圆锥曲线中的定点和定值问题的解题方法

1、寒假文科强化四：圆锥曲线中的定点和定值问题的解答方法【根底知识】1对满足一定条件曲线上两点连结所得直线过定点或满足一定条件的曲线过定点问题，设该直线曲线上两点的坐标，禾U用坐标在直线或曲线上，建立点的坐标满足的方程组，求出相应的直线或曲线，然后再利用直线或曲线过定点的知识加以解决.2、在几何问题中，有些几何量与参数无关，这就构成了定值问题，解决这类问题一种思路是进行一般计算推理求出其结果；另一种是通过考查极端位置，探索出“定值是多少，然后再进行一般性证明或计算，即将该问题涉及的几何式转化为代数式或三角形式，证明该式是恒定的.如果试题以客观题形式出现，特殊方法往往比拟奏效题型一：定点问题法一：特

2、殊探求，一般证明；法二：设该直线曲线上两点的坐标，禾U用点在直线曲线上，建立坐标满足的方程组，求出相应的直线曲线，然后再利用直线曲线过定点的知识加以解决。例i设点A和B是抛物线y2 4 px p 0上原点以外的两个动点，且OA OB，求证直线AB过定点。解：取 koA 1,koB1写出直线AB的方程;再取 kOA ¥，k°B3.3写出直线AB的方程；最后求出两条直线的交点，得交点为4p,0。设 A(xi, yi), BE y2)，直线AB的方程为y yi k(x xj ,由题意得yj 4 pxi , y224px2,两式相减得力y2yiy2) 4p(Xi X2),即k汕,

3、yiy2直线AB的方程为y yi斗xyi y22肛，整理得4px yi4py2)y yiy20 又Q OA OB, xix2 yi y2 0 ,y“2i6p22(4 p,0)代入直线 AB得方程恒成直线AB的方程为4px (y1 y2)y 16p 0把立, 所以直线AB过定点(4p,0)解：由上得4px(yi2y2)y 16p0 又 ym16p2,y216p2yi代入得4 px(yi16丄)y 16p20，整理得y12yy14(4 px) yi216p y 0,y 04 p x16p2y4p0直线AB过定点(4p,0)【方法点评】证明直緡a定悬 y有两种施.亓法一=待蜩求，Tea明对于有些直舸

4、定点删可題.可以先肴虑动直銭J的特萍情况，叱1淀点的£首，然亍上明趣韶Fi第絢上施二别离琴睡，爵式加打魚一严町对九打恒咸託®Ja = o:o;c = o同时成自 运用这一暴理，可以讦巧曲讥点间題 TR可以棍庭离要选定参敷£丘人结合条件才离荟計匚档等式Z(X.+/3U>)=0- (Tm 犬(工丽二击严5汙S®2*-法关系式曲上述匱理可得方程组y(£ 0 *从而求得瞌AU>) = 0厲(龟刃二0【变式演练1】椭圆C的中心在坐标原点，焦点在 x轴上，椭圆C上的点到焦点距离的最大值为3，最小值为1.(I )求椭圆C的标准方程;(n)假设直线

5、l : y kx m与椭圆C相交于A, B两点(A, B不是左右顶点°),且以AB为直径的圆过椭圆 C的右顶点，求证：直线l过定点，并求出该定点的坐标.1通过考查极端位置，探索出“定值是多少，然后再进行一般性证明或计算，即将该问题涉及的几何式转化为代数式或三角形式，证明该式是恒定的解题方法 如果试题以客观题形式出现，特殊方法往往比拟奏效2进行一般计算推理求出其结果。例2：过抛物线m : y ax2 a> 0的焦点F作直线l交抛物线于P,Q两点，假设线段PF与FQ的长分别为p,q，那么p 11的值必等于)12aA. 2a1：特殊解丄用有宀如图I,设心小'且円八gy麵垂直耳

6、圮"mm抛物线y ax2 ( a > 0)的焦点F0,丄,4a准线14a又由II m，消去x得2 2 216a y 8a(1 2k )y- yiy221 2k2,y22a116a2，- p4pq1yy(y1 y2)4a116a2k24a2图 l : v kx - P1 4a例3.b是经过椭圆2 x2 a1. a b 0右焦点的任一弦，假设过椭圆中 b2Y打/To7-.AWNBp=卜卄4三q = |2A1二旳+补心o的弦MN/AB，求证：|MN I2 ： |AB|是定值解析：对于此题， MN , AB分别为中心弦和焦点弦，可将其倾斜角退到0°,此时有| MN |2 4a

7、2，|AB| 2a , | MN |2：| AB | 2a 定值下面再证明一般性.设平行弦MN、AB的倾斜角为，那么斜率k tan ，MN的方程为y tan x代入椭圆方程，又|MN | (1 k2)|x x> | 即得 | MN |24a2bb2c2si n2，另一方面，直线2ab27222b c sin总-丄!短轴长为2, q为坐标原22AB方程为y tan (x c) 同理可得| AB | |MN |2:| AB| 2a 定值关于式也可直接由焦点弦长公式得到.例4 设.上的两点，向量a b占八、-I求椭圆的方程；H假设直线 AB过椭圆的焦点F 0，c， c为半焦距，求直线 AB的斜

8、率k的值;川试问： AOB勺面积是否为定值如果是，请给予证明；如果不是，请说明理由.【答案】解: I由题意知肚上二2,"朽a a2椭圆的方程为4n由题意，设 AB的方程为y二&+启y二b十< 护令F+4F 十2朽U得:昔亠器"內町斗问如亠4 二a十合兀也十 孚d十扌4-41 i /5佥2/3k3 初护 j 亠片=丁一冃+K T倆碌=士血川1当直线AB斜率不存在时，即画二叼Ji二一乃,由 m - n=0兀f -普二 0 =4jl2/%巧在椭圆上，所以所以S =土闯|巧一片| = 时2同=1所以三角形AOB的面积为定2.当直线AB斜率存在时：设 AB的方程为y=k

9、x+bV 上工十占-2kb/=F +4)F片2七加+戸-4 = 0得到& +工尸 5+ 7 = 1上十41.4中2 +竺=0 O 込+0代入整理得：对-疋二44P+4S = 2 J1H "血"=勺纠卫心+衍尸-4裁-所以三角形的面积为定值【高考精选 】2b 1(a b °)的左、2X1. 2021年江苏省16分如图，在平面直角坐标系xoy中，椭圆二a右焦点分别为F1( c,0), F2(c,0).(1,e)和e,3都在椭圆上，其中e为椭圆的离2心率.(1 )求椭圆的方程;(2)设A, B是椭圆上位于x轴上方的两点，且直线AF1与直线BF2平行，AF2与BF

10、1交于点P.a，得(i)假设咎BF尸牟幅绘年的趕212ac=12 2 1 a bc2= a2b22 = a22b2b2=1 , c2=a21。由点椭圆的方程为2ca2x 27 ya2 1aa4 4a24=0a2=2(2)由(1)得 F1( 1,0),F2(1,0)又 af1 /BF2,在椭圆上,设 AF1、BF2的方程分别为 my=x 1 my=x 1 , Ax, y , B X2, y? ,%>0, y2>0。二丿"T*" “讯/ *2圍-2叭-1二0旳=心：叮->Ji=jq+l同理，空土竺(D由得，JF： 码加后Rm+2m= 2直线AR的斜率为(ii

11、)证明：/ AFi /PBBF2，-函理，即竺1AF1PF1BF2AF1PB PF1PFibf2 af1_ AF1。 PF1=A1 BF11 AF1 BF2'由克用在tfi园上知，別+肿厂2血；护耳二一迺22-5/ ；.a 4 F j同理.吩器严旳.兮忑刍M炉邓保网越Rd 薛近BQ亠旦Z7T* + 22 72(存十11曲得伞+齢一m2 +2仁P耳十PF严应-各二冷忑./. PPF儘定值.92.【2021高考真题上海理 22】(4+6+6=16分)在平面直角坐标系 xOy中，双曲线 C1 :2x2 y21 .x轴围成的(1)过G的左顶点引C1的一条渐进线的平行线，求该直线与另一条渐进线及

12、 三角形的面积；2 设斜率为1的直线l交Ci于P、Q两点，假设I与圆x2 y2 1相切，求证：OP OQ ;3 设椭圆C2 : 4x2 y2 1，假设M、N分别是C1、C2上的动点，且 OM ON ,求证：0到直线MN的距离是定值解1取昭壬一 $(一至 0),V = ±j7x-过点血写线少二72工平齐的直轴程为j = x十咨，即二血工；> = -72 X y 2 r+1所以所求三角形曲面积人为£ # | W | $卜牢.4分2设直裁PQ的方程是$=耳+乩匿与同相切.故£=1,即沪=2, y x b zn 22由 2x2y21，得 x2bx b10.%x22b

13、设 P(X1, y"、Qx2, y2)，贝U2. ( lb ylfx )x1x2b 1又2，所以2OP OQ x1x2 y-i y2 2x1x2 b(x-i x2) b2 2 22( b 1) b 2b b b 20,故 opXoq.<3当直纨ON垂直于耳牺t|ON|=1> |0/W| = 4? W oSfig/W/V 的距篦为当直绽伽不垂直于垃轴时，设直SE CTVttlTS®为呈然|氏|»鲁*那么直线0M苗丄止勺尸-+劝所以|0N =跌.同理t?.W -二吕设O到直线MN的距离为d,因为(|OM |2 |ON |2)d2 |OM |2| ON |2

14、 ,综上，0到直线3、( 2021高考真题福建理13k2 3|ON|2k2 13，即 d=：MN的距离是定值.192 2如图，椭圆E ：笃爲a b11(a b 0)的左焦点为Fi，右焦点为F2，离心率e 。过Fi2的直线交椭圆于 A, B两点，且 ABF2的周长为8。(I)求椭圆E的方程。(n)设动直线l : y kx m与椭圆E有且只有一个公共点 P，且与直线x 4相交于点Q。试探究：在坐标平面内是否存在定点的坐标；假设不存在，说明理由。(I)设 c . a2 b2yjM假设存在，貳出点hM ,使得以PQ为直径的圆恒过点那么e ca1a22c3a2ABAF2ABF2的周长为4a82 2椭圆E

15、的方程为y 1434b2BF2I 8|AR |AF2 |Bt |BF2a 2,b.3,c 1(n)由对称性可知设巩心儿心 0)与AiPZAfO =0ox-况X工4 +旳x 心 = 0o在5_ 1=二1天耳 I 町M对e-2:2恒成立0*1,得J/1:0【反应训练】1.过抛物线y= 2pxp>o上定点Mxo, yo yo工0，作两条直线分别交抛物线于 A(xi, yi)、BX2, y2，当MA与MB的斜率存在且倾斜角互补时，那么yi+y2 等y。A. 2C. 42.设 A(xi,yi , BX2, y2是抛物线y2= 2pxp>0上的两点，并且满足 OAL0耳那么yiy2等于()A

16、. 4p2.3p2C. 2p23.假设购是ja桶風器+厶三1口“申右的一条弦,*是略上任盍一丄,一肚圧 a2 b2与坐标轴不平行.G k那分别表示直线丛血的斜率.那么上如比忸d44、过点Mp,0任作一条直线交抛物线 y2=2px(p > 0)于 P、Q两点,贝V s值为丄A. *乂十2L5、椭圆./=i(a >b> 0)上两点A B与中心0的连线互相垂直,值为C.D.6、Fi、F2是两个定点，点P是以Fi和F2为公共焦点的椭圆和双曲线的一个交点,并且PF丄PF2, ei和e2分别是上述椭圆和双曲线的离心率，那么有A. + - =42 A+e? =42+e 22=22UULr

17、LULT7、定点M(Xo,y°)在抛物线m : y 2px( p > 0)上，动点AB m且MAgMB 0 .求证：弦AB必过一定点.8、设 A(xi,yj, B(X2,y2)为抛物线 y22 px( p 0)上位于x轴两侧的两点.0为坐标原点(1) 假设y22p,证明直线AB恒过一个定点;(2) 假设OA OB,证明直线AB恒过一个 定点。(15求动葩>的轴迹咖方程#仁门假设八/星轨迹£7上09两不同动点.且血二/両.分别以1、启角切点叶淹厂K)切线，设其交点Q证阴宛 石 为定值-10,定点农0)用椭，十3/=5-过点£的动直毙与櫚护交于4尹两点，在

18、-输t±否存在蠹左 曲盍端貂 假设存在，求出点*倒坐标*假设不存3 请说朋理由.【变式演练详细解析】【变式演练1详细解析】(I )曲龜龛设捕园的标清方程为p /二 1(2 右 tf b由得=盘+疋二3<2 - C = 1ZJ= 2 *£ = r二 b1 = a1 -c1 = 3 -MS的标谁方程为疋半+ = 14 3y =抵+隔I+ =1 143得3+4时J +8mfcr+4<m3-3 = 0'A =64刚¥-163+4疋/一3即3+4i?/?>0,那么 8iA?兀 + Hr = Jt J1 J3 + 4肝_4沪一3叫詈甸厂冥:、1二认曲

19、十册X3十小)三丘无吃低(也_总)十册：二乂？ 厂3 4-4A因为以AB为直径的圆过椭圆的右焦点D(2,0),kADkBD1，即总9总 1，YiY2 为X22花 x2 40 ,3m2 4k23 4k24m23 16mk2240,3 4k3 4k29m 16mk4k20 .mr =-2k9H且均満足3 44片-叮(PL朴=一-7I» 二2)，丄or当嬴时RI1 =、7/的方程为1 工、,直绽过定点 門5所以，SM/过定蠱，定点坐标为【变式演练2详细解析】解：(I)由题意知屿矛葭=2, u =、月亡+宀1椭圆的方程为 -(H)由题意，设 AB的方程为、-T ' y 二 b + 苗

20、.2 r =(*3+4)?+275-1=0.42/5t1巧音轲皿尸P74由十冋得:违子_i_吟=可咼+比t +邑+5)b a4=(1 +(III) (1)当直统AB斜率不疗在时，即為严心*严一址由* dfO-普二0 =用=4才所以S =2所以三角形AOB勺面积为定I环訥时纠疏"沁P+4值y =匕<+ b2=> (F + 4)2c2 + 2 賤 b2 - A = 0 得到盖i +a2=1必 +49-A玄內=飞P + 4旳岸仍“ O仏+伽我)如Q) = °代入整理得: 由442/-护二4=(2).当直线AB斜率存在时：设 AB的方程为y=kx+bb所以三角形的面积为

21、定值【反应训练详细解析】【解析】hi 亟一扯=覺 疋=疋或=_K_?0 同理二Ae如勿2t>2j2j>尸(/1+10 yi+ja=由题理；匕二衣廿*耳+左=一卑+jVh+/=_ 2艮，二齐=_ 2,应选扎£、【解析】=CM丄Oft :心OS=0.- r:jE+j=O.®-在u临英> .-左=沁./-J:IT代入得21X22p2 卜 yiy2= 0，解得 yiy2 = - 4p .3、 【解析】此题可用特殊值法.不妨设弦AB为椭圆的短轴.M为椭圆的右顶点,L 二0b 0+A HfCjs/t RLJ -y那么 A0，b，B0，- b，Ma，0 所以应选 B.4

22、、 【解析】 不妨取 PQLx 轴,那么 Pp,：p,Qp,- J p,二 |MPFp,|MQF 一 p.1111/十沪 + "F - 5、【解析】假设A、B为椭圆的长轴和短轴的顶点，那么二 二'!: =排除选项A、B、C,选D.|禺| + |丹汁2咛尸码|-|肝卡込 |PF2|=a i+a2,|PF i|=a i-a 2. PF与 PF2垂直，二 |PFi|2+|PF2| 2=|FiF2|J_ J_(a i+a2)2+(ai-a2)2=4c2, 2ai2+2a22=4c2.二丨 + 三=2.T、【解祈】设血所在直裁方程郑工二卿十与拗精裁扁程芒=2中联也 甫去工得y2 2 p

23、nry 2 pn = 0 '叭乜=切開比=一如曲曲即廿儿二-1i 2xi x 2P(yi2、 yo )i2P(yi yo)(yiyo)x Xo 2"(y222p2、 yo )y。)式可化为!gi,yiy。 y?y°2即 4pyyyo(yiy2)yo2.将代入得，n2pmyoXo直线AB方程化为:Xmy2pXomyom(yyo)Xo2p .直线AB恒过点(Xo2p,yo)-8、【解析】i、i解:lab : yyiy?yi(X X,)2p(XXi)X2Xiyiy?即y 丄匚x2pxiyi2pXyy2p(X i).yiy2yiy2yiy?yiy?yiy?所以过定点i,0.

24、uuu uuu(2)因为 OA OB x1x2 y1y2y247y20,得yi牡4p2所以 y -llx -2px yi y2yi y?2p xy2zvyi y2yi y?2pyi y2(x2p)直线AB过定点(2P,0).因为拗掘技建点列谁线距高等于4所以凰心的轨迹是十二*CII)由_V02)f设&耳对双对由丽"丽.即得(-兀2 片二展花s 场= 2(l)2"52(2)将(1)式两辺平方并把讨=剜工二昭代入得廿护#( 3)(3)式得且有x8x22X28 y2i6.抛物线方程为2求导得yiX4所以过抛物线上 A、B两点的切线方程分别是y ixi(xXi)yi，y I

25、"X2)y2,解出两条切线的交点 Q的坐标为(Xi2X2 XiX2.，T)i 即 y x8x4XX22iX2X4所以 NO AB (凶 X, 4) (x2 xi, yi2y2)i(x|Xi2)4(8X|i 2、8Xi)所以NQ AB为定值，其值为0.i0、【解析】 假设在x轴上存在点 Mm,0),设 A(xi, yi),Bgy -当直线AB与x轴不垂直时，直线AB的斜率存在，设直线AB的方程为y= k(x+ i)，将 y = k(x + i)代入 x2 + 3y2 = 5,消去 y 整理得(3 k2+ i)x2+6k2x + 3k2 5 = 36k4 4 (3 k_占 1 ( a,b

26、>0 )过 M( 2，'一 2)，N(、6,1)两点,+ 1)(3 kb 5 )>0 ,6k2那么 X1+X2二3k1，3k2 5 X1 X" 3k"+.所以MB=马一捕 Cr厂血 +x/d 至 一 + x+l耳+ 1=甜 +( 6jd 1)£整理得朗* &=+诫114(2ju 3) (3AS + 15 2jir 3W + 1 6jrl" 14+ 2nr 3- 3 3/-H )3/= Fl1鑫1龙十諭骂 + £ + 用 + 涉.一一7_4注童到血励是与止无关的常数 从而有6jb+14=0,商=-二此叭犷盍2当直线劝与"轴垂直时，此时点4 £的坐标分别为JC 1.帀人；-1,79jd>= $时，亦有JW E= 97综上在工轴上存在定点K-$ 0,使茵庞为常熱213、设椭圆E:务a2 _ _每 1a,b>0过 M2，2 ，NJ6,1两点，0为坐标原点，I b求椭圆E的方程;(II是否存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点 A,B,且ULWOAuuuOB假设存在,写出该圆的方程，并求 |AB |的取值范围，假设不存在说明理由。解:1 因为椭圆42所以a6ab21b11解得1a21b218所以142 a822椭圆E的方程为48UL