DII二阶常系数齐次线性微分方程PPT学习教案

1、会计学1DII二阶常系数齐次线性微分方程二阶常系数齐次线性微分方程042qp时, 特征方程有两个相等实根21rr 则微分方程有一个特解)(12xuyy 设另一特解代入方程得:1xre)(1urup0uq)2(211ururu 1r注意是特征方程的重根0( ,uuAxB A B 为任意常数）取 u = x , 则得,12xrexy 因此原方程的通解为xrexCCy1)(21,2p.11xrey 1( )( )r xe u xu xconst，其中0)()2(1211 uqrprupru机动 目录 上页 下页 返回 结束 第1页/共19页042qp时, 特征方程有一对共轭复根irir21,这时原方

2、程有两个复数解:xiey)(1)sin(cosxixexxiey)(2)sin(cosxixex 利用解的叠加原理 , 得原方程的线性无关特解:)(21211yyy)(21212yyyixexcosxexsin因此原方程的通解为)sincos(21xCxCeyx机动 目录 上页 下页 返回 结束 第2页/共19页),(0为常数qpyqypy ,02qrpr特征方程:xrxreCeCy212121,:rr特征根21rr 实根 221prrxrexCCy1)(21ir,21)sincos(21xCxCeyx特 征 根通 解以上结论可推广到高阶常系数线性微分方程 .机动 目录 上页 下页 返回 结束

3、 第3页/共19页若特征方程含 k 重复根,ir若特征方程含 k 重实根 r , 则其通解中必含对应项xrkkexCxCC)(121xxCxCCekkxcos)( 121sin)(121xxDxDDkk则其通解中必含对应项)(01) 1(1)(均为常数knnnnayayayay特征方程: 0111nnnnararar),(均为任意常数以上iiDC机动 目录 上页 下页 返回 结束 第4页/共19页032 yyy求方程的通解.解解: 特征方程, 0322rr特征根:,3,121rr因此原方程的通解为xxeCeCy321例例2. 求解初值问题0dd2dd22ststs,40ts20ddtts解解:

4、 特征方程0122rr有重根,121 rr因此原方程的通解为tetCCs)(21利用初始条件得, 41C于是所求初值问题的解为tets)24(22C机动 目录 上页 下页 返回 结束 第5页/共19页250yyy求方程的通解.解解: 特征方程2250,rr 特征根:1212 ,1 2 ,ri ri 因此原方程的通解为12cos2sin2xyeCxCx机动 目录 上页 下页 返回 结束 第6页/共19页0:yp yq y求分别满足下列条件的二阶齐次线性微分方程12221212(1);(2),;(3)cos2sin2.xxxxxyC eC eyeyxeyeCxCx方程的通解为：方程的两个特解为：方

5、程的通解为：解:121212(1)1,1,()0,1,0.rrprrqr ryy 所求方程为：1212121,21212(2)2,()4,4,440.(3)12 ,()2,5,250.rrprrqr ryyyriprrqr ryyy 所求方程为：所求方程为：机动 目录 上页 下页 返回 结束 第7页/共19页第8页/共19页xxo解解: 由第五节例1 知, 位移满足质量为m的物体自由悬挂在一端固定的弹簧上,在无外力作用下做自由运动,初始求物体的运动规律 ,0v速度为. )(txx 立坐标系如图, ,0 xx 设 t = 0 时物体的位置为取其平衡位置为原点建 00ddvtxt,00 xxt22

6、ddtx02xktxndd2因此定解问题为自由振动方程 , 机动 目录 上页 下页 返回 结束 第9页/共19页方程:22ddtx02xk特征方程:, 022 krkir2,1特征根:tkCtkCxsincos21利用初始条件得:,01xC 故所求特解:tkkvtkxxsincos00A)sin(tkA0 xkv0方程通解:kvC020022020tan,vxkkvxA机动 目录 上页 下页 返回 结束 第10页/共19页)sin(tkAx0 xAAxto简谐振动 A: 振幅, : 初相,周期: kT2:mck 固有频率 T0dd00vtxt, 000 xxt下图中假设机动 目录 上页 下页

7、返回 结束 (仅由系统特性确定)第11页/共19页方程:特征方程:0222krnr222,1knnr特征根:小阻尼: n k临界阻尼: n = k 22ddtx02xktxndd2)sincos(21tCtCextn)(22nktrtreCeCx2121tnetCCx)(21解的特征解的特征解的特征解的特征解的特征解的特征机动 目录 上页 下页 返回 结束 第12页/共19页( n k )1) 无振荡现象; trtreCeCx2121222,1knnr其中22knn0.0)(limtxttxo0 x此图参数: 1, 5 . 1kn5 . 10 x073. 50v2) 对任何初始条件即随时间 t

8、 的增大物体总趋于平衡位置.机动 目录 上页 下页 返回 结束 第14页/共19页( n = k )任意常数由初始条件定, tnetCCx)(21)() 1tx最多只与 t 轴交于一点; 取何值都有无论21,CC)(lim)3txt即随时间 t 的增大物体总趋于平衡位置.0)(lim21tntetCC2) 无振荡现象 ;机动 目录 上页 下页 返回 结束 第15页/共19页052)4( yyy求方程的通解. 解解: 特征方程, 052234rrr特征根:irrr21, 04,321因此原方程通解为xCCy21)2sin2cos(43xCxCex例例5.0)4()5( yy解方程解解: 特征方程:, 045rr特征根 :1, 054321rrrrr原方程通解:1CyxC223xC34xCxeC5(不难看出, 原方程有特解), 132xexxx推广 目录 上页 下页 返回 结束 第16页/共19页),(0为常数qpyqypy 特征根:21, rr(1) 当时, 通解为xrxreCeCy212121rr (2) 当时, 通解为xrexCCy1)(2121rr (3) 当时, 通解为)sincos(21xCxCeyxir2, 1可推广到高阶常系数线性齐次方程求通解 .机动 目录 上页 下页 返回 结束 第17页/共19页 求方程0