中考数学专题复习和训练：求阴影部分的面积

1、学习必备欢迎下载求阴影部分的面积专题透析：计算平面图形中的面积问题是中考中的常考题型，多以选择题、填空题的形式出现，其中求阴影部分的面积是这类问题的难点 . 不规则阴影部分常常由三角形、四边形、弓形和圆、圆弧等基本图形组合而成，考查内容涉及平移、旋转、相似、扇形面积等相关知识，还常与函数相结合 . 在解此类问题时，要注意观察和分析图形，会分析和组合图形，常常借助转化化归 思想，将阴影部分（不规则图形）转化为规则的易求的图形求解.典例精析：例 1.如图，菱形 ABCD 的对角线 BD、 AC 分别为 2、23 ，以 B 为圆心的弧与 AD、 DC 相切于点 E、F ，则阴影部分的面积是D（）EF

2、33C. 4323AOCA. 2B. 43D.333B分析： 本题的阴影部分是不规则的，要直接求出阴影部分的面积不现实，但我们发现阴影部分是菱形 ABCD 减去扇形 ABC 的面积 ; 菱形 ABCD 可根据题中条件直接求出，要求扇形扇形ABC 的面积关键是求出圆心角ABC 的度数和半径 ; 连结 BD、BE 交于点 O ，所有这些问题均可以化归在 Rt AOB 或 Rt BOC 中利用三角函数和勾股定理来解决.选 DBDF师生互动练习：1. 如图， Rt ACB 中，C90 ，AC15， AB17;以点C为AEC圆心的 C 与 AB 相切于 D ，与 CA、 CB分别交于 E、 F 两点，则

3、E图中阴影部分的面积为.DC2. 如图的阴影部分是一商标图案（图中阴影部分），它以正方形ABCD的顶点 A 为圆心， AB为半径作 BD , 再以 B 为圆心， BD 为半径作弧，交 BC 的延长线与 E , BD, DE 和 DE 就围成了这个图案，若正方形的边AB长为 4，则这个图案的面积为BA. 4B.8C.3D.38OE3. 如图， Rt ABC 中 ,C90, A 30, 点 O在斜边 AB 上，半径ADC为 2， O 过点 B 切 AC 于 D , 交 BC 边于点 E E，则由线段 CD、EC 及 DE?围成的阴影部分的面积为.B4. 已知直角扇形 AOB 的半径 OA 2cm

4、，以 OB 为直径在扇形内作半圆 M ，过 M 引MP?MP 围成的MPAO交 AB 于 P , 求 AB 与半圆弧及阴影部分的面积为.NOA例 2. 如图， O 的圆心在定角0180的角平分线上运动， 且 O 与的两边相切，图中的阴影部分的面积y 关于 O 的半径 x x0变化的函数图象大致是（）MyyyyBA OOxOxOxOxCNABCD分析： 连结 OA、 OB、 OC 后，本题关键是抓住阴影部分的面积=四边形 ACOB 的面积 - 扇形BOC 的面积 . 设阴影部分的面积为y ， O 的半径 x x0 .O切AM于点 B,切AN于点C, OBAOCA90 ,OBOC x,ABAC ,

5、 BOC3609090180;AO平分MAN , ABACx，且图中阴tan 1y =四边形 ACOB 的面积 - 扇形 BOC 的面积 .2影部分的面积 y21x180x21180x2x360211360tantan22 x0，且0180是定角阴影部分的面积y 关于 O 的半径 xx 0 之间是二次函数关系 .故选 C.师生互动练习：1. 如图，已知正方形ABCD 的边长为1， E、F、G、H 分别为各边上的点，且AEBFCGDH ；设小正方形EFGH 的面积为 S ,AE 为 x ，则 S 关于 x 的函数图象大致为（）AHDyyyy1111EGO1 x1 xxBFCOO11OxABCD2

6、. (2013.临沂中考） 如图，正方形 ABCD 中， AB8cm ，对角线 AC 与 BD 相交于点 O ，点 E、F分别从 B、C 两点同时出发，以1cm/ s 的速度沿 BC、 CD 运动，到点 C、D 停止运动 . 设运动时间为 ts， VOEF 的面积为 Scm2与 t s 的函数关系式可用图象表示为（）S / cm2S /cm216S /cm216S /cm2AD1616121212123. （ 2014. 菏泽中考） 如图在 Rt V ABC 中， ACBC2 , 正方形 CDEF 的顶点 D、 F 分别是边OF88V88AC、BC，ABC 与正方形 CDEF 的重叠部分的的动

7、点， C、D 两点不重合 . 设 CD 的长度为 x4444BE MCy5yyB48488 t /s82Ot /sOt /sO4O4t /sAB4C23D121FE1学习必备欢迎下载面积为 y ，则下列图象中能表示y 与 x 的函数关系的是（）例 3. 如图，由 7 个形状、大小完全相同的正六边形组成的网格，正六边形A的顶点称为格点 . 已知每个正六边形的边长为1， ABC 的顶点在格点上，则 ABC 的面积为.B分析 :延长 AB ，然后作出过点 C 与格点所在的水平直线，一定交于点E .则图中的阴影部分 = AEC 的面积 - BEC 的面积 .EC由正六边形的边长为1，根据正多边形形的性

8、质，可以得出过正六边形中心的对角线长为2，间隔一个顶点的对角线长为3，则 CE4；若 AEC和 BEC 都以CE 为求其面积的底边, 则它们相应的高怎样化归在直角三角形中来求出呢？解：（由同学们自我完成解答过程）师生互动练习：1.如图已知网格中每个小正方形的边长为2，图中阴影部分的每个端点位置情况计算图中的阴影部分的面积之和为.2.如图，已知下面三个图形中网格中的每个正方形的边长都设为1.( 结果均保留 ). 图中的阴影图案是由两段以格点为圆心，分别以小正方形的边长和对角线长为半径的圆弧和网格的边围成 ，图中阴影部分的面积为；. 图中的阴影图案是由三段以格点为圆心，半径分别为1 和 2 的圆弧

9、围成 . 图中阴影部分的面积是；. 图中在 AB的上方，分别以 ABC的三边为直径作三个半圆围成图中的阴影部分的面积之和为.CBABA3. 如图为一张方格纸，纸上有一灰色三角形，其顶点均位于某两网格线的交点上，若灰色三角形面积为21 ，则方格纸的面积为4附专题总结： 求含圆图形中不规则阴影部分面积的几个技巧一 . 旋转、翻折为特殊图形：图 的第一个图是直角扇形 OAB和直角扇形 OCD搭建的，其中 OA=9， OB=4，要求阴影部分的面积，可以将 ODB旋转 至 OAC来求扇环 BDCA的面积更简便（见 图 的第二个图） .图 的第一个图中是直角扇形OAB和正方形 OFED以及矩形 OACD，

10、其中 OF=1，要求阴影部分的面积，可以将半弓形ODB沿正方形对角线 翻折至 EFA来求矩形 ACEF的面积更简便（见 图 的第二个图）AABBEDECDCCCBOBDOOFAOFAD图 图 二 . 平移到特殊位置：O的弦 AB 长为 32cm，并与小圆 O相切，要求阴影部分的面积可以将图 的第一个图大圆O小圆 O向右 平移 至大圆 O使圆心重合（见 图 的第二个图） ，这样来求圆环的面积更容易；图 虽然是半圆也可以采用相同的方法求阴影部分半圆环的面积.ABACBOO 'OO ' OOABACB图 图 三 . 补转化为一个整体：如图第一个图是以等腰Rt AOB的直角顶点 O为圆

11、心画出的直角扇形OAB和以 OA、 OB为直径画出的两个半圆组成的图形，要求第一个图形阴影，可以按如图所示路径割补成一个弓形（见第二个图中的标示） 更容易求出阴影图形的面积；如果 OA=10，求出第一个图形阴影部分的面积？略解：AAS 阴影 = S扇形B0 A S AOB110211010255042BOBO点评： 割补就是要就是要涉及求问的分散的、不规则的图形转化到一个“规则”的整体图形来解决 .割补法在很多涉及到几何图形的题中都有运用.四 . 差法求叠合图中形的阴影例 1. 图 是教材 114 页的第 3 题，可以用四个半圆的面积之和减去正方形的面积得到阴影部分的面积；图 例 2. 图（

12、自贡市中考题） ABC中， AB=BC=6， AC=10，分别以 AB，BC为直径作半圆，则图中阴影部分的面积为AB图 学习必备62102略解： ABC的底边 AC的高为：362511 ，2S影=2 1 S S ABC2 121 15611 95 11.2222图中阴影部分的面积为 95 11.点评： 本题的图形结构可以看成是三个图形叠合在一起（两个半圆和一个等腰三角形端点相接的叠合），具有这种图形结构题其实并不是我们想象那么抽象艰深 . 比如：本题的阴影部分恰好是两个半圆和一个等腰三角形端点相接的叠合后，两个半圆覆盖等腰三角形后多出来的部分；那么下面的这个题就的计算也就不那么复杂了. 举一反

13、三，“难题”不难！师生互动练习： ：见上学期圆单元训练和专题复习的相应部分.A迎考精炼：CDO1.如图,AB是 O 的直径，弦 CDAB,CD 23,则S阴影 =（）A.B.2C.23D.2B2.如图， A、 B 、 C30.5 ，则3两两不相交，且半径均为C图中的三个阴影部分的面积之和为（）A.12B.8C.6D.4ABABCDEF3. 如图， O 的外切正六边形的边长为 2，则图中的ED阴影部分的面积为（ ）A.3B.2C.23D.22FOC2333324. 如图，在 Rt ABC 中，C90 ,AC8，BC 4, 分别以ABBAC、BC 为直径画半圆，则图中的阴影部分的面积之和为（）A.

14、2016B.1032C.1016D.20AC132AD5.如图，四边形ABCD 是正方形，AE垂直于 BE于 E , 且 AE3,BE4 ,E则阴影部分的面积是（）A.16B.18C.19D.21BC6.如图，边长为 1 的正方形 ABCD 绕点 A 逆时针旋转30°到正方形CBB'AB'C ' D ' ，图中的阴影部分的面积为（）EA.33C.131C'1B.34D.2DA3欢迎下载7. 如图，将边长为 2 的正方形 ABCD沿对角线 AC 平移，使 A 点至 AC 的中点 A' 处，得到正方形 A' B' C 

15、9; D ' ，新的正方形与原正方形的重叠部分（图中的阴影部分）的面积是（）DD'A.2B.1C.1D.1AA'CC'24BB'8. 将 n 个边长都为 4cm 的正方形按如图所示的方法摆放，点A1, A2 , An 风别是正方形对角线的交点，则 n 个正方形重叠部分的面积的和为（）A. 1 cm2n 1 cm21nA2A3A4B.C.4 n 1 cm2D.cm2LA14449.两张宽均为 5cm的纸带相交成角，则这两张带重叠部分（图中阴影）的面积为（）2525A.cm2B.cm2C.50sincm2D.25 sincm2sincos10.如图， ABC

16、 是等边三角形，被一平行于BC 的矩形所截，线段AB 被截成相等的三部分，则图中的阴影部分的面积是 ABC 面积的A( )EHA. 1214B.C.D.9939FGBC11.AB 是 O 的直径，以 AB 为一边作等边 ABC ，交 O 于点 E、 F ，连结 AF , 若 AB 2 ,则图中的阴影部分的面积为( )CFEA.43B.23C.3D.3AOB3432323412. 如图。三个小正方形的边长都为1，则图中阴影部分面积21（结果保留）DDD'13.如图，等边 ABD 和等边 CBD 的边长均为1，将CA'C ABD 沿 AC 方向平移得到 A' B'

17、D ' 的置，得到图A形，则阴影部分的周长为.BBB'14. 如图， ABC 的边 AB3，AC2 , 、分别表示以AB、 AC、BC 为边的正方形，则图中三个阴影部分的面积之和的最大值为.15. 若图中正方形 F 以上的正方形均是以直角三角形向外作的正方形： . 若正方形A、 B、C、D 的边长分别是a、b、 c、d ，则正方形 F 的面积如何用含a、 b、c、d的式子表示出来为； . 如果正方形F 的边长 16cm ，那么正方形A、B、 C、 D 的面积之和是.D'学习必备欢迎下载16. 如图，边长为 3 的正方形 ABCD 绕点按顺时针方向旋转30°后得

18、到的正方形EFCG 交 AD 于点 H ,S 四边形 HFCD =.AED 的中线，若 S17. 如图， 已知 AD、DE、EF 分别是ABC 、ABD 、ABC24cm2 ，则阴影部分DFE 的面积为.CEEDMADH6FA8ADGDHFE10BCFBBGBCAECF14题15题16题17题18题18. 如图，在正方形 ABCD 内有一折线，其中 AEEF、EFFC,并且 AE6, EF8 ，AF 10 则正方形与其外接圆之间形成的阴影部分的面积为.A19. 如图把 O1 向右平移 8 个单位长度得到 O2，两圆相交于A、 B，且 O A 、O A 分别与 O、 O 相切，切点均为 A 点，

19、OO 211221则图中阴影部分的面积为.B20. 如图，矩形 ABCD 中， BC4，DC2 , 以 AB 为直径的半圆 O 与 DC 相切于点 E , 则图中的阴影部分的面积是（结果保留）21. 在 Rt ABC 中， A90 ，ABAC2 , 以 AB为直径作圆交BC 于点 D , 则图中阴影部分的面积是.22. 如图，在 ABC 中， AB5cm, AC2cm ，将 ABC 绕顶点 C 按顺时针方向旋转45°至 A1 B1 C 的位置，则线段AB 扫过的区域（图中阴影部分）的面积为cm2 .23. 如图，半圆 A 和半圆 B 均与 y 轴相切于 O , 其直径 CD 、EF 和 x 轴垂直，以 O 为顶点的两条抛物线分别经过C、 E 和点 D、F ，则图中的阴影部分的面积是.yBB1y2AOD1DOAA1BAx-1O1x21O1 2 3BECCABC1220题21题22题23题24题24. 如图，抛物线y1x22 向右平移1 个单位得到抛物线y2 ，则