yx例例3.已知点已知点M的坐标为的坐标为(-4,4)，直，直线线l 的方程为的方程为3x+y-2=0,求点求点M关于直线关于直线l 的对称点的对称点M的坐标。的坐标。 三、点关于直线对称三、点关于直线对称解题要点：解题要点： k kMM = -1（垂直）（垂直） MM中点中点 P 在在 l 上上 l)6 , 2( M练习4：求点A（-1，3）关于直线 l：x+y-1=0 的对称点B)2 , 2(B点点P(x,y)关于下列点或线的对称点分别为：关于下列点或线的对称点分别为： 关于直线关于直线 x=mp(-x , -y)p(x , -y)p(-x

4、 , y)p(y , x)p(-y , -x)p(2m-x , y)P(x,y)关于原点关于原点关于关于 x 轴轴关于关于 y 轴轴关于直线关于直线 y=x关于直线关于直线 y=-x 关于直线关于直线 y=np(x , 2n-y)练习5：已知点A（-4，6），则 (1) A关于x轴的对称点A/坐标是 （ ）(2) A关于y轴的对称点A/坐标是 （ ）(3) A关于直线y=x轴的对称点A/坐标是 （ ）6，-4-4，-64，6例例4. 试求直线试求直线l1:x-y-2=0关于直线关于直线 l2:3x-y+3=0 对称的直线对称的直线l 的方程。的方程。四、直线关于直线对称四、直线关于直线对称解题

5、要点：由解题要点：由线关于线线关于线对称转化为对称转化为点关于点关于线线对称对称思考：若思考：若l1/l2, 如何求如何求l1 关于关于l2的对称直线方程？的对称直线方程？C1lC2l1l2l1设直线设直线则则 l 关于关于原点原点对称的直线是对称的直线是 l 关于关于 x 轴对称的直线是轴对称的直线是l关于关于 y 轴对称的直线是轴对称的直线是l关于关于 y=x对称的直线是对称的直线是l关于关于 y=-x 对称的直线是对称的直线是l关于关于 x=a 对称的对称的直线直线是是_0:CByAxl0)( CyBAx0)( CByxA0 CAyBx0)()( CxByA0)()(CyBxA直线直线

6、f (x,y)=0关于下列点或直线对称的直关于下列点或直线对称的直线方程分别为：线方程分别为：0)2(CByxaA五、角分线问题五、角分线问题例：例：已知已知ABC的顶点的顶点A（4, 1）,B（4, 5）,角角B的内角平分线的内角平分线BE所在直线的方程为所在直线的方程为 ，求，求BC边所在直线方程。边所在直线方程。01 yxB(-4,-5)A(4,-1)M（0,3）xyOE变式：变式：ABC的一个顶点是的一个顶点是A（3，-1），）， B, C的内角平分线所在的直线方程分的内角平分线所在的直线方程分别为别为x=0和和y=x,求顶点求顶点B、C坐标坐标。xyOxy 0 xA（3,-1）A1(

7、-3,-1)A2(-1,3)B(0,5)C(-5,-5)y=2x+5：一条光线经过点一条光线经过点P（2，3），射到直线），射到直线x+y+1=0上，反射后，穿过点上，反射后，穿过点Q（1，1），求），求光线的入射线和反射线的方程。光线的入射线和反射线的方程。xyOx+y+1=0P(2,3)Q(1,1) 31,32SR(-4,-3)32( 0245 xyx)32( 0154 xyx六、六、光光线线的问题的问题例例3：光线从点光线从点P（3，4）射出，到达）射出，到达x轴上轴上的点的点Q后，被后，被x轴反射到轴反射到y轴上的点轴上的点M ，又被，又被y轴轴反射，这时反射光线恰好经过点反射，这时反

8、射光线恰好经过点D（1，6），），求求QM所在直线方程。所在直线方程。xOP(-3,4)D(-1,6)yD(1,6)P(-3,-4)MQ若自点)3 , 3(P发出的光线l经x轴反射，其反射光线所在直线与圆0744:22yxyxC相切，求直线l的方程。03340343yxyx或例例4：已知已知x,y满足满足x+y=0，求，求的最小值。的最小值。2222)3()2()1()3( yxyx七、七、解决求最值的有关问题解决求最值的有关问题M(1,-3)xyOM(3,-1)N(-2,3)y=xP）的距离之差最大。（），（到）（）的距离之和最小；（），（到）（使上找点在：、已知的最小值；求、：练习4 , 01 , 424 , 31 , 41, 0132102134)(,1722CAPBAPPlyxlxxxxxfRx3、在x轴上找点P，使它到点A（1,3）， B（3,1）的距离最小，并求最小距离。一、点