2020高中数学直线的倾斜角与斜率导学案北师大版必修2通用

1、第1课时直线的倾斜角与斜率1.理解直线的倾斜角和斜率的概念,了解直线的倾斜角的范围.2.理解直线的倾斜角和斜率之间的关系以及斜率公式,并能利用过两点的直线斜率的计算公式求直线的倾斜角.意大利比萨斜塔修建于1173年,由著名建筑师那诺·皮萨诺主持修建.它是比萨城的标志.开始时,塔高设计为100 m左右,但动工五六年后,塔身从三层开始倾斜,直到1372年完工还在持续倾斜,经过600年的风雨沧桑,塔身倾斜度达到了5.3°,偏离中心达4.4 m,岌岌可危,但经过1972年当地的地震,塔体还是倾而不倒,巍然屹立,因此斜塔更加闻名遐迩.问题1:根据材料和图片,我们建立如图所示的平面直角

2、坐标系,比萨斜塔的倾斜角是84.7°. 问题2:(1)直线的倾斜角的定义当直线l与x轴相交时,我们取x轴作为基准,x轴正向与直线l向上方向之间所成的最小正角叫作直线l的倾斜角.当直线和x轴平行或重合时,我们规定它的倾斜角为0°,因此,直线倾斜角的取值范围是0°<180°. (2)斜率的定义倾斜角不是90°的直线,它的倾斜角的正切值叫作这条直线的斜率,常用k表示,即k=tan .当直线的倾斜角为90°时,其斜率k不存在. (3)斜率公式当直线l经过两点p1(x1,y1)、p2(x2,y2)时,l的斜率

3、k=. 问题3:当倾斜角=0°时,k=0,此时直线l与x轴平行或重合;当0°<<90°时,k>0,并且随着的增大而增大; 当=90°时,k不存在,此时直线l与x轴垂直; 当90°<<180°时,k<0,并且随着的增大而增大. 特别地,当=45°时,其斜率k=1. 总之,倾斜角与斜率k之间的关系可用下图来表示:问题4:用表格的形式直观表述直线的倾斜角与斜率k之间的关系:直线情况平行于x轴由左向右上升垂直于x轴由右向左上升的大小=0°

4、0°<<90°=90°90°<<180°k的范围k=0 k>0不存在 k<0 k的增减性不增不减单调递增 不存在单调递增 1.若经过p(-2,m)和q(m,4)的直线的斜率为1,则m等于().a.1b.4c.1或3d.1或42.若三点a(-2,3),b(3,-2),c(12,m)共线,则m等于().a.1 b.2 c.12d.2或123.已知直线斜率的绝对值等于1,则直线的倾斜角是. 4.设直线的斜率是k,且-1<k<3,求直线倾斜角的取

5、值范围.求直线的斜率和倾斜角已知a(3,2)、b(-4,1)、c(0,-1),求直线ab、bc、ca的斜率,并判断它们的倾斜角是钝角还是锐角,并求直线ca的倾斜角.直线的斜率的取值范围已知直线l过点p(-1,2),且与以a(-2,-3),b(3,0)为端点的线段相交,求直线l的斜率的取值范围.求直线倾斜角的取值范围已知直线l的斜率k1,求倾斜角的取值范围.(1)已知点a(-3,2)、c(0,-1),求直线ac的斜率.(2)已知直线ca的倾斜角为135°,c(0,-1),a(-3,n),求n的值.已知线段pq两端点的坐标分别为(-1,1)、(2,2),若直线l经过定点a(0,-1)且与

6、线段pq有交点,求直线l的斜率k的取值范围.已知直线l经过a(2,1),b(1,m2)(mr)两点,求直线l的倾斜角的取值范围.1.下列说法中,正确的是().a.直线的倾斜角为,则此直线的斜率为tan b.有倾斜角的直线都有斜率c.若直线的倾斜角为,则sin >0d.任一直线都有倾斜角,但它不一定有斜率2.如图,直线l1,l2,l3的斜率分别为k1,k2,k3,则成立的是().a.k1<k2<k3b.k3<k1<k2c.k1<k3<k2d.k3<k2<k13.已知直线l经过两点a(3,3),b(6,23),而直线l1的倾斜角是直线l的倾斜角

7、的2倍,则直线l1的斜率为. 4.若直线l沿x轴的负方向平移3个单位,再沿y轴正方向平移1个单位后,又回到原来的位置,求直线l的斜率.直线l过点a(1,2),且不过第四象限,那么直线l的斜率的取值范围是().a.0,2b.0,1c.0,12d.(0,12)考题变式(我来改编):第二章解析几何初步第1课时直线的倾斜角与斜率知识体系梳理问题1:84.7°问题2:(1)正向l向上方向最小正角0°0°<180°(2)正切值k=tan (3)y2-y1x2-x1(其中x1x2)问题3:增大不存在增大1问题4:k=0不存在k<0单调递增单调递增

8、基础学习交流1.a由直线的斜率公式得m-4-2-m=1,所以m=1.2.ca、b、c三点共线,kab=kac,即3+2-2-3=m-312+2,解得m=12.3.45°或135°设直线的斜率为k,由|k|=1,得k=±1,当k=1时,直线的倾斜角为45°,当k=-1时,直线的倾斜角为135°.所以所求直线的倾斜角为45°或135°.4.解:当k0,3)时,0°,60°);当k(-1,0)时,(135°,180°).所以直线倾斜角的取值范围为0°,60°)(135&#

9、176;,180°).重点难点探究探究一:【解析】 直线ab的斜率k1=17>0,所以它的倾斜角1是锐角;直线bc的斜率k2=-12<0,所以它的倾斜角2是钝角;直线ca的斜率k3=1>0,所以它的倾斜角3是锐角,且为45°.【小结】运用斜率公式时要注意下面三点:(1)k的值与p1、p2的顺序无关;(2)当x1=x2,即直线与x轴垂直时,公式右边无意义,直线的斜率不存在,倾斜角=90°(3)当 y1=y2时,直线与x轴平行或重合,斜率k=0,直线的倾斜角=0°.探究二:【解析】 如图所示,直线pa的斜率kpa=2-(-3)-1-(-2)

10、=5,直线pb的斜率kpb=0-23-(-1)=-12.当直线l绕着点p由pa旋转到与y轴平行的位置pc时,它的斜率变化范围是5,+);当直线l绕着点p由pc旋转到pb的位置时,它的斜率的变化范围是(-,-12.直线l的斜率的取值范围是(-,-125,+).【小结】本题运用了数形结合思想.当直线的倾斜角由锐角变到直角及由直角变到钝角时,需根据正切函数y=tan 的单调性求k的取值范围,数形结合是解析几何中的重要方法.解题时,借助图形及图形性质直观判断,明确解题思路,可以达到快捷解题的目的.探究三:【解析】tan 45°=1,k1时,45°. 又倾斜角须满足0°&l

11、t;180°, 0°45°,即倾斜角的取值范围是0°45°.问题直线l的斜率k1,除了k0外,k<0满足吗?结论本题做错的根本原因是没有搞清斜率k与倾斜角的对应关系,当k0时,对应0°<90°,当k<0时,对应90°<<180°,故解决本题要分k0和k<0两类情况讨论. 于是,正确解答如下:当0k1时,tan 45°=1,0°45°当k<0时,90°<<180°,tan <0成立.倾斜角的取值范围

12、是0°,45°(90°,180°).【小结】 (1)斜率k=tan ,为直线倾斜角(90°),知其一的范围可求另一个的范围.(2)当=90°时,斜率k不存在;当=0°时,k=0;当0°<<90°时,k>0;当90°<<180°时,k<0.思维拓展应用应用一:(1)直线ac的斜率kac=-1-20-(-3)=-1.(2)因为直线ca的倾斜角为135°,所以直线ca的斜率kca=n+1-3=-1,所以n=2.应用二:如图,由题知kap=-1-1

13、0+1=-2,kaq=-1-20-2=32,又由斜率与倾斜角之间的关系知k-2或k32.应用三:k=m2-11-2=1-m21,又k=tan ,0°<180°,所以l的倾斜角的取值范围为0°,45°(90°,180°).基础智能检测1.d对于a和b,当=90°时,直线的斜率不存在,a和b错;对于c,当直线平行于x轴时,=0°,而sin 0°=0,c错;应选d.2.al3,l2的倾斜角3,2为锐角,且3>2.k3>k2>0,l1的倾斜角1为钝角,k1<0.故k1<k2<k3.3.3直线l经过点a(3,3),b(6,23),kl=23-36-3=33,直线l1的倾斜角为60°,直线l1的斜率为tan