2025年全国硕士研究生入学统一考试 (数学三) 真题及答案

2025年全国硕士研究生入学统一考试(数学三)试卷详解

一、选择题:1~10小题,每小题5分,共50分,下列每小题给出的四个选项中,

只有一项符合题目要求的,请将所选项前的字母填在答·题·纸·指定位置上.

+

(1)当x→0时,下列无穷小量中,与x等价的是()

(A)e—sinx—1(B)·x+1—cosx

(C)1—cos·i2x(D)

【答案】(C)

【解析】

—sinx

A.e—1~—sinx~—x

2

22

tt2

(2)已知函数esinedt.sinx,则

(A)x=0是f(x)的极值点,也是g(x)的极值点

(B)x=0是f(x)的极值点,(0,0)是曲线y=g(x)的拐点

(C)x=0是f(x)的极值点,(0,0)是曲线y=f(x)的拐点

(D)(0,0)是曲线y=f(x)的拐点,也是曲线y=g(x)的拐点

【答案】(B)

【解析】

1

222

xxx

f,(x)=esinx,f,,(x)=e2xsinx+ecosx

,2x2

x2t

g(x)=esinx+edt.2sinxcosx

2222

x2xxt

g,,(x)=e2xsinx+e2sinxcosx+e2sinxcosx+edt2cos2x

f,(0)=0,f,,(0)=1>0→x=0为f(x)的极值点,但不是拐点

g,(0)=0,g,,(0)=0

,,

2222

,,,x2x2xx

g(x)=2esinx+x(2esinx)+4cos2xe+2sin2x(e)

22

t

—4sin2xedt+2cos2xex

g,,,(0)=6>0→x=0为g(x)的拐点

(3)已知k为常数,则级数()

(A)绝对收敛(B)条件收敛

(C)发散(D)敛散性与k的取值有关

【答案】(B)

【解析】

条件收敛绝对收敛

故而条件收敛

2

1

(4)设函数f(x)连续,则dyf(x)dx()

∫0

(A)(B)

(C)(D)

【答案】(D)

【解析】

(5)已知A是m×n的矩阵,#是m维非零向量若A有k阶非零子式,则

(A)当k=m时Ax=#有解(B)当k=m时Ax=#无解

(C)当k<m时Ax=#有解(D)当k<m时Ax=#无解

【答案】(A)

【解析】

k=m时,r(A)=r(A)=m进而Ax=#有解,A正确

(6)设A为3阶矩阵,则A3—A2可对角化是A可对角化的

(A)充分但不必要条件(B)必要但不充分条件

(C)充分必要条件(D)即不充分也不必要条件

【答案】(B)

【解析】

若A可对角化,则A3—A2可对角化

(7)设矩阵若fxA+yB是正定二次型,则a

的取值范围是

(A)(B)

(C)(D)(0,4)

3

【答案】(B)

【解析】

=(—ax+ay)(x+y)—2x(—2x+y)

22

=(4—a)x—2xy+ay

因为f(x,y)=xA+yB是正定二次型

所以正定,即解得

4-a>0,2—<a<2+

(8)设随机变量X服从正态分布N(-1,1),Y服从正态分布N(1,2),若X与X+2Y不

相关,则X与X-Y的相关系数为

(A)(B)(C)(D)

(9)设X1,X2,...,X20是来自样本总体B(1,0.1)的简单随机样本令利

用泊松分布表示二项分布方法可得P{T≤1}≈

(A)(B)(C)(D)

【答案】(C)

【解析】

由X1,X2,...,X20来自B(1,0.1)的简单随机样本

4

P{T≤1}=P{T=0}+P{T=1}

其中、≈0.1.20=2

(10)设总体X的均匀分布为F(x),X1,X2,...,Xn为来自总体X的简单随机样本,

样本

的经验分布函数为Fn(x),对于给定的x(0<F(x)<1),D(Fn(x))=

2

(A)F(x)(1-F(x))(B)(F(X))(C)(D)

【答案】

二、填空题:11-16小题,每小题5分,共30分,请将答案写在答·题·纸·指定位置上.

(11)设g(x)是函数的反函数,则曲线y=g(x)的渐近线方程为

【答案】y=3和y=-3

【解析】

解得所以

limg(x)=3,limg(x)=-3

x→+∞x→-∞

所以有水平渐近线y=3和y=-3

5

设dx=ln2,则a=_______.

【答案】2

【解析】

所以

解得a=2或a=-6若a=-6发散舍去,综上a=2

(13)微分方程xy,-y+x2ex=0满足条件y(1)=-e的解为y=.

【答案】-xex

【解析】

x

=x(-e+C)

因为y(1)=-e,y(1)=-e+C→C=0

所以y=-xex

6

2

一t

(14)已知函数由z+lnz一xedt=1确定,则=_______.

1

一2

【答案】e

8

【解析】

将x=1,y=1代入①②③中解得

2112x+13

51一24x一3

已知f=则

12

2x+1

一4

一24x

方程f(x)=g(x)的不同根的个数为.

【答案】2

【解析】

因为f(x)=g(x)所以g(x)-f(x)=0

7

所以有两个不同的实根

(16)设A,B,C为三个随机事件,且A与B相互独立,B与C相互独立,A与C互

不相容,已知PB)=,则在事件A,B,C至少有一个发生的事

件下,A,B,C中恰有一个发生的概率为.

2

【答案】3

【解析】

8

三、解答题:17-22小题,共70分.请将解答写在答·题·纸·指定位置上·解答应写出文

字说明、证明过程或演算步骤●

(17)(本题满分10分)

【答案】ln2+

【解析】

由于

2

1abx+c(a+b)x+(—2a+b+c)x+2a+c

=+=

222,

(1+x)(x—2x+2)1+xx—2x+2(1+x)(x—2x+2)

9

则→.

(18)(本题满分12分)设函数f(x)在x=0处连续,且

=—3,证明f在x=0处可导,并求f,(0)

【答案】f,(0)=5

10

【答案】f,(0)=5

【解析】

x→0-x

因为

x→0x

11

所以即f(x)在x=0处可导且f,(0)=5

22

(19)(本题满分12分)已知平面有界区域D={(x,y)y≤x,x≤y},计算二重

2

积分dxdy

【答案】

【解析】

(20)(本题满分12分)设函数f(x)在区间(a,b)可导,证明导函数f,(x)在(a,b)

内严格单调递增的充分必要条件是:对(a,b)内任意x1,x2,x3,当x1<x2<x3时,有

12

【答案】略

【解析】证明:(1)必要性

由于f,(x)在(a,b)上单增,且1<2,则f,(1)<f,(2),进而

(2)充分性

对于任意<c2∈有:f,,

当<x<c2<b时,由知,

两边同时取极限及极限的保号性可知:

13

进而,即f,在上

单增.

(21)(本题满