建筑力学第7章平面弯曲杆件

1、第七章第七章 平面弯曲杆件平面弯曲杆件 本章内容：本章内容： 第一节第一节 截面的几何性质截面的几何性质 第二节第二节 平面弯曲杆件的内力平面弯曲杆件的内力 第三节第三节 弯曲应力和强度弯曲应力和强度 第四节第四节 拉压与弯曲组合变形杆件的应力和拉压与弯曲组合变形杆件的应力和强度强度第一节第一节 截面的几何性质截面的几何性质 一、截面的静矩和形心位置一、截面的静矩和形心位置 dAxyOyxCxC yC 静矩静矩(面积矩面积矩)： 如果将微面积看作力如果将微面积看作力, 则则ydA和和xdA就相当于力矩就相当于力矩, 由合力矩定理知由合力矩定理知形心位置：形心位置：静矩也可表达为静矩也可表达为:

2、 Sx=AyC, Sy=AxC 静矩也可表达为静矩也可表达为: Sx=AyC, Sy=AxC 当坐标轴通过截面的形心时当坐标轴通过截面的形心时, 则该轴称为此截面的形则该轴称为此截面的形心轴心轴, 此时此时, 截面形心轴的静矩为零；反之截面形心轴的静矩为零；反之, 若截面对某轴的静若截面对某轴的静矩为零矩为零, 则该轴必为截面的形心轴。则该轴必为截面的形心轴。 有对称轴的截面，对称轴一定是截面的形心轴。有对称轴的截面，对称轴一定是截面的形心轴。 组合截面（由若干个简单图形组合而成的截面）对某组合截面（由若干个简单图形组合而成的截面）对某轴的静矩等于其所有组成部分对该轴静矩的代数和轴的静矩等于其

3、所有组成部分对该轴静矩的代数和: Sx=Sxi=AiyCi， Sy=Syi=AixCi组合截面形心位置：组合截面形心位置： 例例7-1 计算半径为计算半径为r的半圆形对其直径轴的半圆形对其直径轴x的静矩及其形的静矩及其形心坐标心坐标yC。 解：平行于解：平行于x轴取一窄长条轴取一窄长条作为微面积作为微面积dA, 其面积为其面积为dyyr则则: 形心坐标：形心坐标： yCC 例例7-2 计算图示截面的形心位置。计算图示截面的形心位置。 解：由对称性可知解：由对称性可知, xC=0(即形心一定在即形心一定在y轴上轴上, 只需求只需求yC)。方法一方法一：将此图形看成是由将此图形看成是由、三部分组成

4、三部分组成。A1=A2=30300=9000mm2 A3=30250=7500mm2 yC1=yC2=150mm yC3=300mm+15mm=315mm 例例7-2 计算图示截面的形心位置。计算图示截面的形心位置。 解：由对称性可知解：由对称性可知, xC=0(即形心一定在即形心一定在y轴上轴上, 只需求只需求yC)。 方法二方法二：将此图形看成是由一个：将此图形看成是由一个250330的矩形的矩形减去减去一个一个190300的矩形的矩形组成。组成。A1=250330=82500mm2 A2=190300=57000mm2 yC1=165mm yC2=150mm 二、截面的惯性矩、惯性积和惯

5、性半径二、截面的惯性矩、惯性积和惯性半径 dAxyOyx惯性矩：惯性矩： 惯性积：惯性积： 在有些问题中在有些问题中, , 为了应用的方为了应用的方便便, , 将截面的惯性矩表示为截面面将截面的惯性矩表示为截面面积积A A与惯性半径平方的乘积与惯性半径平方的乘积, ,即：即：惯性半径：惯性半径： 例例7-3 计算图示矩形截面对计算图示矩形截面对x轴和轴和y轴的惯性矩和惯性积。轴的惯性矩和惯性积。 因为因为x、y轴均为对称轴，所以：轴均为对称轴，所以：Ixy=0 惯性矩：惯性矩： 惯性积：惯性积： 二、截面的惯性矩、惯性积和惯性半径二、截面的惯性矩、惯性积和惯性半径 三、平行移轴公式和组合截面的

6、惯性矩三、平行移轴公式和组合截面的惯性矩 两个坐标系内的坐标有以下关系：两个坐标系内的坐标有以下关系： 可得：可得： 同理同理, 可得：可得： 组合截面对某坐标轴的惯组合截面对某坐标轴的惯性矩等于所有组成部分对该轴性矩等于所有组成部分对该轴惯性矩之和惯性矩之和, 即即: 例例7-4 计算图示截面对形心轴的惯性矩。计算图示截面对形心轴的惯性矩。 解：解： 计算形心位置。计算形心位置。 计算对形心轴的惯性矩。计算对形心轴的惯性矩。 计算对形心轴的惯性矩。计算对形心轴的惯性矩。 第二节第二节 平面弯曲杆件的内力平面弯曲杆件的内力 一、弯曲的概念与梁的计算简图一、弯曲的概念与梁的计算简图 外力作用线与

7、杆轴线垂外力作用线与杆轴线垂直直, , 杆轴线将由直线变成曲杆轴线将由直线变成曲线线, , 这种变形称为这种变形称为弯曲弯曲。AB对称轴对称轴纵向对称面纵向对称面梁变形后的轴线与梁变形后的轴线与外力在同一平面内外力在同一平面内梁的轴线梁的轴线FByF1F2FAy平面弯曲平面弯曲 梁的计算简图梁的计算简图 梁的计算简图就是梁的力学模型的简化。由于所研究的梁的计算简图就是梁的力学模型的简化。由于所研究的是等截面直梁是等截面直梁, 且外力均作用在梁的纵向对称平面内且外力均作用在梁的纵向对称平面内, 所以通所以通常可以用梁的轴线来代替梁常可以用梁的轴线来代替梁, 将荷载和支座直接加在轴线上将荷载和支座

8、直接加在轴线上, 构成梁的计算简图。构成梁的计算简图。静定梁静定梁 仅用静力平衡方程即可求出全部未知量的梁。仅用静力平衡方程即可求出全部未知量的梁。超静定梁超静定梁 仅用静力平衡方程不能求出全部未知量的梁。仅用静力平衡方程不能求出全部未知量的梁。跨度跨度 梁在两支座之间的长度。梁在两支座之间的长度。单跨梁单跨梁 只有一跨的梁。只有一跨的梁。多跨梁多跨梁 两跨及两跨以上的梁。两跨及两跨以上的梁。本章仅讨论本章仅讨论单跨静定梁单跨静定梁。 二、梁的弯曲内力二、梁的弯曲内力 剪力剪力与与弯矩弯矩（截面法截面法） 求支座反力：求支座反力： 求求m-m截面的内力：截面的内力： 二、梁的弯曲内力二、梁的弯

9、曲内力 剪力剪力与与弯矩弯矩（截面法截面法） 求支座反力：求支座反力： FSdxmmFS+dxmmFSFSmm+MM+；mm（受压）（受压）MM例例7-5 计算图示简支梁计算图示简支梁1-1和和2-2截面上的剪力和弯矩。截面上的剪力和弯矩。 FA FB 11.5kN FS1 M1解解: 求支座反力求支座反力; 求求1-1截面的内力截面的内力: 10.5kN FS1 例例7-5 计算图示简支梁计算图示简支梁1-1和和2-2截面上的剪力和弯矩。截面上的剪力和弯矩。 FA FB 解解: 求支座反力求支座反力; 求求2-2截面的内力截面的内力: M2三、梁的剪力图与弯矩图三、梁的剪力图与弯矩图 xFS

10、(x)FS 图的坐标系图的坐标系OM 图的坐标系图的坐标系xOM(x)剪力图为正值画在剪力图为正值画在 x 轴上侧轴上侧, ,负值画在负值画在x 轴下侧轴下侧 弯矩图为正值画在弯矩图为正值画在 x 轴上侧轴上侧, ,负值画在负值画在x 轴下侧轴下侧 例例7-6 作图示简支梁在均布荷载作图示简支梁在均布荷载q作用下的剪力图和弯矩图。作用下的剪力图和弯矩图。 解解: 求支座反力求支座反力 由对称性知由对称性知: 作剪力图和弯矩图作剪力图和弯矩图 例例7-7 作图示悬臂梁的剪力图和弯矩图。作图示悬臂梁的剪力图和弯矩图。 解解: 建立剪力方程和弯矩方程建立剪力方程和弯矩方程 作剪力图和弯矩图作剪力图和

11、弯矩图 例例7-8 作图示简支梁的剪力图和弯矩图。作图示简支梁的剪力图和弯矩图。 解解: 求支座反力求支座反力 列剪力方程和弯矩方程列剪力方程和弯矩方程 例例7-8 作图示简支梁的剪力图和弯矩图。作图示简支梁的剪力图和弯矩图。 列剪力方程和弯矩方程列剪力方程和弯矩方程 例例7-9 用叠加法作图示梁的弯矩图。用叠加法作图示梁的弯矩图。 叠加法叠加法：即梁在多个荷载作：即梁在多个荷载作用下所产生的内力用下所产生的内力, , 可以由各个可以由各个荷载单独作用下所产生的内力叠荷载单独作用下所产生的内力叠加而得到。加而得到。解解: 先作出由集中力先作出由集中力F单独单独作用下所产生的弯矩图。作用下所产生

12、的弯矩图。 再作出由均布荷载再作出由均布荷载 q 单单独作用下所产生的弯矩图。独作用下所产生的弯矩图。 然后由上面两个图的纵然后由上面两个图的纵坐标叠加得最终弯矩图。坐标叠加得最终弯矩图。 注意注意：这里所说的两个弯这里所说的两个弯矩图叠加不是简单地将两个图矩图叠加不是简单地将两个图形拼在一起，而是将两个图形形拼在一起，而是将两个图形中相同截面处的纵坐标相叠加中相同截面处的纵坐标相叠加。四、剪力、弯矩与荷载集度的微分关系四、剪力、弯矩与荷载集度的微分关系 四、剪力、弯矩与荷载集度的微分关系四、剪力、弯矩与荷载集度的微分关系 xFS(x)OxOM(x)四、剪力、弯矩与荷载集度的微分关系四、剪力、

13、弯矩与荷载集度的微分关系 xFS(x)OxOM(x)OM(x)x四、剪力、弯矩与荷载集度的微分关系四、剪力、弯矩与荷载集度的微分关系 例例7-10 作图示外伸梁的内力图。作图示外伸梁的内力图。 解解: 求支座反力求支座反力 判断各段判断各段FS、M图形状图形状: CA和和BD段段: q=0, FS为水平线为水平线, M为斜直线为斜直线; AB段段: q0, FS为向右下斜直线为向右下斜直线, M为下凸抛物线。为下凸抛物线。例例7-10 作图示外伸梁的内力图。作图示外伸梁的内力图。 CA和和BD段段: q=0, FS为水平线为水平线, M为斜直线为斜直线; AB段段: q0, FS为向右下斜直线

14、为向右下斜直线, M为下凸抛物线。为下凸抛物线。 作剪力图作剪力图 CA段只需一个控制点段只需一个控制点: AB段需两个控制点段需两个控制点: BD段只需一个控制点段只需一个控制点: 例例7-10 作图示外伸梁的内力图。作图示外伸梁的内力图。 CA和和BD段段: q=0, FS为水平线为水平线, M为斜直线为斜直线; AB段段: q0, FS为向右下斜直线为向右下斜直线, M为下凸抛物线。为下凸抛物线。 作弯矩图作弯矩图 CA段两个控制点段两个控制点: (上拉上拉) AB段需三个控制点段需三个控制点: BD段需一个控制点段需一个控制点: 第三节第三节 弯曲应力和强度弯曲应力和强度 mmMmm

15、mmM 一、纯弯曲时梁横截面上的正应力一、纯弯曲时梁横截面上的正应力 FFaaCDAB+FFFS图图 CADBFaM图图CADB中性轴中性轴中性轴中性轴 中性层与横截面的交线称中性层与横截面的交线称为中性轴为中性轴, , 梁发生弯曲变形时梁发生弯曲变形时, , 横截面绕中性轴转动。横截面绕中性轴转动。 dxyzxO d dyzyxOObbybbOO 由于梁的纵向纤维处于单向拉伸或压缩，在弹性范围内，由于梁的纵向纤维处于单向拉伸或压缩，在弹性范围内，由胡克定律可得正应力：由胡克定律可得正应力：yzxOMzyFNMzMy= 0 (c) = 0 (d) = M (e) = 0 (c) = 0 (d)

16、 = M (e) 梁的弯曲正应力强度条件为：梁的弯曲正应力强度条件为： 例例7-11 试校核图示试校核图示T形截面铸铁梁的正应力强度。形截面铸铁梁的正应力强度。 解解: 作出梁的弯矩图作出梁的弯矩图, 其最大值为其最大值为 分别进行弯曲抗拉分别进行弯曲抗拉(梁截面的梁截面的下边缘下边缘)、抗压强度、抗压强度(梁截面的上边梁截面的上边缘缘)校核校核由例由例7-4知知: 最大拉应力最大拉应力: 满足！满足！ 最大压应力最大压应力: 例例7-11 试校核图示试校核图示T形截面铸铁梁的正应力强度。形截面铸铁梁的正应力强度。 解解: 作出梁的弯矩图作出梁的弯矩图, 其最大值为其最大值为 分别进行弯曲抗拉

17、分别进行弯曲抗拉(梁截面的梁截面的下边缘下边缘)、抗压强度、抗压强度(梁截面的上边梁截面的上边缘缘)校核校核由例由例7-4知知: 满足！满足！ 例例7-12 试校核图示工字钢梁试校核图示工字钢梁(l=1m)的许用均布荷载的许用均布荷载q。 已知已知: 解解: 作出梁的弯矩图作出梁的弯矩图, 其最大值为其最大值为 根据正应力强度确定荷载根据正应力强度确定荷载 q=28330N/m=16.66kN/m 二、梁的切应力和强度二、梁的切应力和强度 矩形截面梁矩形截面梁 工字形截面梁工字形截面梁 圆形截面梁圆形截面梁 薄壁圆环形截面：薄壁圆环形截面： 例例7-13 矩形截面梁矩形截面梁, 截面的高宽比截

18、面的高宽比h/b=3/2, 确定梁的截面尺寸。确定梁的截面尺寸。 解解: 作剪力图和弯矩图作剪力图和弯矩图 根据正应力强度确定截面根据正应力强度确定截面 例例7-13 矩形截面梁矩形截面梁, 截面的高宽比截面的高宽比h/b=3/2, 确定梁的截面尺寸。确定梁的截面尺寸。 再根据切应力强度进行校核再根据切应力强度进行校核 解解: 作剪力图和弯矩图作剪力图和弯矩图 满足！满足！ 三、提高梁强度的措施三、提高梁强度的措施 FlF0.02ql2 0.02ql2 三、提高梁强度的措施三、提高梁强度的措施 lqaalq三、提高梁强度的措施三、提高梁强度的措施 zDzaaa12a1z三、提高梁强度的措施三、提高梁强度的措施 bhbh第四节第四节 拉压与弯曲组合变形杆件的应力和强度拉压与弯曲组合变形杆件的应力和强度 一、拉压与弯曲组合变形的概念一、拉压与弯曲组合变形的概念 二、梁的正应力和强度二、梁的正应力和强度 = + 在截面的左右两边缘处正